23版新教材苏教版必修第一册课后习题练第6章　习题课　指数函数图象与性质的综合应用

第6章幂函数、指数函数和对数函数

习题课　指数函数图象与性质的综合应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是(　　)

A.c<a<b B.b<a<c

C.a<c<b D.a<b<c

答案B

解析把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又,所以,即b<a<c.

2.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4,则(　　)

A.f(-1)>f(-2) B.f(1)>f(2)

C.f(2)<f(-2) D.f(-3)>f(-2)

答案D

解析由f(2)=4,得a-2=4,又a>0,∴a=,即f(x)=2|x|,∴函数f(x)为偶函数,在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,故选D.

3.函数y=3x+1-2,x∈[-2,0]的值域是(　　)

A.(-2,+∞) B.

C.[-1,1] D.

答案D

解析∵x∈[-2,0],∴x+1∈[-1,1],令μ=x+1,μ在R上为增函数,且y=3x在R上为增函数,∴3x+1∈,∴函数y=3x+1-2在x∈[-2,0]上的值域为.故选D.

4.某产品计划每年降低成本q%,若3年后的成本费为a元,则现在的成本费为(　　)

A.元 B.a(1-q%)3元

C.元 D.a(1+q%)3元

答案A

解析设现在的成本费为x,则3年后的成本费为x(1-q%)3=a⇒x=.故选A.

5.(2021江苏靖江中学高一调研)若函数f(x)=3x+与g(x)=3x-的定义域均为R,则(　　)

A.f(x)与g(x)均为偶函数

B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数

D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

答案B

解析因为f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选B.

6.已知函数f(x)=,则f(x)的增区间是　　　　　. 

答案(-∞,1]

解析(方法1)由指数函数的性质可知f(x)=在定义域上为减函数,故要求f(x)的增区间,只需求μ=|x-1|的减区间.

又μ=|x-1|的减区间为(-∞,1],所以f(x)的增区间为(-∞,1].

(方法2)f(x)=

可画出f(x)的图象(图略)求其增区间.故增区间为(-∞,1]

7.已知函数y=(m为常数),当t=4时,y=64,若y≤,则t的取值范围为　　　　　　　. 

答案[32,+∞)

解析由y=,把t=4,y=64代入,可得64=,

解得m=,∴y=,

由,得t-7≥1,即t≥32.

故t的取值范围为[32,+∞).

8.设函数f(x)=(e为无理数,且e≈2.718 28…)是R上的偶函数且a>0.

(1)求a的值;

(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.

解(1)∵f(x)是R上的偶函数,

∴f(-1)=f(1).

∴,即-ae.

∴=e,

∴-a=0,∴a2=1.

又a>0,∴a=1.

(2)在(0,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

=(.

∵x1<x2,∴>0.

∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,

∴>1,-1<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函数.

关键能力提升练

9.(2021辽宁大连双基测试)函数y=(x∈R)的值域为(　　)

A.(0,+∞) B.(0,1)

C.(1,+∞) D.

答案B

解析y==1-,

因为2x>0,所以1+2x>1,

所以0<<1,-1<-<0,0<1-<1,即0<y<1,

所以函数y的值域为(0,1),故选B.

10.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则(　　)

A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

答案D

解析40.9=21.8,80.48=21.44,=21.5,根据y=2x在R上是增函数,得21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2,故选D.

11.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为(　　)

A.(1,+∞) B.(1,8)

C.(4,8) D.[4,8)

答案D

解析由题意得解得4≤a<8.

12.已知0<b<a<1,则在ab,ba,aa,bb中最大的是(　　)

A.ba B.aa

C.ab D.bb

答案C

解析因为0<b<a<1,所以y=ax和y=bx均为减函数,所以ab>aa,bb>ba.又因为y=xb在(0,+∞)上为增函数,所以ab>bb,所以在ab,ba,aa,bb中最大的是ab.故选C.

13.(2021江苏如皋中学调研)已知函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,记a=m,若f(x)是奇函数,记a=n,则m+2n的值为(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.-1

答案B

解析当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(ex+ae-x)=-x(e-x+aex),即(1+a)(ex+e-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1.当f(x)是奇函数时,f(x)=-f(-x),即x(ex+ae-x)=x(e-x+aex),即(1-a)(ex-e-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1,所以m+2n=1.

