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    【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似

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    【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似

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    这是一份【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似,共25页。试卷主要包含了已知=, 那么的值是,点C为线段AB的黄金分割点,若3x=2y等内容,欢迎下载使用。


    图形的相似
    一.选择题(共10小题)
    1.如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA=2, AC=3, 则的值为(  )

    A. B. C. D.
    2.已知线段a、b、c、d, 如果ab=cd, 那么下列式子中一定正确的是(  )
    A. B. C. D.
    3.已知=, 那么的值是(  )
    A. B.﹣ C.5 D.﹣5
    4.在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A(﹣4, 2)的对应点C的坐标是(  )
    A.(﹣2, 1) B.(﹣2, 1)或(2, ﹣1)
    C.(﹣8, 4) D.(﹣8, 4)或(8, ﹣4)
    5.如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB=4, AC=9, 那么的值是(  )

    A. B. C. D.
    6.如图, 在△ABC中, AB=AC=6, D在BC边上, ∠ADE=∠B, CD=4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为(  )

    A.4 B.2 C.3 D.6
    7.点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC), 且AB=2, 则AC的长为(  )
    A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.3﹣
    8.若3x=2y(y≠0), 则下列比例式成立的是(  )
    A. B. C. D.
    9.线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a=2, b=, 则d=(  )
    A. B. C. D.
    10.若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2:3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为(  )
    A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
    二.填空题(共5小题)
    11.已知=, 那么=   .
    12.如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论:①;②;③AD=DF;④AD2=BE•BF.其中正确的是    (把正确结论的序号都填上).

    13.非零实数x, y满足2x=3y, 则=   .
    14.已知, 则=   .
    15.如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F.已知AC=3, CE=5, DF=4, 则BD的长为    .

    三.解答题(共6小题)
    16.如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE.
    (1)利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DFA.(不写作法, 保留作图痕迹)
    (2)若AE=4, AB=3, 求DF的长.

    17.如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E.
    (1)求证:△AEF∽△DCF;
    (2)若AF:DF=1:2, AE=, S△AEF=.
    ①求AB的长;
    ②求△EBC的面积.

    18.如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC边上的点F处.
    (1)求证:△ABF∽△FCE;
    (2)若, 求EC的长.

    19.如图1, 在△ABC中, 已知AB=6, AC=8, BC=10.点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F.
    (1)若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长.
    (2)在(1)的条件下, 求证:△AFB∽△EFD.
    (3)是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形?若存在, 请直接写出这时∠CAD的正切值;若不存在, 请说明理由.

    20.定义:一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'=k⋅OP(k≠0), 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,
    (1)如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, AB=6cm.点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ=120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大(不要求尺规作图);
    (2)求(1)中作出的菱形P'Q'M'N'的面积;
    (3)如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF.请用定义证明:△ABG与△MCF位似.


    21.如图, l1∥l2∥l3, AB=7, DE=6, EF=12, 求AC的长.


    2023年中考数学专题复习--图形的相似
    参考答案与试题解析
    一.选择题(共10小题)
    1.如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA=2, AC=3, 则的值为(  )

    A. B. C. D.
    【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出=, 求出答案即可.
    【解答】解:∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,
    ∴△BOA∽△DOC,
    ∴=,
    ∵OA=2, AC=3,
    ∴=.
    故选:D.
    【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键.
    2.已知线段a、b、c、d, 如果ab=cd, 那么下列式子中一定正确的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断.
    【解答】解:∵ab=cd,
    ∴=,
    故选:C.
    【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题.
    3.已知=, 那么的值是(  )
    A. B.﹣ C.5 D.﹣5
    【分析】根据已知条件得出a=5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案.
    【解答】解:∵=,
    ∴3a﹣3b=2a+2b,
    ∴a=5b,
    ∴==5.
    故选:C.
    【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积.
    4.在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A(﹣4, 2)的对应点C的坐标是(  )
    A.(﹣2, 1) B.(﹣2, 1)或(2, ﹣1)
    C.(﹣8, 4) D.(﹣8, 4)或(8, ﹣4)
    【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答.
    【解答】解:以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为(﹣4, 2),
    则点A的对应点C的坐标为(﹣4×, 2×)或(4×, ﹣2×), 即(﹣2, 1)或(2, ﹣1),
    故选:B.
    【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.
    5.如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB=4, AC=9, 那么的值是(  )

