【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似
展开这是一份【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似,共25页。试卷主要包含了已知=, 那么的值是,点C为线段AB的黄金分割点,若3x=2y等内容,欢迎下载使用。
图形的相似
一.选择题(共10小题)
1.如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA=2, AC=3, 则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知线段a、b、c、d, 如果ab=cd, 那么下列式子中一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知=, 那么的值是( )
A. B.﹣ C.5 D.﹣5
4.在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A(﹣4, 2)的对应点C的坐标是( )
A.(﹣2, 1) B.(﹣2, 1)或(2, ﹣1)
C.(﹣8, 4) D.(﹣8, 4)或(8, ﹣4)
5.如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB=4, AC=9, 那么的值是( )
A. B. C. D.
6.如图, 在△ABC中, AB=AC=6, D在BC边上, ∠ADE=∠B, CD=4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为( )
A.4 B.2 C.3 D.6
7.点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC), 且AB=2, 则AC的长为( )
A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.3﹣
8.若3x=2y(y≠0), 则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
9.线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a=2, b=, 则d=( )
A. B. C. D.
10.若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2:3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
二.填空题(共5小题)
11.已知=, 那么= .
12.如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论:①;②;③AD=DF;④AD2=BE•BF.其中正确的是 (把正确结论的序号都填上).
13.非零实数x, y满足2x=3y, 则= .
14.已知, 则= .
15.如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F.已知AC=3, CE=5, DF=4, 则BD的长为 .
三.解答题(共6小题)
16.如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE.
(1)利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DFA.(不写作法, 保留作图痕迹)
(2)若AE=4, AB=3, 求DF的长.
17.如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E.
(1)求证:△AEF∽△DCF;
(2)若AF:DF=1:2, AE=, S△AEF=.
①求AB的长;
②求△EBC的面积.
18.如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC边上的点F处.
(1)求证:△ABF∽△FCE;
(2)若, 求EC的长.
19.如图1, 在△ABC中, 已知AB=6, AC=8, BC=10.点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F.
(1)若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长.
(2)在(1)的条件下, 求证:△AFB∽△EFD.
(3)是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形?若存在, 请直接写出这时∠CAD的正切值;若不存在, 请说明理由.
20.定义:一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'=k⋅OP(k≠0), 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,
(1)如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, AB=6cm.点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ=120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大(不要求尺规作图);
(2)求(1)中作出的菱形P'Q'M'N'的面积;
(3)如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF.请用定义证明:△ABG与△MCF位似.
21.如图, l1∥l2∥l3, AB=7, DE=6, EF=12, 求AC的长.
2023年中考数学专题复习--图形的相似
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA=2, AC=3, 则的值为( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出=, 求出答案即可.
【解答】解:∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,
∴△BOA∽△DOC,
∴=,
∵OA=2, AC=3,
∴=.
故选:D.
【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键.
2.已知线段a、b、c、d, 如果ab=cd, 那么下列式子中一定正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断.
【解答】解:∵ab=cd,
∴=,
故选:C.
【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题.
3.已知=, 那么的值是( )
A. B.﹣ C.5 D.﹣5
【分析】根据已知条件得出a=5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案.
【解答】解:∵=,
∴3a﹣3b=2a+2b,
∴a=5b,
∴==5.
故选:C.
【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积.
4.在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A(﹣4, 2)的对应点C的坐标是( )
A.(﹣2, 1) B.(﹣2, 1)或(2, ﹣1)
C.(﹣8, 4) D.(﹣8, 4)或(8, ﹣4)
【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答.
【解答】解:以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为(﹣4, 2),
则点A的对应点C的坐标为(﹣4×, 2×)或(4×, ﹣2×), 即(﹣2, 1)或(2, ﹣1),
故选:B.
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.
5.如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB=4, AC=9, 那么的值是( )
A. B. C. D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可.
【解答】解:∵AD∥BE∥FC, AB=4, AC=9,
∴===,
故选:C.
