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数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品课件ppt
展开这是一份数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品课件ppt,共28页。PPT课件主要包含了新知讲解,一空间向量基本定理,即时巩固,空间的基底,所以x+y=0,空间向量基本定理,反思感悟,跟踪训练,解连接BO,延伸探究等内容,欢迎下载使用。
1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.3. 会用基底法表示空间向量.4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.核心素养:数学运算、直观想象
如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= .我们把{a,b,c}叫做空间的一个 ,a,b,c都叫做基向量.
二 空间向量的正交分解
1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都是 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.2.向量的正交分解由空间向量基本定理可知,对空间任一向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
思考 零向量能否作为基向量?
不能. 零向量与任意两个向量a,b都共面.
思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题?
平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题.
(1)对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 .(2)如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 .
(1)θ为a,b的夹角,则cs θ= .(2)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔ .
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题?
几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围.
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题?
几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得.
判断正误:1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.( )2.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( )3.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线.( )4.对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使0=xa1+ya2+za3.( )
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,∵e1,e2,e3不共面,
反思感悟 基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为一个基底.(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{b,c,z},③{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A.1个 B.2个C.3个 D.0个
解析 因为x=a+b,所以向量x,a,b共面.如图,
(2)已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x+y=_____.
解析 因为m与n共线,所以xa+yb+c=z(a-b+c).
解 连接A′N(图略).
反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
三、证明平行、共面问题
例3 如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,E,F分别为AA′和CC′的中点.求证:BF∥ED′.
∵直线BF与ED′没有公共点,∴BF∥ED′.
反思感悟 证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
所以A,E,C1,F四点共面.
例4 如图所示,在三棱锥A-BCD 中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(1)证明:AE⊥BC;(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.
四、求夹角、证明垂直问题
又DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,
跟踪训练 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
例5 已知平面α⊥平面β,且α∩β=l ,在l上有两点A,B,线段AC⊂α ,线段BD⊂β ,并且AC⊥l ,BD⊥l,AB=6,BD=24,AC=8,则CD=________.
五、求距离(长度)问题
解析 ∵平面α⊥平面β,且α∩β=l,在l上有两点A,B,线段AC⊂α,线段BD⊂β,AC⊥ l ,BD⊥ l ,AB=6,BD=24,AC=8,
反思感悟 求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量,利用基底表示向量,将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.
1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
解析 对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D中的向量共面.故选C.
解析 取PC的中点E,连接NE,
4.(多选)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则“点M与点A,B,C共面”的充分条件是( )
因为2+(-1)+(-1)=0≠1,1+1+(-1)=1,
由上可知,BD满足要求.
A.90° B.60°C.45° D.30°
解析 因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AC,SA⊥AB,
又AB⊥BC,AB=BC=2,
所以SC与AB所成角的大小为60° .
6.如图,已知▱ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC的长为________.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.
1.知识清单:(1)空间的基底.(2)空间向量基本定理.(3)空间向量共线、共面的充要条件.(4)向量的数量积及应用.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)基向量理解错误,没有注意到基向量的条件.(2)运算错误:利用基底表示向量时计算要细心.(3)向量夹角和线线角的范围不同,不要混淆.(4)转化目标不清:表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义.
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