浙江省金华市武义县浙教版2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份浙江省金华市武义县浙教版2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省金华市武义县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180°
B．全等三角形的对应角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．相等的角是对顶角
4．不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．关于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．经过第一、三、四象限
C．与y轴交于（0，2） D．与x轴交于（2，0）
6．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将320cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（　　）

A．25cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，33cm3以下
C．30cm3以上，36cm3以下 D．33cm3以上，36cm3以下
7．一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象都经过点（﹣3，2），则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东32°方向上，学校C在图书馆B的北偏西32°方向上．则∠ABC的度数是（　　）

A．112° B．114° C．116° D．118°
9．一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中，所需平移的距离最短的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B'处，则线段B'F的长为（　　）

A． B． C．1 D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若x的2倍与y的差小于3，用不等式可以表示为 　 　．
12．如果点P（x，y）的坐标满足x2+y2＝2xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：　 　．
13．如图，点D在线段AB的延长线上，∠BAC＝26°，∠CBD＝115°，则∠C的度数是 　 　．

14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BEC＝67.5°，BD＝1，则BC＝　 　．

16．已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 　 　千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．以下是小欣同学解不等式的解答过程：
解：去分母，得1﹣x+1≥3（2+x）．…………①
去括号，得1﹣x+1≥6+3x．…………②
移项，得﹣x﹣3x≥﹣1﹣1+6．…………③
合并同类项，得﹣4x≥4．…………④
两边除以﹣4，得x≥﹣1．…………⑤
小欣同学的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+3的图象相交于点A（m，2）．
（1）求m和k的值．
（2）根据图象，直接写出不等式﹣2x＜kx+3的解集．

19．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（4，0）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，在AB上求作一个点P，使点P到A，O两点的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）．
（2）求出（1）中画出的点P的坐标．

20．如图是9×9的正方形网格，按下列要求操作并计算．
（1）在9×9的正方形网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（﹣3，2）．
（2）先作点A关于y轴的对称点A1，然后点A1再向下平移4个单位得到点C，画出三角形ABC，并写出点C的坐标．
（3）求△ABC的面积．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，CF⊥AB于点F，连结DE，DF，EF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）若AB＝5，BC＝6，求CF的长．

22．八上作业本（2）第41页课题学习《怎样选择较优方案》的内容如下：某工厂生产一种产品，该产品每件的出产价为1万元，其原料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均生产一件产品产生1吨废渣．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种方案可供选择：
方案一：由工厂对废渣进行直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费．
通过合作学习发现：该产品每件的出厂价和成本都相同，只需考虑处理费用的高低判断哪种方案更合适，同学们编成下列问题求解．若设工厂每月生产产品x件．
（1）求每种方案每月废渣处理费y（万元）与x（件）的函数表达式．
（2）若工厂每月生产产品件数x的范围是300≤x≤600，你会如何进行选择？
（3）若工厂一个月生产产品500件，求这个月工厂生产这批产品的最大利润多少万元．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3．

（1）求AB的长．
（2）过点B，C的分段函数图象相交于点M．
①若，求a和k的值．
②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值．

24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE．
（1）当点D在线段BC上时，求证：△ABE≌△ACD．
（2）如图2，若BE∥AC，BC＝2．①求△ABC的面积．②在点D在运动过程中，若△ABE的最小角为25°，求∠EAC的度数．



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答．
解：如图，
在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
3．下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180°
B．全等三角形的对应角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．相等的角是对顶角
【分析】根据三角形内角和定理可对A选项进行判断；利用全等三角形的性质对B选项进行判断；根据等腰三角形的性质可对C选项进行判断；根据对顶角的定义对D选项进行判断．
解：A．三角形三个内角的和等于180°锐，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形的对应角相等，所以B选项不符合题意；
C．等腰三角形的两个底角相等，所以C选项不符合题意；
D．相等的角不一定为对顶角，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由2x﹣3＞1得x＞2，
由1﹣x≥﹣2得x≤3，
解集在数轴上表示为：

所以不等式组的解集为2＜x≤3，
故选：A．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．关于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．经过第一、三、四象限
C．与y轴交于（0，2） D．与x轴交于（2，0）
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵一次函数y＝x+2，
∴y随x的增大而增大，故选项A不符题意；
图象经过第一、三、二象限，故选项B不符题意；
与x轴交于点（﹣2，0），故选项D不符题意；
与y轴交于点（0，2），故选项C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将320cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（　　）

