苏教版 (2019)必修 第一册3.1 不等式的基本性质同步测试题

第3章不等式

3.1　不等式的基本性质

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 (　　)

A.a>b>-b>-a 

B.a>-b>-a>b

C.a>-b>b>-a 

D.a>b>-a>-b

答案C

解析(方法一)∵a+b>0,∴a>-b.又b<0,∴a>0,且|a|>|b|,∴a>-b>b>-a.

(方法二)设a=3,b=-2,则a>-b>b>-a.

2.(2020湖南岳麓湖南师大附中高一月考)设M=3x2-x+1,N=x2+x-1,则(　　)

A.M>N

B.M<N

C.M=N

D.M与N的大小关系与x有关

答案A

解析∵M-N=3x2-x+1-(x2+x-1)=2x2-2x+2=2x-2+>0,∴M>N.故选A.

3.设实数a=,b=-1,c=,则(　　)

A.b>a>c B.c>b>a

C.a>b>c D.c>a>b

答案A

解析-1=,∵+1<,∴,即b>a>c.

4.若α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围是(　　)

A.(-π,π) B.(-π,0)

C.- D.-,0

答案B

解析∵-<β<,∴-<-β<.又-<α<,∴-π<α-β<π.∵α<β,∴α-β<0.∴-π<α-β<0.

5.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为　　　　　,的取值范围为　　　　　. 

答案{x-y|27<x-y<56}　<3

解析∵28<y<33,∴-33<-y<-28.又60<x<84,∴27<x-y<56.

由28<y<33,得,即<3.

6.(1)已知a<b<0,求证:;

(2)已知a>b,,求证:ab>0.

证明(1).

∵a<b<0,∴b+a<0,b-a>0,ab>0,

∴<0,故.

(2)∵,

∴<0,即<0,

而a>b,∴b-a<0,∴ab>0.

7.已知12<a<60,15<b<36,求a-b和的取值范围.

解∵15<b<36,∴-36<-b<-15,

∴12-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45.

又,

∴,∴<4.

综上,a-b的取值范围为(-24,45),的取值范围为,4.

关键能力提升练

8.(2020北京八中期末)设a<b<0,则下列不等式不成立的是(　　)

A. B.

C.|a|>-b D.

答案B

解析对于A,因为a<b<0,所以ab>0,所以<0,即,故A成立;对于B,若a=-2,b=-1,则=-1,=-,此时,故B不成立;对于C,因为a<b<0,所以|a|>|b|=-b,故C成立;对于D,因为a<b<0,所以-a>-b>0,则,故D成立.故选B.

9.(2020山西小店山西大附中月考)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化              (　　)

A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小

C.“屏占比”变大 D.变化不确定

答案C

解析设升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),因为>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大.

10.(2020浙江西湖学军中学高一月考)已知0<a<,且M=,N=,则M,N的大小关系是(　　)

A.M>N B.M<N

C.M=N D.不能确定

答案A

解析已知0<a<,且M=,N=,则0<ab<1.则M-N=-=>0,因此M>N.故选A.

11.(2020江苏无锡第一中学期中)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列说法正确的是(　　)

A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2)

B.若a>b>0,则ac2>bc2

C.若a>b,且,则ab>0

D.若a>b>0,则

答案C

解析对于A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),当a<3时,3-a>0,a2+1>(a-1)·(a+2),故A错误;对于B,当c=0时,ac2=0=bc2,故B错误;对于C,因为a>b,所以b-a<0,又<0,所以ab>0,故C正确;对于D,因为a>b>0,所以b-a<0,但,不能判断ab-1的符号,则不一定成立,故D错误.故选C.

12.(多选)(2020广东高州一中月考)若a<b<0,c>0,则下列结论错误的是(　　)

A. B.

C.|ac|<|bc| D.

答案ABC

解析因为a<b<0,所以.又c>0,所以,故A错误;因为a<b<0,所以.又c>0,所以,故B错误;因为a<b<0,所以-a>-b>0,所以|-a|>|-b|,即|a|>|b|,又c>0,所以|ac|>|bc|,故C错误;因为a<b,c>0,>0,所以,故D正确.故选ABC.

13.(多选)(2020广东中山纪念中学高一月考)若a>b>0,则下列不等式恒成立的是(　　)

A. B.a+>b+

C.a+>b+ D.

答案AC

解析由a>b>0,得ab+a>ab+b,即a(b+1)>b(a+1),所以,故A正确;若a=2,b=,满足a>b>0,但a+=b+,故B错误;由a>b>0,得,所以a+>b+,故C正确;由a>b>0,得a2>b2>0,所以a2+2ab>b2+2ab,所以,故D错误.故选AC.

14.(多选)(2020山东鱼台第一中学高一期中)若正实数x,y满足x>y,则下列结论正确的有(　　)

A.xy<y2 

B.x2>y2

C.(m>0) 

D.

答案BCD

解析对于A,由于x,y为正实数,且x>y,得xy>y2,故A错误;对于B,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B正确;对于C,由于x,y为正实数,且x>y,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以成立,故C正确;对于D,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<,故D正确.

15.(2020山西高一月考)已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是　　　　. 

答案[-2,10]

解析因为1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,4a-2b=3(a-b)+(a+b),所以-2≤4a-2b≤10.

16.设a,b为正实数,有下列说法:

①若a2-b2=1,则a-b<1;

②若=1,则a-b<1;

③若||=1,则|a-b|<1;

④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.

其中正确的说法有　　　　.(写出所有正确说法的序号) 

答案①④

解析对于①,由题意a,b为正实数,则a2-b2=1可化为a-b=,则有a-b>0,即a>b>0,故a+b>a-b>0.若a-b≥1,则≥1,则有a+b≤1≤a-b,这与a+b>a-b>0矛盾;若a-b<1,则<1,则有a+b>1>a-b,故①正确.对于②,取特殊值,a=3,b=,则a-b>1,故②不正确.对于③,取特殊值,a=9,b=4,则|a-b|>1,故③不正确.对于④,∵|a3-b3|=1,a>0,b>0,∴a≠b.不妨设a>b>0,∴a2+ab+b2>a2-2ab+b2>0,∴(a-b)(a2+ab+b2)>(a-b)(a-b)2,即a3-b3>(a-b)3>0,∴1=|a3-b3|>(a-b)3>0,∴0<a-b<1,即|a-b|<1.因此④正确.

17.(2020浙江高一课时练习)已知a>b>c,用作差法证明a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.

证明由a>b>c,可得a-b>0,b-c>0,a-c>0.

又a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-ab2)+(b2c-ca2)+(c2a-c2b)=ab(a-b)+c(b-a)(b+a)+c2(a-b)=(a-b)(ab-bc-ac+c2)=(a-b)(a-c)(b-c)>0,

所以a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.

18.某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的车票原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.

解设该单位有职工n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,

则y1=x+x(n-1)=x+xn,y2=xn,

所以y1-y2=x+xn-xn=x-xn=x1-.

当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当0<n<5时,y1>y2.

因此,当单位人数为5时,两车队收费相同;大于5时,选甲车队更优惠;小于5时,选乙车队更优惠.

学科素养拔高练

19.(2020福建古田玉田中学月考)(1)设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小;

(2)已知-1<a+b<3,2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.

解(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y).

∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0.

∴-2xy(x-y)>0.

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

(2)设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),则

∴m=,n=-.

∴2a+3b=(a+b)-(a-b).

∵-1<a+b<3,2<a-b<4,

∴-(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.

∴-(a+b)-(a-b)<.

故2a+3b的取值范围为-.