【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似

这是一份【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似，共25页。试卷主要包含了已知＝, 那么的值是，点C为线段AB的黄金分割点，若3x＝2y等内容，欢迎下载使用。

图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（　　）

A． B． C． D．
2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知＝, 那么的值是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
4．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（　　）
A．（﹣2, 1） B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）
C．（﹣8, 4） D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）
5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC＝9, 那么的值是（　　）

A． B． C． D．
6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣
8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（　　）
A． B． C． D．
10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
二．填空题（共5小题）
11．已知＝, 那么＝　 　．
12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是 　 　（把正确结论的序号都填上）．

13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝　 　．
14．已知, 则＝　 　．
15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为 　 　．

三．解答题（共6小题）
16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．
（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DFA．（不写作法, 保留作图痕迹）
（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．

17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．
（1）求证：△AEF∽△DCF；
（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．
①求AB的长；
②求△EBC的面积．

18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若, 求EC的长．

19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．
（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．
（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．
（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在, 请说明理由．

20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,
（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；
（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；
（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．


21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．


2023年中考数学专题复习--图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出＝, 求出答案即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,
∴△BOA∽△DOC,
∴＝,
∵OA＝2, AC＝3,
∴＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键．
2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．
【解答】解：∵ab＝cd,
∴＝,
故选：C．
【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题．
3．已知＝, 那么的值是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】根据已知条件得出a＝5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案．
【解答】解：∵＝,
∴3a﹣3b＝2a+2b,
∴a＝5b,
∴＝＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积．
4．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（　　）
A．（﹣2, 1） B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）
C．（﹣8, 4） D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答．
【解答】解：以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为（﹣4, 2）,
则点A的对应点C的坐标为（﹣4×, 2×）或（4×, ﹣2×）, 即（﹣2, 1）或（2, ﹣1）,
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC＝9, 那么的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥FC, AB＝4, AC＝9,
∴＝＝＝,
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．
6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解．
【解答】解：过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,

∵AB＝AC＝6,
∴∠B＝∠C,
∵∠ADE＝∠B, ∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE,
∴∠BAD＝∠CDE,
∴△ABD∽△DCE．
∴,
∵△ABD的面积等于9,
∴AB•DM＝×6×DM＝9,
∴DM＝3,
∴,
∴EN＝2．
∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4,
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．
7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣
【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB, 然后把AB＝2代入计算即可．
【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）, 且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC）, 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个．
8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立；
B、由＝得, 3x＝2y, 故本选项比例式成立；
C、由＝得, 2x＝3y, 故本选项比例式不成立；
D、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键．
9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据成比例线段的概念, 可得a：b＝c：d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d的值．
【解答】解：∵a：b＝c：d,
∴ad＝bc,
∵a＝2, b＝, c＝2,
∴2d＝×2,
∴d＝．
故选：D．
【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解．
10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方, 解答即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC, 相似比为2：3,
∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二．填空题（共5小题）
11．已知＝, 那么＝　﹣　．
【分析】根据已知条件得出＝, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可．
【解答】解：∵＝,
∴＝,
∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．
12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是 　①③④　（把正确结论的序号都填上）．

【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE：AB＝1：2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得＝（）2＝, 故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝, 设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a, 于是得到＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM＝DE＝DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF, 故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．
【解答】解：∵E是CD边的中点,
∴CE：AB＝1：2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CE∥AB,
∴△CEF∽△ABF,
∴＝（）2＝, 故选①选项正确；
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC, ∠ADC＝∠BCD＝90°,
∴∠CAD＝∠BCF,
∵BE⊥AC,
∴∠CFB＝90°,
∴∠ADC＝∠CFB,
∴△ADC∽△CFB,
∴＝,
设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a,
∴＝,
即b＝a,
∴＝,
∴＝, 故②选项错误；
如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,

∵DE∥BM, BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM＝DE＝DC,
∴BM＝AM,
∴AN＝NF,
∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,
∴DN⊥AF,
∴DM垂直平分AF,
∴AD＝DF, 故③选项正确；
∵∠BCE＝90°, BE⊥AC,
∴BC2＝BF•BE,
∵AD＝BC,
∴AD2＝BE•BF．故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键．
13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝　　．
【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：∵2x＝3y,
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
14．已知, 则＝　　．
【分析】根据比例的性质, 由, 得5x＝2（x+y）, 即3x＝2y, 即可求出答案．
【解答】解：∵,
∴5x＝2（x+y）,
∴3x＝2y,
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为 　　．

【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝, 然后利用比例性质得到BD的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF,
∴＝, 即＝,
解得BD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例．
三．解答题（共6小题）
16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．
（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DFA．（不写作法, 保留作图痕迹）
（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．

【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求；
（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图, 点F即为所求．


（2）∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝AB＝3,
∵△ABE∽△DFA,
∴＝,
∴＝,
∴DF＝．
【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型．
17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．
（1）求证：△AEF∽△DCF；
（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．
①求AB的长；
②求△EBC的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF, 从而可以得到结论成立；
（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长；
②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BA∥CD,
∴∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF,
∴△AEF∽△DCF；
（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF,
∴,
∵AF：DF＝1：2, AE＝,
∴,
∴DC＝2,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB＝DC,
∴AB＝2；
②∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴△EAF∽△EBC,
∴＝（）2,
∵S△AEF＝, AB＝2, AE＝,
∴EB＝EA+AB＝3,
∴＝＝,
∴,
解得S△EBC＝6,
即△EBC的面积是6．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．
18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若, 求EC的长．