    A. B. C. D.
    【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可.
    【解答】解:∵AD∥BE∥FC, AB=4, AC=9,
    ∴===,
    故选:C.
    【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键.
    6.如图, 在△ABC中, AB=AC=6, D在BC边上, ∠ADE=∠B, CD=4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为(  )

    A.4 B.2 C.3 D.6
    【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB=∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解.
    【解答】解:过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,

    ∵AB=AC=6,
    ∴∠B=∠C,
    ∵∠ADE=∠B, ∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
    ∴∠BAD=∠CDE,
    ∴△ABD∽△DCE.
    ∴,
    ∵△ABD的面积等于9,
    ∴AB•DM=×6×DM=9,
    ∴DM=3,
    ∴,
    ∴EN=2.
    ∴△CDE的面积为CD•EN=×4×2=4,
    故选:A.
    【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键.
    7.点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC), 且AB=2, 则AC的长为(  )
    A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.3﹣
    【分析】根据黄金分割的定义可得到AC=AB, 然后把AB=2代入计算即可.
    【解答】解:根据题意得AC=AB=×2=﹣1.
    故选:C.
    【点评】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC), 且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC), 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个.
    8.若3x=2y(y≠0), 则下列比例式成立的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
    【解答】解:A、由=得, xy=6, 故本选项比例式不成立;
    B、由=得, 3x=2y, 故本选项比例式成立;
    C、由=得, 2x=3y, 故本选项比例式不成立;
    D、由=得, xy=6, 故本选项比例式不成立.
    故选:B.
    【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键.
    9.线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a=2, b=, 则d=(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据成比例线段的概念, 可得a:b=c:d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d的值.
    【解答】解:∵a:b=c:d,
    ∴ad=bc,
    ∵a=2, b=, c=2,
    ∴2d=×2,
    ∴d=.
    故选:D.
    【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解.
    10.若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2:3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为(  )
    A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
    【分析】根据相似三角形的性质:面积的比等于相似比的平方, 解答即可.
    【解答】解:∵△ADE∽△ABC, 相似比为2:3,
    ∴△ADE与△ABC的面积比为(2:3)2=4:9.
    故选:C.
    【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
    二.填空题(共5小题)
    11.已知=, 那么= ﹣ .
    【分析】根据已知条件得出=, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可.
    【解答】解:∵=,
    ∴=,
    ∴=1﹣=1﹣=﹣.
    故答案为:﹣.
    【点评】此题考查了比例的性质.题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形.
    12.如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论:①;②;③AD=DF;④AD2=BE•BF.其中正确的是  ①③④ (把正确结论的序号都填上).

    【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE:AB=1:2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得=()2=, 故选①选项正确;根据相似三角形的性质得到=, 设CE=a, AD=b, 则CD=2a, 于是得到=, 故②选项错误;如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM=DE=DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD=DF, 故③选项正确;根据射影定理和矩形的性质得到AD2=BE•BF.故④正确.
    【解答】解:∵E是CD边的中点,
    ∴CE:AB=1:2,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴CE∥AB,
    ∴△CEF∽△ABF,
    ∴=()2=, 故选①选项正确;
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD∥BC, ∠ADC=∠BCD=90°,
    ∴∠CAD=∠BCF,
    ∵BE⊥AC,
    ∴∠CFB=90°,
    ∴∠ADC=∠CFB,
    ∴△ADC∽△CFB,
    ∴=,
    设CE=a, AD=b, 则CD=2a,
    ∴=,
    即b=a,
    ∴=,
    ∴=, 故②选项错误;
    如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,

    ∵DE∥BM, BE∥DM,
    ∴四边形BMDE是平行四边形,
    ∴BM=DE=DC,
    ∴BM=AM,
    ∴AN=NF,
    ∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,
    ∴DN⊥AF,
    ∴DM垂直平分AF,
    ∴AD=DF, 故③选项正确;
    ∵∠BCE=90°, BE⊥AC,
    ∴BC2=BF•BE,
    ∵AD=BC,
    ∴AD2=BE•BF.故④正确;
    故答案为:①③④.
    【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键.
    13.非零实数x, y满足2x=3y, 则=  .
    【分析】根据比例的性质解决此题.
    【解答】解:∵2x=3y,
    ∴.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键.
    14.已知, 则=  .
    【分析】根据比例的性质, 由, 得5x=2(x+y), 即3x=2y, 即可求出答案.
    【解答】解:∵,
    ∴5x=2(x+y),
    ∴3x=2y,
    ∴=.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
    15.如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F.已知AC=3, CE=5, DF=4, 则BD的长为   .

