重庆市第八中学2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

重庆市第八中学2021-2022学年高二上学期期末考试

数学试题

一､单选题

1. 焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（　　）

A. y2=-4x B. y2=4x C. x2=-4y D. x2=4y

【答案】B

【解析】

【分析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求．

【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

由焦点坐标为（1，0），得，即p=2．

∴抛物的标准方程是y2=4x．

故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

2. 已知且，则的值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

由空间向量数量积的坐标运算求解．

【详解】由已知，解得．

故选：C．

3. 直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用直线方程求出直线的斜率，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围．

【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，则 ，∴，即

∴倾斜角的取值范围是．

故选：D

【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题．

4. 方程表示的图形是

A. 两个半圆 B. 两个圆 C. 圆 D. 半圆

【答案】D

【解析】

【分析】其中，再两边同时平方，由此确定图形．

【详解】根据题意，，再两边同时平方，

由此确定图形为半圆.

故选：D

【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围．

5. 已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.

【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，

由题意可知过圆的圆心，

则，解得，点A的坐标为，

，切点为B则，

.

故选:C

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

6. 青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值．

【详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，

设双曲线的方程为：．

最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）．

故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），

化简后得，解得．

故选：C．

7. 圆上到直线的距离为的点共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】C

【解析】

【分析】

求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.

【详解】圆可变为，

圆心为，半径为，

圆心到直线的距离，

圆上到直线的距离为的点共有个.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.

8. 已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据是等腰三角形且为锐角三角形，得到，即，解得离心率范围.

【详解】，当时，，，不妨取，，

是等腰三角形且为锐角三角形，则，即，

，即，，解得，故.

故选：B.

二､多选题

9. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（    ）

A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角

B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率

C. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为

D. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为

【答案】AD

【解析】

【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；

【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；

若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错；

若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错；

若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确；

故选：AD.

【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.

10. 已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（    ）.

A.  B. 最小 C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.

【详解】因为，所以，所以，即，故正确；

当时，无最小值，故错误；

因为，所以，故正确；

因为，故正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.

11. 已知圆：，下列说法正确的是（    ）

A. 的取值范围是

B. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为

C. 若，圆与圆相交

D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；时很容易判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式可判断D.

【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确；

对于B，若，可得圆方程：，

过的直线与圆相交所得弦长为，

则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确；

对于C，，，圆心，半径为，故C正确；

对于D，直线恒过圆的圆心，

可得，，

当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD.

12. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）

A. 为等比数列

B.

C. 轴，且

D. 四边形的内切圆过焦点

【答案】BD

【解析】

【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.

详解】解：，

，，

对于A：为等比数列，

则 ，

，不满足条件，故错误；

对于B：,

,

即解得或（舍去）满足条件.

故B正确；

对于C： 轴，且，

即解得，

不满足题意，故C错误；

对于D：四边形的内切圆过焦点，

即四边形的内切圆的半径为，

解得（舍去）或

，故D正确.

故选：BD

三､填空题

13. 已知直线：和：，且，则实数__________，两直线与之间的距离为__________．

【答案】    ①. -4；    ②. 2

【解析】

【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；

运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.

【详解】解：直线和，，

，解得；

∴

两直线与间的距离是：　.

故答案为：；2.

14. 圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________．

【答案】．

【解析】

【分析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.

【详解】由，可得，即圆心为，

又圆过原点，

所以圆的半径，

故圆的标准方程为．

故答案为：

【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.

15. 已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=______

【答案】

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得，再令即可求解.

【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：

因为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得，再转化为前项和公式的形式，代入的值即可.

16. 如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__．

【答案】8

【解析】

【分析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值．

【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，

由长方体性质知两两垂直，所以，，，，

，

所以，

由得，

所以，

∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，

∴h＝2，

∴，，

∴xy≥8，

再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，

得，S△C′PQ＝xy，

∴△PQC'的面积的最小值是8．

故答案为：8．

四､解答题

17. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得的通项公式.

（2）利用公式法可求数列的前项和.

【详解】解：选择条件①和条件②

（1）设等差数列的公差为，∴

解得：，.∴，.

（2）设等比数列的公比为，，

∴解得，.

设数列的前项和为，∴.

选择条件①和条件③：

（1）设等差数列的公差为，∴

解得：，.∴.

（2），设等比数列的公比为，.

∴，解得，

设数列的前项和为，∴.

选择条件②和条件③：

（1）设等比数列的公比为，，

∴，解得，，.

设等差数列的公差为，∴，又，故.

∴.

（2）设数列的前项和为，

由（1）可知.

【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．

18. 已知直线经过点，，直线经过点，且.

(1)分别求直线，的方程；

(2)设直线与直线的交点为，求外接圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据两点式即可求出直线l1的方程，根据直线垂直的关系即可求l2的方程；（2）先求出C点坐标，通过三角形的长度关系知道三角形是以AC为斜边长的直角三角形，故AC的中点即为外心，AC即为直径.

解析：

(1)∵直线经过点，，

∴，

设直线的方程为，∴，∴.

(2)，即：，∴，的中点为，

∴的外接圆的圆心为，半径为，∴外接圆的方程为：.

点睛：这个题目考查的是已知两直线位置关系求参的问题，还考查了三角形外接圆的问题．对于三角形为外接圆，圆心就是各个边的中垂线的交点，钝角三角形外心在三角形外侧，锐角三角形圆心在三角形内部，直角三角形圆心在直角三角形斜边的中点．

19. 已知动圆过点，且与直线：相切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意分析圆心符合抛物线定义，然后求轨迹方程；

（2）直接联立方程组，求出弦长.

【详解】解：（1）圆过点，且与直线相切

点到直线的距离等于

由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，

依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是．

（2）依题意可知直线，设

联立，得，则，

所以，线段的长度为．

【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设.

（1）写出、的坐标，利用空间向量法计算出直线与所成角的余弦值；

（2）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可计算得出直线与平面所成角的正弦值；

（3）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

【详解】平面，四边形为正方形，设.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则、、、、、.

（1），，

，

所以，异面直线、所成角的余弦值为；

（2）设平面的一个法向量为，，，

由，可得，取，可得，则，

，，

因此，直线与平面所成角的正弦值为；

（3）设平面的一个法向量为，，，

由，可得，得，取，则，，

所以，平面的一个法向量为，

，

由图形可知，二面角锐角，

因此，二面角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

21. 已知等差数列的前项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得，代入公式，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法，即可求得，即可得证.

【详解】解：（1）设数列的公差为，在中，令，得，

即，故①.

由得，所以②.

由①②解得，.

所以数列的通项公式为：.

（2）由（1）可得，

所以，

故，

所以.

因为，所以.

【点睛】数列求和常见方法：

（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法；

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

22. 已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．

求椭圆的标准方程；

过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】根据，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．列出关于 、 、的方程组，求出 、的值，即可得出椭圆的方程；对直线和分两种情况讨论：一种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案．

【详解】易知，得，则，

而，又，得，，

因此，椭圆C的标准方程为；

当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得；

当两条直线斜率都存在且不为0时，由知，

设、，直线MN的方程为，则直线PQ的方程为，

将直线方程代入椭圆方程并整理得：，

显然，，，

，同理得，

所以，，

令，则，，设，

，所以，，所以，，则．

综合可知，的取值范围是．

【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.