2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破05 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题

常考题型05 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题

1.斜率与倾斜角的对应关系

2.过两点的直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

3.两条直线(不重合)平行的判定

3.两条直线垂直的判定

4.直线的五种形式的方程

考法一：直线的倾斜角与斜率

1.在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围.

2.解决三点共线问题，若已知三个点中的两个点的坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线求解.

3.在解决与含参数的直线方程有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点.

考法二：求直线的方程

1.直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.

2.待定系数法：

(1)设:设出所求直线方程的某种形式.

(2)列:由条件列出所求参数的方程(组).

(3)解:解这个方程(组)求出参数.

(4)代:把参数的值代入所设直线方程.

考法三：利用直线的斜率判断两条直线的位置关系

1.判断平行

先确定题中两条不重合的直线的斜率是否存在，若斜率均不存在，则两直线平行；若只有一条直线斜率存在，则两条直线不平行；若两条直线的斜率均存在，则利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.

（1）判断两条直线是否平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等这种特殊情况，应特殊判断.

（2）在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.

2.判断垂直

当两直线的斜率都存在时，求出斜率，利用垂直的条件（两直线的斜率之积等于—1)判断.当一条直线的斜率不存在时，看另一条直线的斜率是否为0，若为0，则垂直；否则，不垂直。

利用斜率公式来判定两直线垂直的步骤如下：

一看：看所给两点的横坐标是否相等.若相等，则直线的斜率不存在，此时只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直.若所给两点的横坐标不相等，则进行第二步.

二代：将点的坐标代入斜率公式.

三求：计算斜率的值，进行判断.当点的坐标中含有参数时，应用斜率公式前要对参数进行讨论.

考法四：利用直线的方程判断两直线的位置关系

1.根据斜截式方程判断

已知直线：y=x+与直线：y=x+，

①若∥，则=，此时两直线与y轴的交点不同，即≠；反之当=，且≠时，∥.所以有∥⇌=，且≠.

②若⊥，则·=-1；反之当·=-1时，⊥.所以有⊥⇌·=-1.

2.根据一般式方程判断

由一般式方程判断两直线位置关系的方法

探究一：直线的倾斜角与斜率

已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式练习】

1．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A．

B．或

C．或

D．或

2．已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

探究二：求直线的方程

直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.

【变式练习】

1．直线过点，且与直线平行，则直线的一般式方程为______．

2．直线l经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为______．

探究三：利用直线的斜率判断两条直线的位置关系

是直线：与直线：平行的（    ）条件

A．充分不必要  B．必要不充分

C．充要  D．既不充分也不必要

【变式练习】

1．已知直线，，若，则实数m的值是（    ）

A． B．2 C．或2 D．或

2．某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ）

A． B． C．2 D．4

探究四：利用直线的方程判断两直线的位置关系

已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．

【变式练习】

1．已知两条直线：，：，则下列说法正确的是（    ）

A．与一定相交 B．与一定平行

C．与一定相交或平行 D．以上均不对

2．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

一、单选题

1．直线的斜率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知点，，，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，则m，n的关系为（    ）

A．mn＝1 B．mn+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝0

5．某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（    ）

A． B． C．或 D．或

6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ）

A．4 B．10 C．5 D．

7．已知直线l与直线：，：的夹角相等，且直线l过点，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．或

8．已知点，又、分别为过点的直线的法向量和斜率，有下列直线方程：

①；

②；

③（，且）．

其中能表示所有过点的直线方程的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题

9．已知点，，．若为直角三角形，则可能有（　　）

A． B．

C． D．

10．下列说法中，正确的是（ 　  ）

A．直线在轴上的截距是3

B．直线的倾斜角为

C．三点共线

D．直线与垂直

11．已知直线，则（    ）

A．恒过点 B．若，则

C．若，则 D．当时，不经过第三象限

12．已知直线和直线，则（       ）

A．始终过定点 B．若在x轴和y轴上的截距相等，则

C．若，则或2 D．若，则或

三、填空题

13．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为______．

14．已知，，，，若直线直线，则_____．

15．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积不小于5，则k的取值范围为______．

16．已知直线与直线互相垂直，则实数的值为__________.

四、解答题

17．已知点、．

(1)当时，直线MN的倾斜角为何值？

(2)当m取何值时，直线MN的倾斜角为锐角、直角、钝角？

18．（1）求过点且平行于直线的直线的方程；

（2）求过点且垂直于直线的直线的方程．

19．已知直线经过定点P．

(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；

(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．

20．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.

(1)求对角线所在直线方程；

(2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程.

（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）