2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破07 求解圆的方程及与圆有关的最值问题

常考题型07 求解圆的方程及与圆有关的最值问题

1.圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法

3.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

4.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

考法一：求圆的方程

1.直接法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.这种方法一般需要先画出图形，利用数形结合求解.

2.待定系数法

(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；

(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.

考法二：求与圆有关的轨迹方程

1.直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.

2.定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可根据定义写出动点的轨迹方程.

3.代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(，)的运动而运动，且，可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.

考法三：与圆有关的最值问题

4种常见转化法

(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(4)圆外一定点到圆上的点的距离的最值可转化为该点到圆心的距离再加（最大值）减（最小值）半径.

探究一：求圆的方程

圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（    ）

A． B．

C． 或  D． 或

【变式练习】

1．已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ）．

A． B．

C． D．

探究二：求与圆有关的轨迹方程

已知点，，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【变式练习】

1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（    ）．

A． B． C． D．

探究三：与圆有关的最值问题

古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，若点P不在直线上，则面积的最大值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【变式练习】

1．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（    ）

A． B．17 C． D．15

2．在长方体中，，，点P是底面ABCD内的动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

一、单选题

1．已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．5 D．

2．与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的取值范围是（    ）

A．[8，64] B．[9，64]

C．[8，49] D．[9，49]

4．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标是（    ）

A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7

5．某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆关于直线对称，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．点M的轨迹是圆 B．的最小值为6

C．使为整数的直线l共有9条 D．使为整数的直线l共有16条

11．已知圆，直线交圆C于点A，B，线段AB的中点为M，则以下各点在点M的轨迹上的有（    ）

A． B． C． D．

12．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的圆心为 B．圆被轴截得的弦长为10

C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为8

三、填空题

13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________．

14．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为______．

15．已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为______，最小值为_______，的范围为________．

16．在中，，，则当面积的最大值为时，k＝______．

四、解答题

17．已知中，点，边所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.

(1)求点和点的坐标；

(2)以为圆心作一个圆，使得，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.

18．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．

(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；

(2)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．

19．已知定点，，动点P满足.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.

20．数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若的顶点，且的欧拉线的方程为.

(1)求外接圆方程；

(2)求边上的高线截外接圆的弦长.