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键.
6.如图, 在△ABC中, AB=AC=6, D在BC边上, ∠ADE=∠B, CD=4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为( )
A.4 B.2 C.3 D.6
【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB=∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解.
【解答】解:过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,
∵AB=AC=6,
∴∠B=∠C,
∵∠ADE=∠B, ∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
∴∠BAD=∠CDE,
∴△ABD∽△DCE.
∴,
∵△ABD的面积等于9,
∴AB•DM=×6×DM=9,
∴DM=3,
∴,
∴EN=2.
∴△CDE的面积为CD•EN=×4×2=4,
故选:A.
【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键.
7.点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC), 且AB=2, 则AC的长为( )
A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.3﹣
【分析】根据黄金分割的定义可得到AC=AB, 然后把AB=2代入计算即可.
【解答】解:根据题意得AC=AB=×2=﹣1.
故选:C.
【点评】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC), 且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC), 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个.
8.若3x=2y(y≠0), 则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、由=得, xy=6, 故本选项比例式不成立;
B、由=得, 3x=2y, 故本选项比例式成立;
C、由=得, 2x=3y, 故本选项比例式不成立;
D、由=得, xy=6, 故本选项比例式不成立.
故选:B.
【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键.
9.线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a=2, b=, 则d=( )
A. B. C. D.
【分析】根据成比例线段的概念, 可得a:b=c:d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d的值.
【解答】解:∵a:b=c:d,
∴ad=bc,
∵a=2, b=, c=2,
∴2d=×2,
∴d=.
故选:D.
【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解.
10.若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2:3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
【分析】根据相似三角形的性质:面积的比等于相似比的平方, 解答即可.
【解答】解:∵△ADE∽△ABC, 相似比为2:3,
∴△ADE与△ABC的面积比为(2:3)2=4:9.
故选:C.
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
二.填空题(共5小题)
11.已知=, 那么= ﹣ .
【分析】根据已知条件得出=, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可.
【解答】解:∵=,
∴=,
∴=1﹣=1﹣=﹣.
故答案为:﹣.
【点评】此题考查了比例的性质.题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形.
12.如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论:①;②;③AD=DF;④AD2=BE•BF.其中正确的是 ①③④ (把正确结论的序号都填上).
【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE:AB=1:2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得=()2=, 故选①选项正确;根据相似三角形的性质得到=, 设CE=a, AD=b, 则CD=2a, 于是得到=, 故②选项错误;如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM=DE=DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD=DF, 故③选项正确;根据射影定理和矩形的性质得到AD2=BE•BF.故④正确.
【解答】解:∵E是CD边的中点,
∴CE:AB=1:2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CE∥AB,
∴△CEF∽△ABF,
∴=()2=, 故选①选项正确;
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC, ∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠CAD=∠BCF,
∵BE⊥AC,
∴∠CFB=90°,
∴∠ADC=∠CFB,
∴△ADC∽△CFB,
∴=,
设CE=a, AD=b, 则CD=2a,
∴=,
即b=a,
∴=,
∴=, 故②选项错误;
如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,
∵DE∥BM, BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=DC,
∴BM=AM,
∴AN=NF,
∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,
∴DN⊥AF,
∴DM垂直平分AF,
∴AD=DF, 故③选项正确;
∵∠BCE=90°, BE⊥AC,
∴BC2=BF•BE,
∵AD=BC,
∴AD2=BE•BF.故④正确;
故答案为:①③④.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键.
13.非零实数x, y满足2x=3y, 则= .
【分析】根据比例的性质解决此题.
【解答】解:∵2x=3y,
∴.
故答案为:.
【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键.
14.已知, 则= .
【分析】根据比例的性质, 由, 得5x=2(x+y), 即3x=2y, 即可求出答案.
【解答】解:∵,
∴5x=2(x+y),
∴3x=2y,
∴=.
故答案为:.
