23版新教材苏教版必修第一册课后习题练第1章测评

第1章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列所给对象能构成集合的是(　　)

A.2020年全国Ⅰ卷数学试题中的所有难题

B.比较接近2的全体正数

C.未来世界的高科技产品

D.所有整数

答案D

解析选项A,B,C的标准不明确,所以不能构成集合;而选项D的元素具有确定性,能构成集合.故选D.

2.(2021新高考Ⅰ,1)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=(　　)

A.{2} B.{2,3} 

C.{3,4} D.{2,3,4}

答案B

解析∵A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},

∴A∩B={2,3}.故选B.

3.(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=(　　)

A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}

C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}

答案C

解析(数形结合)由数轴可知

所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.

4.(2020江苏梅村高级中学月考)已知A={x,x+1,1},B={x,x2+x,x2},且A=B,则(　　)

A.x=1或x=-1 B.x=1

C.x=0或x=1或x=-1 D.x=-1

答案D

解析当x=1时,集合A={1,2,1},B={1,2,1}不满足集合中元素的互异性,排除A,B,C;当x=-1时,A={-1,0,1},B={-1,0,1},A=B,满足题意.故选D.

5.(2020江苏吴江中学月考)满足{2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},且A中元素之和为偶数的集合A的个数是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案C

解析因为{2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},所以2∈A.又A中元素之和为偶数,所以满足条件的集合A有{2,4},{1,2,3},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共7个,故选C.

6.(2020安徽安庆白泽湖中学月考)已知集合A={x|x<1,或x>3},B={x|x-a<0},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　)

A.{a|a>3} B.{a|a≥3}

C.{a|a<1} D.{a|a≤1}

答案D

解析由题得B={x|x<a},因为B⊆A,所以a≤1.故选D.

7.(2020山东潍坊月考)设全集U=R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为(　　)

A.{x|-2≤x<1} 

B.{x|-2≤x≤3}

C.{x|x≤2,或x>3} 

D.{x|-2≤x≤2}

答案A

解析图中阴影部分表示的集合为∁R(M∪N).又M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3},所以M∪N={x|x<-2,或x≥1},则图中阴影部分表示的集合为∁R(M∪N)={x|-2≤x<1}.故选A.

8.(2020山西高一月考)某学校组织强基计划选拔赛,某班共有30名同学参加了学校组织的数学、物理两科选拔,其中两科都取得优秀的有6人,数学取得优秀但物理未取得优秀的有12人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有4人,则两科均未取得优秀的人数是(　　)

A.8 B.6 C.5 D.4

答案A

解析由题意知,两科都取得优秀的有6人,数学取得优秀物理未取得优秀的有12人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有4人,这样共有22人至少取得一科优秀.某班共有30名同学,则两科均未取得优秀的人数是30-22=8.故选A.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的可能取值有(　　)

A.1 B.-1 C.3 D.2

答案AC

解析因为5∈M,所以m+2=5或m2+4=5,解得m=3,或m=±1.当m=3时,M={1,5,13},符合题意,当m=1时,M={1,3,5},符合题意,当m=-1时,M={1,1,5},不满足元素的互异性,不成立.所以m=3或m=1.故选AC.

10.(2020山东邹城第一中学高一月考)已知全集U=R,A={x|x<2,或x>4},B={x|x≥a},且∁UA⊆B,则实数a的取值可以是(　　)

A.1 B.3 C.2 D.4

答案AC

解析由A={x|x<2,或x>4},得∁UA={x|2≤x≤4}.因为∁UA⊆B,B={x|x≥a},所以a≤2,所以实数a的取值可以是1,2.故选AC.

11.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则(　　)

A.A∩B={0,1}

B.∁UB={4}

C.A∪B={0,1,3,4}

D.集合A的真子集个数为8

答案AC

解析因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁UB={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.

12.(2020重庆万州第二高级中学月考)给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称集合M为闭集合,则下列说法错误的是(　　)

A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合

B.正整数集是闭集合

C.集合M={n|n=5k,k∈Z}为闭集合

D.若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合

答案ABD

解析对于A,4∈M,2∈M,但4+2=6∉M,故A错误;对于B,1∈N*,2∈N*,但1-2=-1∉N*,故B错误;对于C,对于任意a,b∈M,设a=5k1,b=5k2,k1∈Z,k2∈Z,a+b=5(k1+k2),a-b=5(k1-k2),k1+k2∈Z,k1-k2∈Z,所以a+b∈M,a-b∈M,故C正确;对于D,A1={n|n=5k,k∈Z},A2={n|n=3k,k∈Z}都是闭集合,但A1∪A2不是闭集合,如5∈(A1∪A2),3∈(A1∪A2),但5+3=8∉(A1∪A2),故D错误.故选ABD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.设集合A={0,1},B={1,2},C={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的真子集个数为　　　　. 

答案7

解析∵A={0,1},B={1,2},

∴C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}={1,2,3}有3个元素,

∴集合C的真子集个数为23-1=7.