A．25cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，33cm3以下
C．30cm3以上，36cm3以下 D．33cm3以上，36cm3以下
【分析】根据题意，列出不等式，解不等式即可．
解：设一颗玻璃球的体积为xcm2．
，
解得：30＜x＜36．
故选：C．
【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，正确列出不等式组是解题关键．
7．一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象都经过点（﹣3，2），则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据函数与方程组的关系求解．
解：∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象都经过点（﹣3，2），
∴方程组的解为，
故选：D．
【点评】本题考查了一元函数与二元一次方程的关系，正确理解两者之间的关系是解题的关键．
8．如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东32°方向上，学校C在图书馆B的北偏西32°方向上．则∠ABC的度数是（　　）

A．112° B．114° C．116° D．118°
【分析】由方向角的概念，应用平角定义即可计算．
解：∠ABC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
故选：C．
【点评】本题考查方向角的概念，关键是掌握：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角．
9．一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中，所需平移的距离最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离，然后比较它们的大小即可．
解：A、平移的距离＝1+2＝3，
B、平移的距离＝2+1＝3，
C、平移的距离＝＝，
D、平移的距离＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B'处，则线段B'F的长为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】根据翻折的性质可知角ECF为45度，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解．
解：根据两次翻折可知：
∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠DCF，CE⊥AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝∠ECD+∠FCD＝∠ACB＝45°，
∴∠EFC＝45°，
∴EF＝CE，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴5CE＝3×4，
∴CE＝．
∴EF＝．
在Rt△CEB中，
BE＝＝＝，
∴BF＝BE﹣EF＝﹣＝，
∴B′F＝BF＝．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是熟练运用等面积法．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若x的2倍与y的差小于3，用不等式可以表示为 　2x﹣y＜1　．
【分析】根据x的2倍与y的差即2x﹣y，小于1，即可得到不等式2x﹣y＜1．
解：根据题意得：2x﹣y＜1．
故答案为：2x﹣y＜1．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意弄清楚题中的不等关系．
12．如果点P（x，y）的坐标满足x2+y2＝2xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：　（1，1）　．
【分析】根据点P（x，y）的坐标满足x2+y2＝2xy，那么称点P为“和谐点”，可得答案．
解：12+12＝2×1×1．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查了点的坐标，利用和谐点的关系式是解题关键．
13．如图，点D在线段AB的延长线上，∠BAC＝26°，∠CBD＝115°，则∠C的度数是 　89°　．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵∠BAC＝26°，∠DBC＝115°，
∴∠C＝∠DBC﹣∠BAC＝115°﹣26°＝89°．
故答案为：89°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为　3　．

【分析】根据垂线段最短可知PQ⊥OM时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PQ＝PA．
解：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BEC＝67.5°，BD＝1，则BC＝　　．

【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠BCE＝45°，再证明△ABD≌△ACD（SAS），可得△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理可得结论．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EBC＝∠E＝67.5°，
∴∠BCE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD＝1，
∴∠BCD＝∠DBC＝45°，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，等腰直角三角形，能求出∠BDC＝90°是解决问题的关键．
16．已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 　24　千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 　0≤t≤0.5或0.75＜t≤1或1.5≤t≤2．　．

【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是x千米/小时，则第二段的速度为x千米/小时，根据小聪各段所用时间之和＝3﹣0.5列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）先写出小明和小聪所走路程S与时间t的函数解析式，再根据实际意义分段讨论即可．
解：设小聪骑自行车的第一段路程速度是x千米/小时，则第二段的速度为x千米/小时，
＝3﹣0.5，
解得x＝24，
经检验，x＝24是原分式方程的解，
即小聪骑自行车的第一段路程速度是24千米/小时，
故答案为：24；
（2）小明的速度为＝8（千米/小时），
∴小明所走的路程S与时间t之间的函数解析式为S＝8t（0≤t≤8）；
小聪所走的路程S与时间t之间的函数解析式为S＝，
①当0≤t≤0.5时，小明匀速前进，小聪未出发，两人之间的距离随t的增大而增大；
②当0.5＜t≤1时，小聪的速度大于小明的速度，两人之间的距离先减小，小聪超过小明后，两人之间的距离再次拉开，
∴该阶段两人相遇时：8t＝24（t﹣0.5），
解得t＝0.75，
∴当0.75＜t≤1时，两人之间的距离随时间t的增大而增大；
③当1＜t≤2时，小聪停止前进，则两人之间的距离先减小，相遇后再增大，
此时，8t＝12，
解得t＝1.5，
∴当1.5≤t≤2时，两人之间的距离随时间t的增大而增大；
④当2＜t≤3时，小聪的速度大于小明的速度，两人的距离逐渐减小知道到达终点，两人相遇．
综上所述，当0≤t≤0.5或0.75＜t≤1或1.5≤t≤2时，两人之间的距离随时间t的增大而增大．
故答案为：0≤t≤0.5或0.75＜t≤1或1.5≤t≤2．
【点评】本题考查了一次函数和分式方程的应用，观察函数图象找出关键点的实际意义，列出函数解析式是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．以下是小欣同学解不等式的解答过程：
解：去分母，得1﹣x+1≥3（2+x）．…………①
去括号，得1﹣x+1≥6+3x．…………②
移项，得﹣x﹣3x≥﹣1﹣1+6．…………③
合并同类项，得﹣4x≥4．…………④
两边除以﹣4，得x≥﹣1．…………⑤
小欣同学的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】在去分母的时候有错误，所以小欣的解答不对，正确解答即可．
解：小欣同学的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
去分母，得3﹣（x﹣1）≥3（2+x），
去括号，得3﹣x+1≥6+3x，
移项，得﹣x﹣3x≥﹣1﹣3+6，
合并同类项，得﹣4x≥2
两边除以﹣4，得x≤﹣．
【点评】本题考查了解解一元一次不等式，去分母时，不等式的两边都乘最简公分母是解题的关键．
18．如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+3的图象相交于点A（m，2）．
（1）求m和k的值．
（2）根据图象，直接写出不等式﹣2x＜kx+3的解集．