【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
15.如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F.已知AC=3, CE=5, DF=4, 则BD的长为 .
【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到=, 然后利用比例性质得到BD的长.
【解答】解:∵AB∥CD∥EF,
∴=, 即=,
解得BD=.
故答案为:.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例.
三.解答题(共6小题)
16.如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE.
(1)利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DFA.(不写作法, 保留作图痕迹)
(2)若AE=4, AB=3, 求DF的长.
【分析】(1)过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求;
(2)利用勾股定理全等三角形的性质求解.
【解答】解:(1)如图, 点F即为所求.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=3,
∵△ABE∽△DFA,
∴=,
∴=,
∴DF=.
【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型.
17.如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E.
(1)求证:△AEF∽△DCF;
(2)若AF:DF=1:2, AE=, S△AEF=.
①求AB的长;
②求△EBC的面积.
【分析】(1)根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E=∠FCD, ∠EAF=∠CDF, 从而可以得到结论成立;
(2)①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长;
②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BA∥CD,
∴∠E=∠FCD, ∠EAF=∠CDF,
∴△AEF∽△DCF;
(2)解:①由(1)知△AEF∽△DCF,
∴,
∵AF:DF=1:2, AE=,
∴,
∴DC=2,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,
∴AB=2;
②∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴△EAF∽△EBC,
∴=()2,
∵S△AEF=, AB=2, AE=,
∴EB=EA+AB=3,
∴==,
∴,
解得S△EBC=6,
即△EBC的面积是6.
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.
18.如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC边上的点F处.
(1)求证:△ABF∽△FCE;
(2)若, 求EC的长.
【分析】(1)利用同角的余角相等, 先说明∠BAF=∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论;
(2)先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=90°.
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴∠D=∠AFE=90°.
∵∠BAF+∠AFB=180°, ∠AFB+∠EFC=90°,
∴∠BAF=∠EFC.
又∵∠B=∠C,
∴△ABF∽△FCE.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3.
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴AD=AF=6, DE=EF.
在Rt△ABF中,
BF==3.
设CE的长为x, 则DE=EF=3﹣x.
∵△ABF∽△FCE,
∴=.
∴CE•AF=BF•EF,
即x×6=3×(3﹣x).
∴x=, 即EC=.
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键.
19.如图1, 在△ABC中, 已知AB=6, AC=8, BC=10.点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F.
(1)若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长.
(2)在(1)的条件下, 求证:△AFB∽△EFD.
(3)是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形?若存在, 请直接写出这时∠CAD的正切值;若不存在, 请说明理由.
【分析】(1)先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC=90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得=, 则CE==;
(2)由DE垂直平分BC, 得BE=CE, 则∠DEF=∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC=∠ABC, 由AD=BD=BC, 得∠ABC=∠BAF, 则∠BAF=∠DEF, 而∠AFB=∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD;
(3)作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID:IC:DC=3:4:5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD=, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG=AB=6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH=×6×8=S△ABC, 求得AH=, 再由勾股定理求得GH=BH=, 则CD=;二是△ABG是等腰三角形, 且BG=AB=6, 则CD=×(10﹣6)=2;三是△ABG是等腰三角形, 且BG=AG, 则CG=AG=BG=BC=5, 所以CD=CG=;四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG=AB=6, DC=×(10+6)=8.
【解答】(1)解:∵AB=6, AC=8, BC=10,
∴AB2+AC2=BC2=100,
∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC=90°,
由翻折得DG=DC,
∵DE⊥BC,
∴∠GDE=∠CDE=∠BDE=90°,
∴点G在射线CB上,
如图2, 点G和点B重合, 则DB=DC=BC=5,
∵∠CDE=∠CAB=90°, ∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAB,
∴=,
∴CE===,
∴CE的长是.