14.(2020湖南雨花雅礼中学高一月考)设A={x|-1<x≤3},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

答案{a|a≤-1}

解析根据题意画出数轴,如图所示,

∵A⊆B,∴a≤-1.

15.(2020江苏玄武南京田家炳高级中学月考)集合A={x|x<1,或x≥2},B={x|a<x<2a+1},若A∪B=R,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案a≤a<1

解析∵集合A={x|x<1,或x≥2},

B={x|a<x<2a+1},A∪B=R,

∴解得≤a<1,

∴实数a的取值范围是a≤a<1.

16.(2020山西高一月考)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串.如:(2,5)表示的是从左往右第2个字符为1,第5个字符为1,其余均为0的6位字符串010010,并规定空集表示的字符串为 000000.若M={1,3,4},则∁UM表示6位字符串为　　　　　　;若A={2,3},集合A∪B表示的字符串为011011,则满足条件的集合B的个数为　　　　. 

答案010011　4

解析因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},

所以∁UM={2,5,6},则∁UM表示6位字符串为010011.

因为集合A∪B表示的字符串为011011,

所以A∪B={2,3,5,6}.

又A={2,3},所以集合B可能为{5,6},{2,5,6},{3,5,6},{2,3,5,6},即满足条件的集合B的个数为4.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2020江苏镇江月考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,3},B={1,3,4}.

(1)求A∩B,(∁UA)∩(∁UB);

(2)集合C满足(A∩B)⊆C⊆(A∪B),请写出所有满足条件的集合C.

解(1)由A={1,2,3},B={1,3,4},得A∩B={1,3},A∪B={1,2,3,4}.

由U={0,1,2,3,4,5,6,7},得(∁UA)∩(∁UB)={0,5,6,7}.

(2)由(A∩B)⊆C⊆(A∪B),A∩B={1,3},A∪B={1,2,3,4},得C可以为{1,3},{1,2,3},{1,3,4},{1,2,3,4}.

18.(12分)已知集合A有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B也有三个元素:0,1,x(a∈R,x∈R).

(1)若x2∈B,求实数x的值.

(2)是否存在实数a,x,使A=B?若存在,求出a,x;若不存在,请说明理由.

解(1)集合B中有三个元素:0,1,x.x2∈B,

当x取0,1,-1时,都有x2∈B,

∵集合中的元素都有互异性,

∴x≠0,x≠1,∴x=-1.

∴实数x的值为-1.

(2)不存在.理由如下:a2+1≠0,

若a-3=0,则a=3,A={0,5,10}≠B;

若2a-1=0,则a=,A=0,-≠B,

∴不存在实数a,x,使A=B.

19.(12分)已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.

(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由.

(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).

解(1)不存在.理由如下:

若对任意的实数b都有A⊆B,

则当且仅当1和2是A中的元素时才有可能.

因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.

(2)由(1)易知,当且仅当时,A⊆B.

解得

所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).

20.(12分)(2020山东枣庄第三中学高一月考)已知集合A={x|a-1<x<2a+1,a∈R},B={x|0<x<1},U=R.

(1)若a=,求A∩B,A∩(∁UB);

(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.

解(1)当a=时,A=x-<x<2.

因为B={x|0<x<1},所以∁UB={x|x≤0,或x≥1}.

因此A∩B={x|0<x<1},

A∩(∁UB)=x-<x≤0,或1≤x<2.

(2)当A=⌀时,显然符合题意,因此有a-1≥2a+1,解得a≤-2;

当A≠⌀时,因此有a-1<2a+1,解得a>-2,要想A∩B=⌀,

则有2a+1≤0或a-1≥1,解得a≤-或a≥2,而a>-2,

所以-2<a≤-或a≥2.

综上所述,实数a的取值范围为aa≤-,或a≥2.

21.(12分)(2020安徽芜湖一中月考)已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<0,或x>2},C={x|m-2≤x≤m+2},m为实数.

(1)求A∩B,∁R(A∩B);

(2)若A⊆∁RC,求实数m的取值范围.

解(1)因为A={x|-1≤x≤3},B={x|x<0,或x>2},

所以A∩B={x|-1≤x<0,或2<x≤3},∁R(A∩B)={x|x<-1,或0≤x≤2,或x>3}.

(2)因为C={x|m-2≤x≤m+2},

所以∁RC={x|x<m-2,或x>m+2}.

因为A⊆∁RC,所以m-2>3或m+2<-1,解得m>5或m<-3,所以m的取值范围为{m|m<-3,或m>5}.

22.(12分)(2020北京八中月考)设a为实数,集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.

(1)若A∩B=A∪B,求a的值;

(2)若A∩B≠⌀,A∩C=⌀,求a的值.

解由题意,B={2,3},C={-4,2}.

(1)因为A∩B=A∪B,所以A=B.

又B={2,3},则解得a=5.

(2)由于A∩B≠⌀,而A∩C=⌀,则3∈A,即9-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.

由(1)知,当a=5时,A=B={2,3}.

此时A∩C≠⌀,矛盾,舍去.

当a=-2时,经检验,满足题意.

因此a=-2.