江苏省南京市鼓楼区南师附中树人学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京市鼓楼区南师附中树人学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

树人学校八年级（上）期末试卷
数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1. 10的算术平方根是（ ）
A. 10 B. 10 C. −10 D. ±10
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用算术平方根的求法即可求解．
【详解】解：10的算术平方根是10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．
2. 为落实“双减”政策，鼓楼区教师发展中心开设“鼓老师讲作业”线上直播课．开播首月该栏目在线点击次数已达66799次，用四舍五入法将66799精确到千位所得到的近似数是（ ）
A. 6.7×103 B. 6.7×104 C. 6.70×103 D. 6.70×104
【答案】B
【解析】
【分析】先把66799精确到千分位，再根据科学记数法的表示形式表示即可．
【详解】∵7>5，
∴66799精确到千分位为67000，
∴67000=6.7×104．
故选：B．
【点睛】本题考查近似数与科学记数法，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．
3. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，BF∥CE，BF=CE，添加下列条件不能判定△ACE≌△DBF的是（ ）

A. AE=DF B. AB=CD C. ∠E=∠F D. AE∥DF
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可得BE=CE,∠FBD=∠ECA，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．
【详解】解：∵BF∥CE
∴∠FBD=∠ECA
A.∵ BE=CE,∠FBD=∠ECA，AE=DF，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；
B. ∵AB=CD
∴AB+BC=BC+CD
∴AC=BD
∵BE=CE,∠FBD=∠ECA,
∴△ACE≌△DBFSAS
故能判定△ACE≌△DBF，不符合题意；
C. ∵BE=CE,∠FBD=∠ECA,∠E=∠F，
∴△ACE≌△DBFASA，故能判定△ACE≌△DBF，不符合题意；
D.∵AE∥DF
∴∠A=∠D
∵BE=CE,∠FBD=∠ECA
∴△ACE≌△DBFAAS，故能判定△ACE≌△DBF，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
4. 点C在x轴上方，y轴左侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A. （2，3） B. （-2，-3） C. （-3，2） D. （3，-2）
【答案】C
【解析】
【分析】由点C在x轴的上方，在y轴左侧，判断点C在第二象限，符号为（-，+），再根据点C到x轴的距离决定纵坐标，到y轴的距离决定横坐标，求C点的坐标．
【详解】解：∵点C在x轴上方，y轴左侧，
∴点C的纵坐标大于0，横坐标小于0，点C在第二象限；
∵点C距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的横坐标是-3，纵坐标是2，
故点C的坐标为（-3，2）．
故选C.
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5. EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当∠BAC减少x°时，∠ABC增加y°，则y与x的函数表达式是（ ）

A. y=x B. y=12x C. y=90−x D. y=90−12x
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质可得AB=AC,∠ABC=90°−12∠BAC，根据题意列出函数关系式即可
【详解】∵ EF是BC的垂直平分线，
∴AB=AC
∴AD是∠BAC的角平分线
∴∠ABC=90°−12∠BAC
设∠ABC=α,∠BAC=β，即α=90°−12β
当∠BAC减少x°时，则∠BAC=β−x，∠ABC增加y°，则∠ABC=α+y
∴α+y=90°−12β−x
∴α+y=90°−12β+12x
∵α=90°−12β
∴y=12x
故选B
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，列函数关系式，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一是解题的关键．
6. 已知一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1：
x
…
−4
0
1
…
y1
…
−1
3
4
…
表2：
x
…
−1
0
1
…
y2
…
5
4
3
…
则关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2+1的解集是（ ）
A. x<0 B. x>0 C. 01
【答案】D
【解析】
【分析】用待定系数法求出y1和y2的表达式，再解不等式即可得出答案．
【详解】由表得：(0,3)，(1,4)在一次函数y1=k1x+b1上，
∴b1=3k1+b1=4，
解得：k1=1b1=3，
∴y1=x+3，
(0,4)，(1,3)在一次函数y2=k2x+b2上，
∴b2=4k2+b2=3，
解得：k2=−1b2=4，
∴y2=−x+4，
∴k1x+b1>k2x+b2+1为x+3>−x+4+1，
解得：x>1．
故选：D．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次不等式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 2的相反数是 __________．
【答案】-2
【解析】
【分析】只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．
【详解】解：2的相反数为－2．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可．
8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______．
【答案】10．
【解析】
【详解】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
9. 写出一个一次函数，使其函数值随着自变量的值的增大而增大：______．
【答案】y=x（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据其函数值随着自变量的值的增大而增大，可得该一次函数的自变量系数大于0，即可求解．
【详解】解：∵其函数值随着自变量的值的增大而增大，
∴该一次函数的自变量系数大于0，
∴该一次函数解析式为y=x．
故答案为：y=x（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求函数值，熟练掌握对于一次函数y=kx+bk≠0 ，当k>0 时，y 随x 的增大而增大，当k<0 时，y 随x 的增大而减小是解题的关键．
10. 下列各数：－1、π2、39、227，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1），其中无理数的个数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数；有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，由此即可判定．
【详解】在－1、π2、39、227，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1）中，
无理数有π2，39，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数增加1）共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数分类，理解有理数与无理数的概念是解题的关键．
11. 比较大小：13−1______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】由9<13<16得3<13<4，再利用不等式的基本性质可得2<13−1<3，从而可得答案．
【详解】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴2<13−1<3．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
12. 将一次函数y=2x−4的图像沿x轴向左平移4个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是______．
【答案】y=2x+4##y=4+2x
【解析】
【分析】根据一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”来解题即可．
【详解】由一次函数y=2x−4的图象沿x轴向左平移4个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=2(x+4)−4，
化简得：y=2x+4，
故答案为：y=2x+4．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”．
13. 如图，上午9时，一艘船从小岛A处出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

