湖北省黄石市阳新县两校联考2022-2023学年八年级上学期期中质量检测数学试题

这是一份湖北省黄石市阳新县两校联考2022-2023学年八年级上学期期中质量检测数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省黄石市阳新县两校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．6，7，8 C．5，6，11 D．9，9，19
3．（3分）下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．（3分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）

A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
5．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
6．（3分）能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（　　）
A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
C．AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列结论不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠EBC＝∠2 C．∠BAC＝∠AFE D．∠AFE＝∠C
8．（3分）若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（　　）
A．10cm B．6cm C．10cm 或6cm D．以上都不对
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则S阴影等于（　　）

A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；⑤AE＝NC，其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，共28分，11-14题每题3分，15-18题每题4分）
11．（3分）点A（1，﹣3）关于x轴的对称点B的坐标是 　 　．
12．（3分）如图，点D在△ABC的BC边延长线上，∠A＝55°，∠B＝60°，则∠ACD的大小是 　 　．

13．（3分）一个正多边形的每个外角都是72°，则这个正多边形的对角线有　 　条．
14．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角是 　 　．
15．（4分）如图，△ABC中，D在BC边上，E在AC边上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 　 　．

16．（4分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　．
17．（4分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　 　．

18．（4分）如图所示，图①是边长为1的等边三角形纸板，周长记为C1，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形，得到图②，周长记为C2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的），得图③④…，图n的周长记为∁n，若n≥3，则Cn+1﹣∁n＝　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）已知：△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A﹣20°，求∠A的度数．
20．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

21．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）求出△A1B1C1的面积．

22．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

23．（8分）（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

24．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代数式表示PC的长度：PC＝　 　．
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0），点D是线段BO上一点，BN⊥AD的延长线于点N．
（1）如图①，若OM∥BN交AD于点M，点O作OG⊥BN，交BN的延长线于点G，求证：AM＝BG．
（2）如图②，若∠ADO＝67.5°，OM∥BN交AD于点M，交AB于点Q，求的值．
（3）如图③，若OC∥AB交BN的延长线于点C，请证明：∠CDN+2∠BDN＝180°．


2022-2023学年湖北省黄石市阳新县两校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．6，7，8 C．5，6，11 D．9，9，19
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、6+7＞8，能组成三角形，故此选项符合题意；
C、5+6＝11，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、9+9＜19，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握判断能否组成三角形的简便方法是：较小的两个数的和是否大于第三个数解题的关键．
3．（3分）下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴A正确，B、C、D错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键．
4．（3分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）

A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
5．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，得出答案即可．
【解答】解：∵任意多边形外角和为360°，
∴它的内角和等于360°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
6．（3分）能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（　　）
A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
C．AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′
【分析】根据全等三角形的判定：AAS，ASA，SSS，SAS依次排除A，B，C三个选项．
【解答】解：A、AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
B、AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
C、AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′满足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
DAC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′符合SAS能判定△ABC≌△A′B′C′．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟记全等三角形的判定定理只有四种情况：AAS，ASA，SSS，SAS．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列结论不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠EBC＝∠2 C．∠BAC＝∠AFE D．∠AFE＝∠C
【分析】由AB＝AC，AD⊥BC可得AD平分∠BAC，判断出∠1＝∠2，再根据AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，可知∠ADC＝∠BEC＝90°，可判断出B与D正确．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
故A正确，不符合题意；
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠C＝∠C，
∴∠EBC＝∠2，
故B正确，不符合题意；
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE＝∠1+∠ABF，
无法得到∠ABF＝∠2，
无法得到∠BAC＝∠AFE，
故C错误，符合题意；
在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠2，
在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，
∴∠AFE＝∠C，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，以及三角形内角和定理，属于基础题．
8．（3分）若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（　　）
A．10cm B．6cm C．10cm 或6cm D．以上都不对
【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边＝26﹣6﹣6＝14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长＝（26﹣6）÷2＝10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则S阴影等于（　　）

A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△DBE＝S△ABD，S△DCE＝S△ADC，
∴S△BCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×8＝4（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底同高的三角形的面积相等．
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；⑤AE＝NC，其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN＝AF＝AE，即可判断⑤；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM＝22.5°，即可判断③，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判断②，根据BE是∠ABC的平分线，，所以AE＝，故④错误．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中，
，
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN，
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴，
∴AE＝，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
二、填空题（本大题共8小题，共28分，11-14题每题3分，15-18题每题4分）
11．（3分）点A（1，﹣3）关于x轴的对称点B的坐标是 　（1，3）　．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出答案．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点B的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．（3分）如图，点D在△ABC的BC边延长线上，∠A＝55°，∠B＝60°，则∠ACD的大小是 　115°　．