    【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到=, 然后利用比例性质得到BD的长.
    【解答】解:∵AB∥CD∥EF,
    ∴=, 即=,
    解得BD=.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例.
    三.解答题(共6小题)
    16.如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE.
    (1)利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DFA.(不写作法, 保留作图痕迹)
    (2)若AE=4, AB=3, 求DF的长.

    【分析】(1)过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求;
    (2)利用勾股定理全等三角形的性质求解.
    【解答】解:(1)如图, 点F即为所求.


    (2)∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AD=AB=3,
    ∵△ABE∽△DFA,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴DF=.
    【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型.
    17.如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E.
    (1)求证:△AEF∽△DCF;
    (2)若AF:DF=1:2, AE=, S△AEF=.
    ①求AB的长;
    ②求△EBC的面积.

    【分析】(1)根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E=∠FCD, ∠EAF=∠CDF, 从而可以得到结论成立;
    (2)①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长;
    ②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴BA∥CD,
    ∴∠E=∠FCD, ∠EAF=∠CDF,
    ∴△AEF∽△DCF;
    (2)解:①由(1)知△AEF∽△DCF,
    ∴,
    ∵AF:DF=1:2, AE=,
    ∴,
    ∴DC=2,
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=DC,
    ∴AB=2;
    ②∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,
    ∴△EAF∽△EBC,
    ∴=()2,
    ∵S△AEF=, AB=2, AE=,
    ∴EB=EA+AB=3,
    ∴==,
    ∴,
    解得S△EBC=6,
    即△EBC的面积是6.
    【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.
    18.如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC边上的点F处.
    (1)求证:△ABF∽△FCE;
    (2)若, 求EC的长.

    【分析】(1)利用同角的余角相等, 先说明∠BAF=∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论;
    (2)先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠B=∠C=∠D=90°.
    ∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,
    ∴∠D=∠AFE=90°.
    ∵∠BAF+∠AFB=180°, ∠AFB+∠EFC=90°,
    ∴∠BAF=∠EFC.
    又∵∠B=∠C,
    ∴△ABF∽△FCE.
    (2)解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AB=CD=3.
    ∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,
    ∴AD=AF=6, DE=EF.
    在Rt△ABF中,
    BF==3.
    设CE的长为x, 则DE=EF=3﹣x.
    ∵△ABF∽△FCE,
    ∴=.
    ∴CE•AF=BF•EF,
    即x×6=3×(3﹣x).
    ∴x=, 即EC=.
    【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键.
    19.如图1, 在△ABC中, 已知AB=6, AC=8, BC=10.点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F.
    (1)若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长.
    (2)在(1)的条件下, 求证:△AFB∽△EFD.
    (3)是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形?若存在, 请直接写出这时∠CAD的正切值;若不存在, 请说明理由.