【答案】20
【解析】
【分析】根据所给的角的度数，容易证得ΔBCA是等腰三角形，而AB的长易求，所以根据等腰三角形的性质，BC的值也可以求出．
【详解】解：据题意得，∠A=34°，∠DBC=68°，
∵∠DBC=∠A+∠C，
∴∠A=∠C=34°，
∴AB=BC，
∵AB=12×53=20，
∴BC=20（海里）．
故答案是：20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．
14. 点A为直线y=−3x−4上的一点，且到两坐标轴距离相等，则A点坐标为______．
【答案】−1,−1，−2,2
【解析】
【分析】根据点A为直线y＝−3x−4上的一点，且到两坐标轴距离相等可得出x＝|y|，求出x、y的值即可．
【详解】解：∵点A为直线y＝−3x−4上的一点，且到两坐标轴距离相等，
∴|x|＝|y|，
∴x＝y或x＝−y．
当x＝y时，−3x−4＝x，解得x＝−1，
∴A（−1，−1）；
当x＝−y时，−3x−4＝−x，解得x＝−2，
∴y＝2，
∴A（−2，2）；
∴A（−1，−1）或（−2，2）．
故答案为：（−1，−1）或（−2，2）．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若AC=8，BD=5，则△ADE的面积是______．

【答案】758
【解析】
【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据勾股定理列式计算得到答案．
【详解】解：连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC=AB2−AC2=102−82=6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=254，则AE=254，
∴S△ABE=12AE×BC=12×254×6=754，
∴△ADE的面积是12S△ABE=758．
故答案为：758．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx﹣6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为_____．
【答案】﹣35或﹣6．
【解析】
【分析】由题意直线y=mx﹣6m经过定点B（6，0），又一次函数y=mx﹣6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx﹣6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），利用待定系数法即可解决问题．
【详解】如图：

∵直线y=mx﹣6m经过定点B（6，0），
又∵直线y=mx﹣6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx﹣6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），
∴m﹣6m=3或5m﹣6m=6，
∴m=﹣35或﹣6，
故答案为﹣35或﹣6．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是发现直线y=mx﹣6m经过定点B（6，0），属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：4+−32+3−27．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根与立方根的定义即可完成．
【详解】解：4+−32+3−27
=2+3−3
=2．
【点睛】本题是实数的运算，考查了算术平方根的定义、立方根的定义，关键是掌握两个定义，要注意的是负数没有平方根，而任何实数都有立方根．
18. 求下列各式中的x：
（1）2x2=10；
（2）x+13=−18．
【答案】（1）x=±5；（2）x=−32
【解析】
【分析】（1）方程整理后，开方即可求出x的值；
（2）方程开立方即可求出x的值．
【详解】（1）等式两边同时除以2得：x2=5，
两边开平方得：x=±5；
（2）两边开立方得：x+1=−12，
等式两边同时减去1得：x=−32．
【点睛】本题考查了立方根以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19. 如图，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证BD=CE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由ΔABC和ΔADE是顶角相等的等腰三角形，得出∠BAC=∠DAE知AB=AC、AD=AE、∠BAD=∠CAE，证ΔABD≅ΔACE即可得证．
【详解】解：∵ΔABC和ΔADE是顶角相等的等腰三角形，得出∠BAC=∠DAE，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，
在ΔABD和ΔACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴ΔABD≅ΔACE(SAS)，
∴BD=CE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．
20. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．