【分析】（1）利用同角的余角相等, 先说明∠BAF＝∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论；
（2）先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴∠D＝∠AFE＝90°．
∵∠BAF+∠AFB＝180°, ∠AFB+∠EFC＝90°,
∴∠BAF＝∠EFC．
又∵∠B＝∠C,
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB＝CD＝3．
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴AD＝AF＝6, DE＝EF．
在Rt△ABF中,
BF＝＝3．
设CE的长为x, 则DE＝EF＝3﹣x．
∵△ABF∽△FCE,
∴＝．
∴CE•AF＝BF•EF,
即x×6＝3×（3﹣x）．
∴x＝, 即EC＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．
19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．
（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．
（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．
（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在, 请说明理由．

【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得＝, 则CE＝＝；
（2）由DE垂直平分BC, 得BE＝CE, 则∠DEF＝∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC＝∠ABC, 由AD＝BD＝BC, 得∠ABC＝∠BAF, 则∠BAF＝∠DEF, 而∠AFB＝∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD；
（3）作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID：IC：DC＝3：4：5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD＝, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH＝×6×8＝S△ABC, 求得AH＝, 再由勾股定理求得GH＝BH＝, 则CD＝；二是△ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6, 则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG是等腰三角形, 且BG＝AG, 则CG＝AG＝BG＝BC＝5, 所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, DC＝×（10+6）＝8．
【解答】（1）解：∵AB＝6, AC＝8, BC＝10,
∴AB2+AC2＝BC2＝100,
∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°,
由翻折得DG＝DC,
∵DE⊥BC,
∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°,
∴点G在射线CB上,
如图2, 点G和点B重合, 则DB＝DC＝BC＝5,
∵∠CDE＝∠CAB＝90°, ∠C＝∠C,
∴△CDE∽△CAB,
∴＝,
∴CE＝＝＝,
∴CE的长是．
（2）证明：如图2,
∵DE垂直平分BC,
∴BE＝CE,
∴∠DEF＝∠DEC,
∵△CDE∽△CAB,
∴∠DEC＝∠ABC,
∴AD＝BD＝BC,
∴∠ABC＝∠BAF,
∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF,
∵∠AFB＝∠EFD,
∴△AFB∽△EFD．
（3）解：存在,
作DI⊥AC于点I, 则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°,
∵∠C＝∠C,
∴△DIC∽△BAC,
∴＝＝,
∴＝＝＝, ＝＝＝,
∴ID：IC：DC＝3：4：5,
如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6,
作AH⊥BC于点H, 则∠AHB＝90°,
∵×10AH＝×6×8＝S△ABC,
∴AH＝,
∴GH＝BH＝＝,
∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝,
∴ID＝DC＝×＝, IC＝DC＝×＝,
∴AI＝8﹣＝,
∴tan∠CAD＝＝＝；
如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6,
∴CD＝×（10﹣6）＝2,
∴ID＝×2＝, IC＝×2＝,
∴AI＝8﹣＝,
∴tan∠CAD＝＝＝；
如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AG, 则∠GAB＝∠B,
∵∠GAC+∠GAB＝90°, ∠C+∠B＝90°,
∴∠GAC＝∠C,
∴CG＝AG＝BG＝BC＝5,
∴CD＝CG＝,
∴ID＝×＝, IC＝×＝2,
∴AI＝8﹣2＝6,
∴tan∠CAD＝＝＝；
如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6,
∴DC＝×（10+6）＝8,
∴ID＝×8＝, IC＝×8＝,
∴AI＝8﹣＝,
∴tan∠CAD＝＝＝3,
综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3．





【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,
（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；
（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；
（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．


【分析】（1）根据定义画出图形即可；
（2）当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt△CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可；
（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF＝OC, OG＝BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC（SAS）, 得∠FOM＝∠COM, △AGO≌△ABO（SAS）, 得∠FOA＝∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到＝＝, 即可证明△ABG与△MCF位似．
【解答】解：（1）如图：

（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,
∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,
∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,
∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,
∵∠APQ＝120°,
∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°,
∵∠CAB＝30°, ∠ACB＝90°,
∴∠B＝60°,
∴△BM'N'是等边三角形,
∴M'B＝M'N'＝Q'M',
∵AB＝6cm,
∴BC＝3cm,
∴CM'＝3﹣BM',
在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'＝30°,
∴Q'M'＝2CM',
∴BM'＝2（3﹣BM'）,
解得BM'＝2,
在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E,
∵BM'＝2, ∠B＝60°,
∴M'E＝,
∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；
（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO,
∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形,
∴AG＝AB, ∠AGF＝∠ABC,
∴∠OGB＝∠OBG,
∴OG＝BO,
∵GF＝BC,
∴OF＝OC,
∴＝,
连接OM,
∵∠GFE＝∠BCD,
∴∠MFO＝∠MCO,
∵∠OFC＝∠FCO,
∴∠MCF＝∠FCM,
∴CM＝FM,
∴△MOF≌△MOC（SAS）,
∴∠FOM＝∠COM,
∵AG＝AB, ∠AGO＝∠ABO, GO＝BO,
∴△AGO≌△ABO（SAS）,
∴∠FOA＝∠BOA,
∴MO与AO重合,
∴A、M、O三点共线,
∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,
∴MF∥AG,
∴＝,
∵CM∥AB,
∴＝,
∴＝＝,
∴△ABG与△MCF位似．

【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键．
21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3,
∴,
即,
∴BC＝14,
∴AC＝AB+BC＝7+14＝21．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．