高中苏教版 (2019)第2章 常用逻辑用语2.1 命题、定理、定义课后测评

第2章常用逻辑用语

2.1　命题、定理、定义

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.下列语句:①3>2;②作射线AB;③sin 30°=;④x2-1=0有一个根是-1;⑤x<1.其中是命题的是(　　)

A.①②③ B.①③④

C.③ D.②⑤

答案B

解析②是祈使句,故不是命题,⑤中x的值不能确定,无法判断真假,故不是命题.①③④符合命题的定义,故选B.

2.下列四个命题中,正确的命题是(　　)

A.空集没有子集

B.任何集合都有真子集

C.空集的元素个数为0

D.任何一个集合至少有两个不同子集

答案C

解析空集的子集是它本身,故A错误;空集没有真子集,故B错误;空集的元素个数为0,故C正确;空集只有一个子集,是它本身,故D错误.故选C.

3.(2020河北唐县第一中学高一月考)设a,b∈R,则下列命题正确的是(　　)

A.若a>b,则a2>b2 B.若a≠b,则a2≠b2

C.若a<|b|,则a2<b2 D.若a>|b|,则a2>b2

答案D

解析因为a=1>b=-1,a2=b2,所以A错误;因为a=1≠b=-1,a2=b2,所以B错误;因为a=-1<|b|=1,a2=b2,所以C错误;因为a>|b|>0,a2>b2,所以D正确.故选D.

4.(2020四川宜宾第四中学高二月考)下列说法正确的是 (　　)

A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B.语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题

C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题

答案D

解析对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若两个角都是直角,则这两个角相等”,则A错误;对于B,所给语句是命题,则B错误;对于C,边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形,对角线相互垂直,但不是菱形,则C错误;对于D,当a=5时,Δ=16-4×5<0,方程x2-4x+a=0无实根,则D正确.故选D.

5.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)命题“若实数a,b满足2a+b>5,则a>2且b>1”是　　　　　(填“真”或“假”)命题. 

答案假

解析当a=0,b=6时,2a+b>5,所以命题“若实数a,b满足2a+b>5,则a>2且b>1”是假命题.

6.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除

7.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.

(1)等底等高的两个三角形是全等三角形;

(2)当ac>bc时,a>b;

(3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

解(1)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,是假命题,不符合全等三角形的条件;

(2)若ac>bc,则a>b,是假命题,因为若c<0,则a<b;

(3)若一个点在一个角的平分线上,则该点到这个角的两边的距离相等,是真命题.

关键能力提升练

8.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题.甲:x=1是该方程的根.乙:x=3是该方程的根.丙:该方程两根之和为2.丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是(　　)

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

答案A

解析若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意;若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号,不符合题意;若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不符合题意;若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不符合题意.综上所述,甲命题为假命题.故选A.

9.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高三开学考试)下列命题为真命题的是(　　)

A.若P={y|y=x2},Q={x|y=x2},则P⊆Q

B.若集合A={(x,y)|y=x-1},B={(x,y)|y=-x2+1},则A∩B={-2,1}

C.若m2=n2,则m=n

D.若A∩B=⌀,则A,B至少有一个为空集

答案A

解析P={y|y=x2}=[0,+∞),Q={x|y=x2}=R,则P⊆Q,所以A正确;若集合A={(x,y)|y=x-1},B={(x,y)|y=-x2+1},由解得则A∩B={(-2,-3),(1,0)},所以B不正确;当m=1,n=-1时,m2=n2=1,但m≠n,所以C不正确;若A∩B=⌀,则A,B至少有一个为空集,或两个集合没有相同的元素,就满足题意,所以D不正确.故选A.

10.命题“三角形中,大边对大角”,改成“若p,则q”的形式,则(　　)

A.三角形中,若一边较大,则其对的角也大,真命题

B.三角形中,若一边较大,则其对的角也大,假命题

C.若一个平面图形是三角形,则大边对大角,真命题

D.若一个平面图形是三角形,则大边对大角,假命题

答案A

解析命题中“三角形中”是大前提,条件应该是“大边”,结论是“对大角”,所以正确选项为A.

11.下列命题是假命题的是(　　)

A.若A∪B=B,则A⊆B

B.若a∈A,则a∈A∪B

C.若a∈A∩B,则a∈B

D.若a∈A∪B,则a∈A∩B

答案D

解析若A∪B=B,则集合A中的元素集合B中都有,即A⊆B,故A正确;因为A∪B含有集合A中元素,由a∈A,则a∈A∪B,所以B正确;因为a∈A∩B,所以a是集合A,B的公共元素,所以a∈B,所以C正确;由a∈A∪B可知a是A中或者是B中元素,并不一定是A,B的公共元素,所以D错误.故选D.

12.(多选)(2020吉林辽源田家炳高级中学)下列语句中,能作为命题的是(　　)

A.地球上有四大洋 B.-5∈Z

C.π∉R D.|x+a|

答案ABC

解析对于A,能判断真假,是命题;对于B,能判断真假,是命题;对于C,能判断真假,是命题;对于D,不能判断真假,不是命题.故选ABC.

13.(多选)给出命题:方程x2+ax+1=0没有实数根,若该命题为真命题,则a的一个值可以是(　　)

A.-2 B.1 C.0 D.2

答案BC

解析由方程无实数根得Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,故符合条件的值为1,0.故选BC.

14.(多选)(2020辽宁高一月考)对于实数a,b,c,下列命题正确的是(　　)

A.若a=b,则a+c=b+c B.若a+c=b+c,则a=b

C.若a=b,则ac=bc D.若ac=bc,则a=b

答案ABC

解析对于A,若a=b,则a+c=b+c,正确;对于B,若a+c=b+c,则a=b,正确;对于C,若a=b,则ac=bc,正确;对于D,若ac=bc,则a=b,错误,当c=0时,ac=bc,a与b不一定相等.故选ABC.

15.指出下列命题的条件和结论:

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数.条件p:　　　　　　　　　　　,结论q:　　　　　　. 

(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分.条件p:　　　　　　　　　　,结论q:　　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案整数a能被2整除　a是偶数　四边形是菱形　它的对角线互相垂直平分

16.若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则a的取值范围是　　　　. 

答案aa<,且a≠0

解析由题意知解得

故a的取值范围为aa<,且a≠0.

17.判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.

(1)求证是无理数.

(2)并非所有的人都喜欢苹果.

(3)x∈R,x2+4x+4≥0.

解(1)祈使句,不是命题.

(2)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.

(3)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.

学科素养拔高练

18.判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若p,则q”的形式.

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?

(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;

(3)当x+y是有理数时,x,y都是有理数;

(4)1+2+3+…+2 021;

(5)这盆花长得太好了!

解(1)为疑问句,不是命题.

(2)为命题,且为真命题,改成“若p,则q”的形式为“在△ABC中,A,B,C所对的边为a,b,c,若A>B,则a>b”.

(3)为命题,且为假命题,比如1-,1+的和为有理数,但它们均为无理数.改成“若p,则q”的形式为“若x+y为有理数,则x,y为有理数”.

(4)为一个和式,无法判断其真假,故不是命题.

(5)为感叹句,无法判断真假,不是命题.