浙江省杭州市育才中学2021-2022学年九年级上学期数学期末复习卷（含答案）

这是一份浙江省杭州市育才中学2021-2022学年九年级上学期数学期末复习卷（含答案），共17页。试卷主要包含了已知＝，则的值为等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年杭州市育才中学九年级上册期末复习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．

2．在一个不透明的布袋中装有50个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A．13 B．19 C．24 D．30

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么∠B的余弦值为（　　）
A． B． C． D．

4．已知扇形的圆心角为60°,半径为2，则弧长为（　　）
A． B．2 C．1 D．

5．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）

A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
6．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．3 D．4

7．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（　　）

A． B． C． D．．
9．如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（200，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．π D．

二．填空题（共6小题）
11．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的内切圆半径是　 　．

12．已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 　 　．

13．如图⊙O的直径为20，圆心O到弦AB的距离OM的长为6，则弦AB的长是 　　．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a>0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设p＝a﹣b+c，则p的取值范围是　 　．


15．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是　　．

16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝　 　，CF的最小值是 　 　．


三．解答题（共7小题）
17．计算：
（1）3tan30°-2tan60°cos60°+2sin45° （2）sin220°+tan45°•sin45°+ sin270°







18．一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意捧出1球是红球的概率为．
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．






19．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．
（1）求证：OE＝AC；
（2）⊙O的半径为5，AC=6,求PB的长．





20．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB＝，tanA＝，
AC＝3
（1）求∠B的度数与AB的值；
（2）求tan∠CDB．

21．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD＝5，CD＝4时，求AF的值．




22．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2x+m．
（1）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（2）若P（n，a）和Q（5，b）是抛物线上两点，且a＞b，求n的取值范围；
（3）当n≤x≤n+2时，求y的最小值（用含m、n的代数式表示）．



23．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB＝45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．



2021-2022学年杭州市育才中学九年级上册期末复习卷解析
一．选择题（共10小题）
1．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．
2．在一个不透明的布袋中装有50个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A．13 B．19 C．24 D．30
【解答】解：设袋中有黑球x个，由题意得：＝0.2，解得：x≈13，
经检验x＝13是原方程的解，则布袋中黑球的个数可能有13个．故选：A．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么∠B的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解；由勾股定理得BC＝＝＝，cos∠B＝＝，
故选：A．

4．已知扇形的圆心角为60°,半径为2，则弧长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【解答】解：由题意得，n＝60°，R＝2，即可得：l＝＝．故选：D．
5．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）

A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：D．
6．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，
∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．
7．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝3，∴PA＝．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（　　）

A． B． C． D．．
【解答】解：A、∵∠AED＝∠B，，∴△ADE∽△BDF，正确；
B、∵∠AED＝∠B，，∴△ADE∽△BDF，正确；
C、∵∠AED＝∠B，，不是夹角，∴不能得出△ADE∽△BDF，错误；
D、∵∠AED＝∠B，，∴△ABC∽△BDF，∵∠A＝∠A，∠B＝∠AED，∴△AED∽△ABC，∴△ADE∽△BDF，正确；故选：C．
9．如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（200，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
【解答】解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，又因为200＝12×16+8，所以m＝22-6×2＝-8．
故选：C．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．π D．
【解答】解：连接BH，BH1，∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH＝＝，所以利用扇形面积公式可得＝＝π．
故选：C．

二．填空题（共6小题）
11．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的内切圆半径是　2　．
【解答】解：∵62+82＝102，∴这个三角形为直角三角形，
∴此三角形的内切圆半径＝＝2．故答案为2．
12．已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 　0≤d＜10　．
【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线L与⊙O相交，∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，即0≤d＜10；故答案为：0≤d＜10．
13．如图⊙O的直径为20，圆心O到弦AB的距离OM的长为6，则弦AB的长是 　16　．

【解答】解：连接OA，如图，∵OM⊥AB，∴AM＝BM，∠OMA＝90°，
在Rt△OAM中，∵OA＝10，OM＝6，∴AM＝＝8，∴AB＝2AM＝16．
故答案为：16．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a>0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设p＝a﹣b+c，则p的取值范围是　﹣4＜p＜0　．

【解答】解：经过点（1，0）和（0，﹣2）的直线解析式为y＝2x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝2x﹣2＝﹣4，而x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，
∴﹣4＜a﹣b+c＜0，故答案为：﹣4＜p＜0．
15．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是　﹣1　．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，∴方程ax2+bx+c＝mx+n的两个根为x1＝﹣2，x2＝3，
∵a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）可变形为a（x+1）2+b（x+1）+c＝m（x+1）+n，
∴x+1＝﹣2或x+1＝3，解得，x3＝﹣3，x4＝2，∴方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是﹣3+2＝﹣1，故答案为：﹣1．
16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝　120°　，CF的最小值是 　2　．