(2)证明:如图2,
∵DE垂直平分BC,
∴BE=CE,
∴∠DEF=∠DEC,
∵△CDE∽△CAB,
∴∠DEC=∠ABC,
∴AD=BD=BC,
∴∠ABC=∠BAF,
∴∠BAF=∠ABC=∠DEC=∠DEF,
∵∠AFB=∠EFD,
∴△AFB∽△EFD.
(3)解:存在,
作DI⊥AC于点I, 则∠DIC=∠AID=∠BAC=90°,
∵∠C=∠C,
∴△DIC∽△BAC,
∴==,
∴===, ===,
∴ID:IC:DC=3:4:5,
如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG=AB=6,
作AH⊥BC于点H, 则∠AHB=90°,
∵×10AH=×6×8=S△ABC,
∴AH=,
∴GH=BH==,
∴DC=CG=×(10﹣2×)=,
∴ID=DC=×=, IC=DC=×=,
∴AI=8﹣=,
∴tan∠CAD===;
如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG=AB=6,
∴CD=×(10﹣6)=2,
∴ID=×2=, IC=×2=,
∴AI=8﹣=,
∴tan∠CAD===;
如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG=AG, 则∠GAB=∠B,
∵∠GAC+∠GAB=90°, ∠C+∠B=90°,
∴∠GAC=∠C,
∴CG=AG=BG=BC=5,
∴CD=CG=,
∴ID=×=, IC=×=2,
∴AI=8﹣2=6,
∴tan∠CAD===;
如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG=AB=6,
∴DC=×(10+6)=8,
∴ID=×8=, IC=×8=,
∴AI=8﹣=,
∴tan∠CAD===3,
综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3.
【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
20.定义:一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'=k⋅OP(k≠0), 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,
(1)如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, AB=6cm.点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ=120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大(不要求尺规作图);
(2)求(1)中作出的菱形P'Q'M'N'的面积;
(3)如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF.请用定义证明:△ABG与△MCF位似.
【分析】(1)根据定义画出图形即可;
(2)当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt△CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可;
(3)延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF=OC, OG=BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC(SAS), 得∠FOM=∠COM, △AGO≌△ABO(SAS), 得∠FOA=∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到==, 即可证明△ABG与△MCF位似.
【解答】解:(1)如图:
(2)∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,
∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,
∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,
∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,
∵∠APQ=120°,
∴∠QPB=∠M'N'B=60°,
∵∠CAB=30°, ∠ACB=90°,
∴∠B=60°,
∴△BM'N'是等边三角形,
∴M'B=M'N'=Q'M',
∵AB=6cm,
∴BC=3cm,
∴CM'=3﹣BM',
在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'=30°,
∴Q'M'=2CM',
∴BM'=2(3﹣BM'),
解得BM'=2,
在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E,
∵BM'=2, ∠B=60°,
∴M'E=,
∴菱形P'Q'M'N'的面积=2;
(3)延长GF、BC交于O点, 连接AO,
∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形,
∴AG=AB, ∠AGF=∠ABC,
∴∠OGB=∠OBG,
∴OG=BO,
∵GF=BC,
∴OF=OC,
∴=,
连接OM,
∵∠GFE=∠BCD,
∴∠MFO=∠MCO,
∵∠OFC=∠FCO,
∴∠MCF=∠FCM,
∴CM=FM,
∴△MOF≌△MOC(SAS),
∴∠FOM=∠COM,
∵AG=AB, ∠AGO=∠ABO, GO=BO,
∴△AGO≌△ABO(SAS),
∴∠FOA=∠BOA,
∴MO与AO重合,
∴A、M、O三点共线,
∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,
∴MF∥AG,
∴=,
∵CM∥AB,
∴=,
∴==,
∴△ABG与△MCF位似.
【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键.
21.如图, l1∥l2∥l3, AB=7, DE=6, EF=12, 求AC的长.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可.
【解答】解:∵l1∥l2∥l3,
∴,
即,
∴BC=14,
∴AC=AB+BC=7+14=21.
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
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