2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破03 用向量法求空间角

常考题型03 用向量法求空间角

1.异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.

2.异面直线所成的角的取值范围是

3.直线与平面所成的角的定义

(1)当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角；

(2)当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角;

(3)当直线与平面相交但不垂直时，

这条直线与它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角.

4.直线与平面所成的角的范围：0°≤0≤90°。

5.二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角.

6.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

考法一：求异面直线所成的角

设两条异面直线a，b的方向向量分别为，，其夹角为θ，则cosφ=|cosθ|=(其中φ为异面直线a，b所成的角)。

考法二：求直线和平面所成的角

1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

2.如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有sinφ=|cosθ|=。

考法三：求二面角

(1)如图(1)，AB，CD是二面角α-l-β两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=<，>.

(2)如图(2)(3)，，分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ=<，>(或π-<，>)。

探究一：求异面直线所成的角

有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式练习】

1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是线段的中点，N是线段的中点，则直线与直线所成的角是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(    )

A． B． C． D．

探究二：求直线和平面所成的角

在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ）

A． B． C． D．

【变式练习】

1．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（    ）

A． B．

C． D．

探究三：求二面角

正方体中，点为中点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【变式练习】

1．已知二面角的平面角为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知P为正方体的棱上一动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成的锐二面角为，则（    ）

A． B．

C． D．

一、单选题

1．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（    ）

A．四边形是菱形 

B．直线与所成的角的余弦值是

C．直线与平面所成角的正弦值是 

D．平面与平面所成角的正弦值是

2．在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

3．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ）

A． B． C． D．

6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

7．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为，则下面结论正确的是（    ）

A．满足的点的轨迹长度为

B．点存在无数个位置满足直线平面

C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

D．若是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为

10．如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ）

A．到直线的最大距离为 B．点的轨迹是一个圆

C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

11．如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ）

A．与是异面直线

B．与所成角的大小为

C．与平面所成角的余弦值为

D．二面角的余弦值为

12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ）

A．与是异面直线

B．与所成角的大小为

C．与平面所成角的正弦值为

D．二面角的余弦值为

三、填空题

13．如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为______．

14．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______．

15．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________．

16．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：

①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°；

②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为；

③存在点M，使得三棱锥的体积为；

④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角．

则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号）

四、解答题

17．如图，已知是底面为正方形的长方体，，，的的中点.

(1)求证：直线平面：

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

18．如图，已知平面，底面为矩形，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面的夹角的余弦值.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．

(1)求证：；

(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．

20．如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，.

(1)求证：平面AEG；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.