14.(多选)下列各式比较大小不正确的是(　　)

A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62

C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1

答案ACD

解析A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.D中,因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.

15.(多选)已知实数a,b满足等式,下列四个关系式中,其中可能成立的关系式有(　　)

A.0<b<a B.a<b<0

C.a=b=0 D.b<a<0

答案ABC

解析函数y1=与y2=的图象如图所示.

由得,a<b<0或0<b<a或a=b=0.

故选ABC.

16.(多选)(2021湖北调研)对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若对于函数f(x)=2的定义域内的任意实数x,恒有fk(x)=f(x),则k的取值可以是(　　)

A.4 B.3 C.2 D.

答案ABC

解析由题意,知k≥f(x)max.函数f(x)=2的定义域为[-1,2].令t=,则t∈,2t∈[1,2],所以f(x)max=2,因此k≥2.故选ABC.

17.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的规律近似满足解析式f(x)=规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL,据此可知,此驾驶员至少要过　　　 h后才能开车.(精确到1 h) 

答案4

解析当0≤x≤1时,≤5x-2≤,此时不宜开车;由≤0.02,可得x≥4.故至少要过4 h后才能开车.

18.(2021江苏南京雨花台中学月考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为8,最小值为m,若函数g(x)=(3-10m)是增函数,则a=　　　　. 

答案

解析当a>1时,y=ax在[-1,2]上是增函数,

∴解得

此时g(x)=,

∵3-<0,∴g(x)是减函数,不合题意;

当0<a<1时,y=ax在[-1,2]上是减函数,

∴解得

此时g(x)=,

∵3->0,∴g(x)是增函数,符合题意.

综上所述,a=.

19.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.

(1)当a=1时,解不等式f(x)>0;

(2)当a=,x∈[0,2]时,求f(x)的值域.

解(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.

f(x)>0,即2·(2x)2-2x-1>0,

解得2x>1或2x<-(舍去),

∴x>0,∴不等式f(x)>0的解集为{x|x>0}.

(2)当a=时,f(x)=4x-2x-1,x∈[0,2].

设t=2x,∵x∈[0,2],∴t∈[1,4].

令y=g(t)=t2-t-1(1≤t≤4),

画出g(t)=t2-t-1(1≤t≤4)的图象(如图),

可知g(t)min=g(1)=-1,g(t)max=g(4)=11,

∴f(x)的值域为[-1,11].

20.(2021江苏扬州中学高一期中调研)设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x.

(1)求g(x)的解析式;

(2)若方程g(x)-b=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.

解(1)∵f(x)=3x,且f(a+2)=18,

∴3a+2=18,∴3a=2.

∵g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x,

∴g(x)=2x-4x.

(2)(方法1)由(1)知,方程为2x-4x-b=0.

令t=2x,x∈[-2,2],则≤t≤4,

且方程t-t2-b=0在上有两个不相等的实数根,

即函数y=t-t2=-的图象与函数y=b的图象在内有两个交点.

作出大致图象,如图所示:

由图知当b∈时,方程g(x)-b=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根.

故实数b的取值范围为.

(方法2)由(1)知,方程为2x-4x-b=0.

令t=2x,x∈[-2,2],则≤t≤4,且方程t-t2-b=0在上有两个不相等的实数根,

令h(t)=-t2+t-b,t∈,

则解得≤b<.

故实数b的取值范围为.

学科素养创新练

21.(2021江苏苏州太仓中学月考)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).

(1)求h(a);

(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:

①m>n>3;

②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.

解(1)因为x∈[-1,1],

所以f(x)=.

设t=,

则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.

当a<时,ymin=h(a)=φ;

当≤a≤3时,ymin=h(a)=φ(a)=3-a2;

当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12-6a.

所以h(a)=

(2)不存在.假设存在m,n满足题意.

因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,

又因为h(a)的定义域为[n,m],

值域为[n2,m2],

所以两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与m>n>3矛盾,

所以满足题意的m,n不存在.