    【分析】(1)先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC=90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得=, 则CE==;
    (2)由DE垂直平分BC, 得BE=CE, 则∠DEF=∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC=∠ABC, 由AD=BD=BC, 得∠ABC=∠BAF, 则∠BAF=∠DEF, 而∠AFB=∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD;
    (3)作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID:IC:DC=3:4:5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD=, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG=AB=6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH=×6×8=S△ABC, 求得AH=, 再由勾股定理求得GH=BH=, 则CD=;二是△ABG是等腰三角形, 且BG=AB=6, 则CD=×(10﹣6)=2;三是△ABG是等腰三角形, 且BG=AG, 则CG=AG=BG=BC=5, 所以CD=CG=;四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG=AB=6, DC=×(10+6)=8.
    【解答】(1)解:∵AB=6, AC=8, BC=10,
    ∴AB2+AC2=BC2=100,
    ∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC=90°,
    由翻折得DG=DC,
    ∵DE⊥BC,
    ∴∠GDE=∠CDE=∠BDE=90°,
    ∴点G在射线CB上,
    如图2, 点G和点B重合, 则DB=DC=BC=5,
    ∵∠CDE=∠CAB=90°, ∠C=∠C,
    ∴△CDE∽△CAB,
    ∴=,
    ∴CE===,
    ∴CE的长是.
    (2)证明:如图2,
    ∵DE垂直平分BC,
    ∴BE=CE,
    ∴∠DEF=∠DEC,
    ∵△CDE∽△CAB,
    ∴∠DEC=∠ABC,
    ∴AD=BD=BC,
    ∴∠ABC=∠BAF,
    ∴∠BAF=∠ABC=∠DEC=∠DEF,
    ∵∠AFB=∠EFD,
    ∴△AFB∽△EFD.
    (3)解:存在,
    作DI⊥AC于点I, 则∠DIC=∠AID=∠BAC=90°,
    ∵∠C=∠C,
    ∴△DIC∽△BAC,
    ∴==,
    ∴===, ===,
    ∴ID:IC:DC=3:4:5,
    如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG=AB=6,
    作AH⊥BC于点H, 则∠AHB=90°,
    ∵×10AH=×6×8=S△ABC,
    ∴AH=,
    ∴GH=BH==,
    ∴DC=CG=×(10﹣2×)=,
    ∴ID=DC=×=, IC=DC=×=,
    ∴AI=8﹣=,
    ∴tan∠CAD===;
    如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG=AB=6,
    ∴CD=×(10﹣6)=2,
    ∴ID=×2=, IC=×2=,
    ∴AI=8﹣=,
    ∴tan∠CAD===;
    如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG=AG, 则∠GAB=∠B,
    ∵∠GAC+∠GAB=90°, ∠C+∠B=90°,
    ∴∠GAC=∠C,
    ∴CG=AG=BG=BC=5,
    ∴CD=CG=,
    ∴ID=×=, IC=×=2,
    ∴AI=8﹣2=6,
    ∴tan∠CAD===;
    如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG=AB=6,
    ∴DC=×(10+6)=8,
    ∴ID=×8=, IC=×8=,
    ∴AI=8﹣=,
    ∴tan∠CAD===3,
    综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3.





    【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
    20.定义:一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'=k⋅OP(k≠0), 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,
    (1)如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, AB=6cm.点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ=120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大(不要求尺规作图);
    (2)求(1)中作出的菱形P'Q'M'N'的面积;
    (3)如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF.请用定义证明:△ABG与△MCF位似.


    【分析】(1)根据定义画出图形即可;
    (2)当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt△CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可;
    (3)延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF=OC, OG=BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC(SAS), 得∠FOM=∠COM, △AGO≌△ABO(SAS), 得∠FOA=∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到==, 即可证明△ABG与△MCF位似.
    【解答】解:(1)如图:

    (2)∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,
    ∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,
    ∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,
    ∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,
    ∵∠APQ=120°,
    ∴∠QPB=∠M'N'B=60°,
    ∵∠CAB=30°, ∠ACB=90°,
    ∴∠B=60°,
    ∴△BM'N'是等边三角形,
    ∴M'B=M'N'=Q'M',
    ∵AB=6cm,
    ∴BC=3cm,
    ∴CM'=3﹣BM',
    在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'=30°,
    ∴Q'M'=2CM',
    ∴BM'=2(3﹣BM'),
    解得BM'=2,
    在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E,
    ∵BM'=2, ∠B=60°,
    ∴M'E=,
    ∴菱形P'Q'M'N'的面积=2;
    (3)延长GF、BC交于O点, 连接AO,
    ∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形,
    ∴AG=AB, ∠AGF=∠ABC,
    ∴∠OGB=∠OBG,
    ∴OG=BO,
    ∵GF=BC,
    ∴OF=OC,
    ∴=,
    连接OM,
    ∵∠GFE=∠BCD,
    ∴∠MFO=∠MCO,
    ∵∠OFC=∠FCO,
    ∴∠MCF=∠FCM,
    ∴CM=FM,
    ∴△MOF≌△MOC(SAS),
    ∴∠FOM=∠COM,
    ∵AG=AB, ∠AGO=∠ABO, GO=BO,
    ∴△AGO≌△ABO(SAS),
    ∴∠FOA=∠BOA,
    ∴MO与AO重合,
    ∴A、M、O三点共线,
    ∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,
    ∴MF∥AG,
    ∴=,
    ∵CM∥AB,
    ∴=,
    ∴==,
    ∴△ABG与△MCF位似.

    【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键.
    21.如图, l1∥l2∥l3, AB=7, DE=6, EF=12, 求AC的长.

    【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可.
    【解答】解:∵l1∥l2∥l3,
    ∴,
    即,
    ∴BC=14,
    ∴AC=AB+BC=7+14=21.
    【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

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