江苏省南京市联合体2022年九年级上学期期末数学试卷及答案

 九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．一元二次方程x2＝－2x的解是（　　） 

A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2

C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2

2．不透明的布袋内装有形状、大小、质地完全相同的1个白球，2个红球，3个黑球，若随机摸出一个球恰是黑球的概率为（　　） 

A． B． C． D．

3．小明根据演讲比赛中9位评委所给的分数制作了如下表格： 

如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

4．如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

5．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（　　）

A．4 B． C． D．5

6．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

7．若 ＝ ，则 ＝　     　.

8．设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝　     　，x1x2＝　     　.

9．二次函数y＝x2－2x＋2图象的顶点坐标是　         　.

10．已知B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝6，则AB的长为　     　.（结果保留根号）

11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为　     　.

12．在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为6米，则旗杆的高度为　     　米.

13．如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为　     　.

14．如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝　     　°.

15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为　     　.

16．如图，在⊙O中， ＝ ，AB＝10，BC＝12，D是 上一点，CD＝5，则AD的长为　        　.

三、解答题

17．解方程：

（1）x2－2x－3＝0；

（2）x （x－2）－x＋2＝0.

18．从1名男生和3名女生中随机抽取参加2022年北京冬季奥运会的志愿者.

（1）抽取2名，求恰好都是女生的概率；

（2）抽取3名，恰好都是女生的概率是　     　.

19．甲、乙两班各10名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如下表：

（1）填写下表：

（2）利用方差判断哪个班的成绩更加稳定？

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ .

（1）求证 △ACD∽△ABC；

（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长.

21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，F为AB延长线上一点，连接CF，DF.

（1）若OE＝3，BE＝2，求CD的长；

（2）若CF与⊙O相切，求证DF与⊙O相切.

22．如图，AD和BG是△ABC的高，连接GD.

（1）求证△ADC∽△BGC；

（2）求证△CDG∽△CAB.

23．如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为　         　；

（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.

24．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元.当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶.经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶.

（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为　     　瓶；

（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？

（3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？

25．如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.

（1）求证AP＝BP；

（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径.

26．已知函数y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c为常数）.

（1）若两个函数图象只有一个公共点，求c的值；

（2）点A在函数y1的图象上，点B在函数y2的图象上，A，B两点的横坐标都为m.若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围.

27．（数学认识）

数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系.

（构造模型）

（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝ ∠ACB. 

（不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围.

（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN.（不写作法，保留作图痕迹）

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】

8．【答案】3；－1

9．【答案】（1，1）

10．【答案】

11．【答案】

12．【答案】24

13．【答案】

14．【答案】132

15．【答案】－2

16．【答案】3＋2

17．【答案】（1）解：x2－2x－3＝0

x2－2x＋1＝3＋1

（x－1）2＝4

x－1＝±2

∴x1＝3，x2＝－1；

（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0

（x－2）（x－1）＝0

x-2=0或x-1=0

∴x1＝2， x2＝1.

18．【答案】（1）解：列表如下：

由表格知，共有12种等可能性结果，其中满足“都是女生”（记为事件A）的结果只有6种，

∴抽取2名，恰好都是女生的概率 ；

（2）

19．【答案】（1）解：甲班的众数为：8；

乙班的平均数为： ；

乙班的中位数为： ；

故答案为：8；8；7.5；

（2）解：甲班的方差为：

；

乙班的方差为：

；

∵ ，

∴ ，

∴甲班的成绩更加稳定；

20．【答案】（1）解：∵ ， ，

∴ ；

（2）解：∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ .

21．【答案】（1）解：连接OC，

∵CD⊥AB，

∴CE＝DE，

∴OC＝OB＝OE＋BE＝3＋2＝5，

在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，由勾股定理得：CE2＝OC2－OE2，

∴CE2＝52－32，

∴CE＝4，

∴CD＝2CE＝8.

（2）解：连接OD，

∵CF与⊙O相切，

∴∠OCF＝90°，

∵CE＝DE，CD⊥AB，

∴CF＝DF，

又OF＝OF，OC＝OD，  

∴△OCF≌△ODF，

∴∠ODF＝∠OCF＝90°，即OD⊥DF.

又D在⊙O上，

∴DF与⊙O相切.

22．【答案】（1）解：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，

∴∠BGC＝∠ADC＝90°

又∠C＝∠C，

∴△ADC∽△BGC.

（2）解：∵△ADC∽△BGC，

∴ ，

∴ ，

又∠C＝∠C，

∴△CDG∽△CAB.

23．【答案】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1） 2－4.

将（1，0）代入y＝a（x＋1） 2－4，得，

解得，a＝1，

∴y＝（x＋1） 2－4.

（2）4≤y＜12

（3）解：因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.

24．【答案】（1）140

（2）解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元.

根据题意，列方程： ，

解得：x1＝11，x2＝13.

答：每瓶售价11或13元时，所得日均总利润为700元；

（3）解：设每瓶售价m元时，所得日均总利润为y元.

＝－20m2＋480m－2160＝－20（m－12） 2＋720，

∵－20＜0，

∴当m＝12时，y有最大值720.

即每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元.

25．【答案】（1）解：如图，连接 ， 

，

，

，即 ，

，

；

（2）解：连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，过 作 于点 ， 

，

，

  是 的垂直平分线，

，

，

，

，

在 和 中， ，

，

，

设 ，则 ，

在 中， ，即 ，解得 ，

在 中， ，

即 的半径为 .

26．【答案】（1）解：根据题意，若两个函数图象只有一个公共点，

则方程x2＋3x＋c＝x＋1有两个相等的实数根，

∴△=b2－4ac＝22－4（c－1）＝0，

∴c＝2；

（2）解：由题意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）

∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，

①当m2＋2m＋c－1＞0时，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，

△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，

∴当c＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c＞5时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；

②当m2＋2m＋c－1＜0时，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，

△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，

∴当c＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；

综上，当c＞5时，m有0个；

当c＝5时，m有1个；

当－1＜c＜5时，m有2个；

当c＝－1时，m有3个；

当c＜－1时，m有4个.

27．【答案】（1）解：如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点 ，连接 ，即为所求； 

证明：①∵ ，

∴ ，

∴ ；

同理可证明 ；

（应用模型）

已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c.

（2）解：当C与A或B重合时，则 ， 

∴ ，

∵ ，

∴ ，

如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得 ，

∴ ，

∵同弧所对的圆周角相等，

∴ 为定角，

∴ 为定角，

∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为 外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，

由垂径定理可得：CE垂直平分AB，

∴ ，

在 中，

，

∴ ，

∴ ，

∴AD为直径时最长，

∴ 最长，

∴ 的周长最长.

∴c最长为 ，

∴c的取值范围为： ；

（3）解：方法一：

第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；

第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；

第3步：在MN上截取AB的长度；

第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；

第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；

方法二：

第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得 ；

第2步：作 的外接圆；

第3步：在MN上截取AB的长度；

第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；

第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求.