【答案】AD，BD的长分别为12、9
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式得出12AB⋅AC=12BC⋅AD，代入求出AD；再根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
根据勾股定理得：BC=AB2+AC2=152+202=25，
∵S△ABC=12AB⋅AC，S△ABC=12BC⋅AD，
∴12AB⋅AC=12BC⋅AD．
∴AD=AB⋅ACBC=15×2025=12；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，根据勾股定理得：BD=AB2−AD2=152−122=9，
因此，AD，BD的长分别为12，9．
【点睛】此题考查三角形面积和勾股定理的应用，解题关键在于掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
21. 如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A4，6，B2,2，线段AB与线段A1B1，关于直线m（直线m上各点的横坐标都为5）对称，线段A1B1，与线段A2B2关于直线n（直线n上各点的横坐标都为9）对称．
（1）在图中分别画出线段A1B1、A2B2；
（2）若点Pa,b关于直线m的对称点为P1，点P1关于直线n的对称点为P2，则点P2的坐标是 ．

【答案】（1）见解析；（2）a+8,b
【解析】
【分析】（1）分别作出A、B二点关于直线m的对称点A1、B1，再分别作A1、B1，二点关于直线n的对称点A2、B2即可；
（2）根据轴对称的性质得出坐标即可．
【详解】解：（1）如图，线段A1B1，A2B2即为所求；

（2）由轴对称性质可得P、P1横坐标平均数等于5，纵坐标相等，则P110−a,b ，
由轴对称性质可得P2、P1横坐标平均数等于9，纵坐标相等，则P2a+8,b．
【点睛】本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
22. 如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A=60°，DE=2，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得∠BFE=180°−2∠EBF，∠DFC=180°−2∠DCF，进而证得∠DFE=60°，则△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求得DE=DF=EF=2即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵点F是BC中点，
∴EF=12BC，DF=12BC，BF=CF=12BC
∴EF=DF=BF=CF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵EF=DF=BF=CF，
∴∠EBF=∠BEF，∠FDC=∠DCF
∴∠BFE=180°−2∠EBF，
同理∠DFC=180°−2∠DCF，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=60°，
∴∠ABF+∠ACF=180°−∠A=120°，
∴∠DFE=180°−∠BFE+∠DFC
=180°−360°−2∠EBF−2∠DCF
=2（∠EBF+∠DCF）−180°=60°
又△DEF是等腰三角形，
∴△DEF是等边三角形．
∴DE=DF=EF=2，
∴BC=2EF=4．

【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
23. 如图，已知A8,m为正比例函数y=34x的图像上一点，AB⊥x轴，垂足为点B.

（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒2个单位的速度，沿射线OA方向运动.设运动时间为ts.
①过点P作PQ⊥OA交直线AB于点Q，若ΔAPQ≅ΔABO，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得ΔPOB为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）6；（2）①2或8；②2.5或4或6.4.
【解析】
【分析】（1）把x=8代入y=34x，即可得到m的值；
（2）①由ΔAPQ≅ΔABO，得AP=AB=6，分两种情况当点P在线段OA上时， 当点P在线段OA的延长线上时，分别列出方程，即可求解；②当ΔPOB为等腰三角形时，分三种情况讨论：若PO=PB， 若OP=OB，若BP=BO，分别列出方程，即可求解．
【详解】（1）∵A8,m为正比例函数y=34x的图像上一点，
∴当x=8时，y=6，
∴m的值为6；
（2）∵A8,6，
∴OA=62+82=10，
①若ΔAPQ≅ΔABO，则AP=AB=6，
当点P在线段OA上时，则OP=OA−AP=10−6=4，即2t=4，解得t=2，
当点P在线段OA的延长线上时，则OP=OA+AP=10+6=16，即2t=16，解得t=8；
②当ΔPOB为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若PO=PB，则点P在OB的垂直平分线上，此时OP=5，即2t=5，求得t=2.5，
若OP=OB，则OP=8，即2t=8，求得t=4，
若BP=BO，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵S△AOB=OB⋅AB2=OA⋅BE2,
∴BE=OB⋅ABAB=8×610=4.8，
∴OE=OB2−BE2=82−4.82=6.4，
∵OE=PE，
∴OP=12.8，即2t=12.8，求得t=6.4，
综上可得：t值为2.5或4或6.4．

【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想方法，是解题的关键．
24. 如图，已知∠BAC．用三种不同的方法作∠α等于∠BAC．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法．

【答案】见解析
【解析】
【分析】可根据五种基本尺规作图-作角、也可根据等腰三角形的等边对等角或线段垂直平分线的性质作等腰三角形即可．
【详解】解：如图①、②、③，∠α即为所求．

，
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、作垂线、作等腰三角形，涉及等腰三角形的等边对等角、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图和基本几何图形的性质是解答的关键．
25. 实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．
数学研究：如图，折线A−B−C、A−D−E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图像．