【分析】（1）根据点和图象的关系列方程组求解；
（2）根据图象，采用数形结合思想求解．
解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）由图象得：
不等式﹣2x＜kx+3的解集为：x＞﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，两条直线的相交，数形结合思想是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（4，0）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，在AB上求作一个点P，使点P到A，O两点的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）．
（2）求出（1）中画出的点P的坐标．

【分析】（1）作OA的垂直平分线即可；
（2）连接OP，如图，先利用点A、B的坐标特征得到AB⊥OB，OB＝4，AB＝8，设P点坐标为（4，t），则PB＝t，PA＝8﹣t，再根据线段垂直平分线的性质得到PO＝PA＝8﹣t，则利用勾股定理得到42+t2＝（8﹣t）2，然后解方程可得P点坐标．
解：（1）如图，点P为所作；

（2）连接OP，如图，
∵点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（4，0）．
∴AB⊥OB，OB＝4，AB＝8，
设P点坐标为（4，t），则PB＝t，PA＝8﹣t，
∵点P为OA的垂直平分线与AB的交点，
∴PO＝PA＝8﹣t，
在Rt△OPB中，42+t2＝（8﹣t）2，
解得t＝3，
∴P点坐标为（4，3）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质、线段的垂直平分线的性质．
20．如图是9×9的正方形网格，按下列要求操作并计算．
（1）在9×9的正方形网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（﹣3，2）．
（2）先作点A关于y轴的对称点A1，然后点A1再向下平移4个单位得到点C，画出三角形ABC，并写出点C的坐标．
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据点A的坐标确定平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称变换，平移变换的性质分别作出A1，C即可；
（3）三角形的面积＝矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）如图，△ABC即为所求，C（1，﹣1）；
（3）△ABC的面积＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5，

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，CF⊥AB于点F，连结DE，DF，EF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）若AB＝5，BC＝6，求CF的长．

【分析】（1）由直角三角形的性质可得EF＝AC，DE＝AC，可得结论；
（2）由勾股定理可求AF的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵CF⊥AB，AD⊥BC，点E是AC的中点，
∴EF＝AC，DE＝AC，
∴EF＝DE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵CF2＝AC2﹣AF2，CF2＝BC2﹣BF2，
∴AC2﹣AF2＝BC2﹣BF2，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴25﹣AF2＝36﹣（5﹣AF）2，
∴AF＝，
∴CF＝＝．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
22．八上作业本（2）第41页课题学习《怎样选择较优方案》的内容如下：某工厂生产一种产品，该产品每件的出产价为1万元，其原料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均生产一件产品产生1吨废渣．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种方案可供选择：
方案一：由工厂对废渣进行直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费．
通过合作学习发现：该产品每件的出厂价和成本都相同，只需考虑处理费用的高低判断哪种方案更合适，同学们编成下列问题求解．若设工厂每月生产产品x件．
（1）求每种方案每月废渣处理费y（万元）与x（件）的函数表达式．
（2）若工厂每月生产产品件数x的范围是300≤x≤600，你会如何进行选择？
（3）若工厂一个月生产产品500件，求这个月工厂生产这批产品的最大利润多少万元．
【分析】（1）根据两种方案付费可得y与x的函数关系式；
（2）结合（1），列出不等式和方程，可解得答案；
（3）结合（2），列式计算即可得到答案．
解：（1）根据题意得：
方案一：y＝0.05x+20；
方案二：y＝0.1x；
（2）由0.05x+20＜0.1x得：x＞400，
∴400＜x≤600时，选择方案一；
由0.05x+20＝0.1x得：x＝400，
∴x＝400时，两种方案都一样，
由0.05x+20＞0.1x得：x＜400，
∴300≤x＜400时，选择方案二，
综上所述，300≤x＜400时，选择方案二，x＝400时，两种方案都一样，400＜x≤600时，选择方案一；
（3）由（2）可知，工厂一个月生产产品500件，选择方案一利润较大，
∵500×（1﹣0.55）﹣（0.05×500+20）＝500×0.45﹣（25+20）＝180（万元），
∴这个月工厂生产这批产品的最大利润是180万元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3．