【分析】直接利用三角形外角的性质解答即可；
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝55°，∠B＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝55°+60°＝115°，
故答案为：115°．
【点评】此题考查了三角形外角的性质，解题的关键是：熟记外角的性质即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
13．（3分）一个正多边形的每个外角都是72°，则这个正多边形的对角线有　5　条．
【分析】因为是正多边形，所以每个外角都相等，根据多边形的外角和是360°，很容易确定边数．正多边形的边数确定了，那么根据一个多边形有条对角线，很容易算出有多少条．
【解答】解：∵每个外角都是72°，
∴360°÷72°＝5
∴，
∴这个正多边形的对角线是5条，
故应填：5．
【点评】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为条．
14．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角是 　40°或70°　．
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】解：①70°是底角，则顶角为：180°﹣70°×2＝40°；
②70°为顶角；
综上所述，顶角的度数为40°或70°．
故答案为：40°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．（4分）如图，△ABC中，D在BC边上，E在AC边上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 　4cm　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm），
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm，
故答案为：4cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（4分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　9＜AB＜19　．
【分析】如图，延长AD到E使DE＝AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三边关系为：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案为：9＜AB＜19．

【点评】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
17．（4分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　58°　．

【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值．
【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，

∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEC＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
【点评】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
18．（4分）如图所示，图①是边长为1的等边三角形纸板，周长记为C1，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形，得到图②，周长记为C2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的），得图③④…，图n的周长记为∁n，若n≥3，则Cn+1﹣∁n＝　　．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，…根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【解答】解：∵C1＝1+1+1＝3，
C2＝1+1+＝，
C3＝1+1+×3＝，
C4＝1+1+×2+×3＝，
…，
∴C3﹣C2＝﹣＝，

C4﹣C3＝﹣＝，
则Cn+1﹣∁n＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）已知：△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A﹣20°，求∠A的度数．
【分析】设∠A＝x度，则∠B＝2x度，∠C＝x﹣20°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x度，则∠B＝2x度，∠C＝x﹣20°
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°
∴x+2x+x﹣20＝180°
∴x＝50°
即∠A＝50°
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF，从而得出AB＝CD．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质证出∠B＝∠C．
21．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）求出△A1B1C1的面积．

【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（2，2）；

（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3＝2．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
23．（8分）（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．
24．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代数式表示PC的长度：PC＝　6﹣2t　．
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【分析】（1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB＝PC＝3，CQ＝BD＝4，得2t＝3，at＝4，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得：PB＝2t，
则PC＝6﹣2t；
故答案为：6﹣2t；
（2，理由是：
当t＝a＝1时，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝4，
∴BD＝PC＝4，
在△CQP和△BPD中，
∵，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
∴t＝，
∴a＝4，
a＝，
∴当a＝时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点评】本题是三角形的动点运动问题，考查了全等三角形的判定，主要运用了路程＝速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0），点D是线段BO上一点，BN⊥AD的延长线于点N．
（1）如图①，若OM∥BN交AD于点M，点O作OG⊥BN，交BN的延长线于点G，求证：AM＝BG．
（2）如图②，若∠ADO＝67.5°，OM∥BN交AD于点M，交AB于点Q，求的值．
（3）如图③，若OC∥AB交BN的延长线于点C，请证明：∠CDN+2∠BDN＝180°．

【分析】（1）欲证明AM＝BG，只要证明△AOM≌△BOG即可；
（2）作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．先证明△OAM≌△BOH，推出OM＝BH，AM＝OH，再证明△OMD≌△BHQ，推出DM＝QH，推出AD﹣OQ＝AM+DM﹣（OH﹣HQ）＝2DM．
（3）如图③中，作OE平分∠AOB交AD于E．只要证明△AOE≌△OBC，推出OE＝OC，再证明△ODE≌△ODC，推出∠ODE＝∠ODC，由∠ODE＝∠BDN，可得∠ODC＝∠BDN，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图①中，

∵BN⊥AN，OM∥BG，
∴OM⊥AN，
∴∠AMO＝∠ANB＝∠AOD＝90°，
∵∠ADO＝∠BDN，
∴∠OAD＝∠DBN，
∵A（0，6），B（6，0），
∴OA＝OB，
∵OG⊥BG，
∴∠OGB＝∠AOD＝90°，
∴△AOM≌△BOG，
∴AM＝BG．

（2）如图②中，作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．

∵∠ADO＝67.5°，
∴∠BOH＝∠OAM＝22.5°，
∵OA＝OB，∠AMO＝∠H＝90°，
∴△OAM≌△BOH，
∴OM＝BH，AM＝OH，
∵AN⊥OH，OH⊥BH，
∴∠ADO＝∠OBH＝67.5°，
∵∠OBA＝45°，
∴∠HBQ＝∠DOM＝22.5°，
∵∠OMD＝∠H＝90°，
∴△OMD≌△BHQ，
∴DM＝QH，
∴AD﹣OQ＝AM+DM﹣（OH﹣HQ）＝2DM，
∴＝＝．

（3）如图③中，作OE平分∠AOB交AD于E．

∵OC∥AB，
∴∠COB＝∠ABO＝∠AOE＝45°，
∵OA＝OB，∠OAE＝∠OBC，
∴△AOE≌△OBC，
∴OE＝OC，
∵∠EOD＝∠DOC，OD＝OD，
∴△ODE≌△ODC，
∴∠ODE＝∠ODC，
∵∠ODE＝∠BDN，
∴∠ODC＝∠BDN，
∵∠CDN+∠ODC+∠BDN＝180°，
∴∠CDN+2∠BDN＝180°．
【点评】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．