（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
【答案】（1）y=−2x+4；（2）E23,83；（3）x=27或1017
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求线段AB对应的函数表达式即可；
（2）设DE对应的函数表达式为y2=k'x+b'，根据k的几何意义可k'=12+4=16，将点D坐标代入求得b＇，再与线段AB解析式联立方程组求出交点E坐标即可；
（3）利用待定系数法求线段AD对应的函数解析式，分y1=2y3和y1=2y2求解x值即可．
【详解】解：（1）设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b，
由图像得，当x=0时，y=4，当x=2时，y=0，代入得：4=b0=2k+b，
解得：k=−2b=4，
∴线段AB对应的函数表达式为y=−2x+4（0≤x≤2）；
（2）设线段DE对应的函数表达式为y2=k'x+b'，
由题意得，k'=12+4=16，
将D12,0代入，得b'=−8，
∴线段DE对应的函数表达式为y2=16x−8，
∵点E是线段AB和线段DE的交点，故E满足：
y=−2x+4y=16x−8，解得：x=23y=83，
∴E23,83；
（3）设线段AD对应函数表达式为y3=mx+n，
将A（0，4）、D12,0代入，得：4=n0=12m+n，
解得：n=4m=−8，
∴设AD对应的函数表达式为y3=−8x+4,
由题意，分两种情况：
当y=2y3时，由－2x+4=2(－8x+4)得：x=27；
当y=2y2时，由－2x+4=2(16x－8)得：x=1017，
故当x=27或1017时，它离乙的路程与它离甲的路程相等．
【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数表达式，理解题意，理清图象中各点、各线段之间的关系是解答的关键．
26. 如图①，∠CDE是四边形ABCD的一个外角，AD∥BC，BC=BD，点F在CD的延长线上，∠FAB=∠FBA，FG⊥AE，垂足为G．

（1）求证：
①DC平分∠BDE；
②BC+DG=AG．
（2）如图②，若AB=4，BC=3，DG=1．
①求∠AFD的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；②735
【解析】
【分析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得∠BDC=∠CDE即可；
②过点F作FH⊥BD，垂足为H，根据全等三角形的判定证明△FDG≌△FDH（AAS）和Rt△AFG≌Rt△BFH，再根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出∠BDC=∠FAB，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由S△AFD+S△ABD+S△BCD求解即可．
【详解】（1）①证明：
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠CDE，
∴∠BDC=∠CDE，
∴DC平分∠BDE；
②证明：如图①，过点F作FH⊥BD，垂足为H，

∵∠BDC=∠CDE，又∠BDC=∠FDH，∠CDE=∠FDG，
∴∠FDG=∠FDH，
∵FG⊥AE，FH⊥BD，
∴∠FGD=∠FHD=90°，
∵FD=FD，
∴△FDG≌△FDH（AAS），
∴FG=FH，DG=DH．
∵∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF．
∴Rt△AFG≌Rt△BFH（LH），
∴AG=BH=BD+DH．
∴BC+DG=AG；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．

由（1）知，AG=BC+DG，∠FOA=∠DBO，∠BDC=∠FDO,
∵BC=BD=3，DG=1，
∴AD=AG+DG=BC+DG+DG=3+1+1=5,
在△ABD中，AB2+BD2=42+33=25，AD2=25，
∴AB2+BD2=AD2．
∴∠ABD=90°．
∵∠FAO+∠AFO+∠AOF=∠DBO+∠BDO+∠BOD=180°，
又∠AOF=∠BOD，∠AFO=∠DBO．
∴∠AFO=∠BDO．
∵∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°，又∠FAB=∠FBA，
∴∠FAB=90°−12∠AFB．
∵∠BDC+∠FDO+∠ADB=180°，
又∠BDC=∠FDO，
∴∠BDC=90°−12∠BDO．
∴∠BDC=∠FAB．
∵∠BDC+∠BDF=180°，
∴∠FAB+∠BDF=180°
∴∠AFD+∠ABD=360°−∠FAB−∠BDF=180°．
∴∠AFD=180°−∠ABD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，

∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ BM=AB⋅BDAD=125，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为125，
∴S△ABD+S△BCD=12×3×4+12×125×3=485，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴AF2+FD2=AD2，AF2−AG2=FD2−DG2=FG2，
∵DG=1，AG=BC+DG=4，AD=4+1=5，
∴AF2+FD2=25，AF2−FD2=15，
解得：FD2=5，AF2=20，
∴FG2=AF2−AG2=20−16=4，
∴FG=2，
∴S△AFD=12AD⋅FG=12×5×2=5，
∴四边形ABCF的面积为S△AFD+S△ABD+S△BCD=5+485=735．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．