河南省南阳市2021-2022学年高二数学（文）上学期期末试题（Word版附解析）

2021年秋期高中二年级期终质量评估

数学试题（文）

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，命题“若，则，全为0”的否命题是（    ）

A. 若，则，全不为0. B. 若，不全为0，则.

C. 若，则，不全为0. D. 若，则，全不为0.

【答案】C

【解析】

【分析】根据四种命题的关系求解.

【详解】因为否命题是否定原命题的条件和结论，

所以命题“若，则，全为0”的否命题是：

若，则，不全为0，

故选：C

2. 已知数列是公差为等差数列，，则（    ）

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9

【答案】D

【解析】

【分析】结合等差数列的通项公式求得.

【详解】设公差，.

故选：D

3. 春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（    ）

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.

【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.

故选：B.

4. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A.  B. 0 C. 6 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.

【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.

故选：C

5. 已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为，

设点，则，且有，

所以，.

故选：A.

6. 已知函数，为的导数，则（    ）

A. -1 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由导数的乘法法则救是导函数后可得结论．

【详解】解：由题意，，所以.

故选：B．

7. 不等式的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式，由此判断必要不充分条件.

【详解】，解得，

所以不等式的一个必要不充分条件是.

故选：B

8. 下列说法正确的个数有（    ）个

①在中，若，则

②是，，成等比数列的充要条件

③直线是双曲线的一条渐近线

④函数的导函数是，若，则是函数的极值点

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.

【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，

②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，

③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，

④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.

故选：B.

9. 已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（    ）

A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线的一支

【答案】D

【解析】

【分析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.

【详解】圆圆心为，半径为，

依题意可知，

结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.

故选：D

10. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.

【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.

故选：A

11. 若数列的前项和，则此数列是（    ）

A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 以上说法均不对

【答案】D

【解析】

【分析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，所以是等差数列；

当时，为非等差数列，非等比数列’

当时，，所以是等比数列，

故选：D

12. 已知函数是定义在上奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集.

【详解】令，则函数的定义域为，

且，则函数为偶函数，

所以，，

当时，，所以，函数在上为增函数，

故函数在上为减函数，

由等价于或：

当时，由可得；

当时，由可得.

综上所述，不等式的解集为.

故选：A.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知命题，则命题的的否定是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题即，

故答案为：

14. 抛物线的准线方程是___________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据抛物线方程求出，进而求出准线方程.

【详解】抛物线为，则，解得：，准线方程为：.

故答案为：

15. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.

【详解】设点、，则，由已知可得，

由题意可得，将两个等式相减得，

所以，，

因此，.

故答案为：.

16. 已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.

【详解】当时，有

当时，由  ①

有   ②

由①－②得：

所以，当时也成立.

所以,故

则

由，即，所以

所以，由

所以

故答案为：

【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知，，分别为三个内角,,的对边，.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.

【答案】(1) (2)=2

【解析】

【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得

由于，所以，

又，故.

(Ⅱ)的面积==,故=4，

而故=8，解得=2

18. 已知函数，其中为实数.

（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；

（2）若，求在上的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.

【小问1详解】

，

.

由题意得：，解得：.

，

【小问2详解】

，则，解得，

，

，

当，解得：，即函数在单调递减，

当，解得：或，

即函数分别在，递增.

又，，，，

，.

19. 已知数列中，，.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，取倒数得到，再利用等差数列的定义求解；

（2）由（1）得到，利用错位相减法求解.

【小问1详解】

证明：由，以及，显然，

所以，即，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，

所以；

【小问2详解】

由（1）可得，，

所以数列的前项和①

所以②

则由②-①可得：

，

所以数列的前项和.

20. 已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.

（1）求该抛物线的标准方程和的值；

（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；

（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分直线的斜率不存在时，检验即可；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用向量的数量积运算求解.

【小问1详解】

解：∵抛物线焦点在轴上，且过点，

∴设抛物线方程为，

由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，

即点到准线的距离等于5，

则，

，

∴抛物线方程为，

又点在抛物线上，

，

，

∴所求抛物线方程为，.

【小问2详解】

方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，

由得，

设，，则，，

所以

，即为定值；

方法二：由于直线过点，

①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由

可得，，，所以；

②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，

由得，

设，，则，.

所以

，即为定值.

综上，为定值.

21. 已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由求得的值.

（2）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.

【小问1详解】

因为，所以，

因为函数的图像在点处取得极值，

所以，，

经检验，符合题意，所以；

【小问2详解】

由（1）知，，

所以在恒成立，即对任意恒成立.

令，则.

设，易得是增函数，

所以，

所以，

所以函数在上为增函数，

则，所以.

22. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，，再由 ，即可求解.

（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出 ，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.

【详解】解（1）由题意得：，，∴ ，

∴

∴椭圆的方程为

(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为

与椭圆的方程联立可得：①

设两点的坐标为，由韦达定理得：

，

∴

点到直线的距离，

∴

由①知：， ，

令，则，∴

令，则 在上的最大值为

∴的最大值为

综上所述：三角形面积的最大值2.

【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.