（1）求AB的长．
（2）过点B，C的分段函数图象相交于点M．
①若，求a和k的值．
②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值．

【分析】（1）求出A，B的坐标，即可得到答案；
（2）①根据求出C的坐标，用待定系数法可得答案；
②过D作DF∥x轴，过B作BF∥y轴，两平行线交于F，过E作EG∥y轴交AC于G，由得D（﹣，），从而可得DF＝，BF＝，证明△BDF≌△EBG（AAS），即可得E（，），再用待定系数法得k＝，a＝，即可得C（，3），BC＝，故n＝＝．
解：（1）∵点B的纵坐标为3，AB∥x轴，
∴点A的纵坐标为3，
∵B在直线y＝x上，A在直线y＝﹣x上，
∴A（﹣3，3），B（3，3），
∴AB＝6；
（2）①∵，
∴BC＝3，
而B（3，3），
∴C（6，3），
把C（6，3）代入y＝k（x﹣a）得3＝k（6﹣a）（Ⅰ），
把B（3，3）代入y＝﹣k（x﹣a）得3＝﹣k（3﹣a）（Ⅱ），
由（Ⅰ）（Ⅱ）可得a＝4.5，k＝2；
∴a的值为4.5，k的值为2；
②过D作DF∥x轴，过B作BF∥y轴，两平行线交于F，过E作EG∥y轴交AC于G，如图：

由的，
∴D（﹣，），
∵B（3，3），
∴DF＝3﹣（﹣）＝，BF＝3﹣＝，
∵DF∥x轴∥AC，
∴∠BDF＝∠EBG，
∵∠F＝∠G＝90°，BD＝BE，
∴△BDF≌△EBG（AAS），
∴DF＝BG＝，BF＝EG＝，
∴E（，），
把E（，）代入y＝k（x﹣a）得＝k（﹣a）（Ⅲ），
把B（3，3）代入y＝﹣k（x﹣a）得3＝﹣k（3﹣a）（Ⅳ），
由（Ⅲ）（Ⅳ）得k＝，a＝，
∴直线CE解析式为y＝（x﹣），其中x≥，
在y＝（x﹣）中，令y＝3得x＝，
∴C（，3），
∴BC＝，
∵AB＝6，
∴n＝＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法和分类讨论思想的应用．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE．
（1）当点D在线段BC上时，求证：△ABE≌△ACD．
（2）如图2，若BE∥AC，BC＝2．①求△ABC的面积．②在点D在运动过程中，若△ABE的最小角为25°，求∠EAC的度数．

【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC，得∠EAB＝∠CAD，再利用SAS可证明△EAB≌△DAC；
（2）①由（1）△ABE≌△ACD得，∠ABE＝∠ACD，由BE∥AC，得∠ABE＝∠CAB，可知△ABC是等边三角形，从而得出答案；
②分点D在线段BC上或点D在CB延长线上或点D在BC延长线上三种情形，分别画出图形，根据△EAB≌△DAC，得∠AEB＝∠ADC，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
（2）解：①由（1）△ABE≌△ACD得，∠ABE＝∠ACD，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC＝×BC×BC＝；
②当点D在线段BC上时，如图2，∵∠ABE＝60°，∠AEB＝∠ADC＞60°，
∴∠BAE＝25°，
∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝25°+60°＝85°；
当点D在CB延长线上时，如图3，

由题意知，∠AEB＝25°，
由（1）同理可得，△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC＝25°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣60°＝95°，
∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+95°＝155°；
当点D在BC延长线上时，如图4，当∠BAE＝25°时，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣25°＝35°，

当∠AEB＝25°时，由（1）同理可得，△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC＝25°，
∴∠DAC＝∠ACB﹣∠ADC＝60°﹣25°＝35°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝60°﹣35°＝25°，
综上所述：∠EAC的度数为85°或155°或35°或25°．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟悉基本几何模型是解题的关键，同时渗透了数形结合的思想．