【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为：120°，2．

三．解答题（共7小题）
17．计算：
（1）3tan30°-2tan60°cos60°+2sin45°
（2）sin220°+tan45°•sin45°+ sin270°
【解答】解：（1）3tan30°-2tan60°cos60°+2sin45°=3×33-2312+2×22 ＝﹣23+1
（2）sin220°+tan45°•sin45°+ sin270°＝cos 270°+tan45°•sin45°+ sin270°
＝1+1•22＝1+22
18．一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意捧出1球是红球的概率为．
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．
【解答】解：（1）设绿球的个数为x．由题意，得＝，
解得x＝1，经检验x＝1是所列方程的根，所以绿球有1个；
（2）根据题意，画表格如下：

红1
红2
黄
绿
红1

（红2，红1）
（黄，红1）
（绿，红1）
红2
（红1，红2）

（黄，红2）
（绿，红2）
黄
（红1，黄）
（红2，黄）

（绿，黄）
绿
（红1，绿）
（红2，绿）
（黄，绿）

由表格知共有12种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有两种，所以两次都摸到红球的概率为＝．
19．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．
（1）求证：OE＝AC；
（2）⊙O的半径为5，AC=6,求PB的长．

【解答】证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，
∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．∴PO⊥BC，BE＝CE．∵OB＝OA，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC；
（2）∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°．由（1）可得∠BEO＝90°，
∵点E是OD的中点，⊙O的半径为5，∴OE＝AC＝3，∵∠OBP＝∠BEO＝90°．
∴tan∠BOE＝＝，在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝5，∴BE＝4．∴PB＝


20．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB＝，tanA＝，
AC＝3
（1）求∠B的度数与AB的值；
（2）求tan∠CDB．

【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，∴AE＝2x，∴AC＝＝x，∴x＝3，解得x＝3，∴CE＝3，AE＝6，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，∴∠B＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝3，∴AB＝AE+BE＝9，
答：∠B的度数为45°，AB的值为9；
（2）∵CD为中线，∴BD＝AB＝4.5，∴DE＝BD﹣BE＝4.5﹣3＝1.5，
∴tan∠CDE＝＝＝2，即tan∠CDB的值为2．

21．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD＝5，CD＝4时，求AF的值．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC＝∠ADC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD＝5，CD＝4，∴BC＝9，∵△ADC∽△BAC（已证），∴＝，即AC2＝BC×CD＝36，解得：AC＝6，在Rt△ACD中，AD＝＝2，
∵∠CAF＝∠CAD+∠DAE＝∠ABF+∠BAE＝∠AFD，∴CA＝CF＝6，∴DF＝CA﹣CD＝2，在Rt△AFD中，AF＝＝2．
22．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2x+m．
（1）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（2）若P（n，a）和Q（5，b）是抛物线上两点，且a＞b，求n的取值范围；
（3）当n≤x≤n+2时，求y的最小值（用含m、n的代数式表示）．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得：m＝1；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，当a＝b时，根据函数的对称性，
则n＝﹣3，故n的取值范围为：n＜﹣3或n＞5；
（3）①当n+2＜1时，即n＜﹣1时，当x＝n+2时，取得最小值，
ymin＝（n+2）2﹣2（n+2）+m＝n2+2n+m；
②当n≤1≤n+2时，即﹣1≤n≤1，函数在顶点处取得最小值，即ymin＝1﹣2+m＝m﹣1；
③当n＞1时，函数在x＝n时，取得最小值，ymin＝n2﹣2n+m；
综上，y的最小值为：n2+2n+m或m﹣1或n2﹣2n+m．
23．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB＝45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．

【解答】解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴DE＝DF，∵∠DEC＝∠ACB＝∠CFD＝90°，∴四边形ECFD是正方形，
设DF＝x，则CF＝x，BF＝2﹣x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，∴，
∴x＝，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝；
（2）如图2，∵∠PAB＝∠PCB＝45°，∴C、B、P、A四点共圆，∴∠ACB+∠APB＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△APB是等腰直角三角形，∴AP＝BP，
过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB，∵PM＝PN，∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），
∴AM＝BN，由（1）知：四边形MCNP是正方形，∴CM＝CN，设AM＝x，则PM＝CN＝x+1，CN＝2﹣x，∴x+1＝2﹣x，x＝，∴CM＝，∴CP＝；
（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：
①当PM＝CM时，如图3，同理作出辅助线，∵∠PCN＝45°，∴△PCN是等腰直角三角形，∴CN＝PN，同（2）得Rt△PGA≌Rt△PNB（HL），∴AG＝BN，
设AG＝x，则PN＝CG＝x+1，CN＝2﹣x，∴x+1＝2﹣x，x＝，∴CN＝，∴CP＝；
②Rt△ACB中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，∵M是AB的中点，∴CM＝CP＝AB＝；
③作CM的中垂线交CD于P，则CP＝PM，过M作MH⊥CD于H，
由①知：CG（就是CP＝）＝，CH＝，∵△CPN∽△CMH，
∴，∴＝，CP＝，
综上所述，CP的长是或或．





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