苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性第1课时复习练习题

第5章函数概念与性质

5.4　函数的奇偶性

第1课时　奇偶性的概念　第2课时　奇偶性的应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2020浙江温州期中)以下函数为奇函数的是(　　)

A.y=-2x B.y=2-x

C.y=x2 D.y=,x∈(0,1)

答案A

解析f(x)=-2x的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)=2x=-f(x),y=-2x是奇函数,A符合题意;y=2-x既不是奇函数又不是偶函数,B不符合题意;y=x2是偶函数,C不符合题意;y=,x∈(0,1),定义域不关于原点对称,即既不是奇函数又不是偶函数,D不符合题意.故选A.

2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2-x,则f(1)=(　　)

A.- B.-

C. D.

答案A

解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-.

3.函数f(x)=2x-的图象关于(　　)

A.y轴对称 B.直线y=-x对称

C.直线y=x对称 D.原点对称

答案D

解析函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图象关于原点对称.故选D.

4.若f(x)=(x-a)(x+3)为R上的偶函数,则实数a的值为(　　)

A.-3 B.3 C.-6 D.6

答案B

解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),化简得(6-2a)x=0.因为x∈R,所以6-2a=0,即a=3.

5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=　　　　. 

答案-5

解析由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.

6.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　. 

答案　0

解析由题意可知,f(-x)=f(x),即2bx=0,

∴

7.(2020北京首都师范大学附属中学期末)函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是　　　　　　. 

答案(-∞,-3]∪[3,+∞)

解析因为函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,

所以f(x)在[0,+∞)上是减函数.

因为f(a)≤f(3),所以f(|a|)≤f(3),所以|a|≥3,

解得a≤-3或a≥3.

所以a的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).

8.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.

解∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,

∴由f(1-x)+f(1-2x)<0,得

f(1-x)<-f(1-2x),∴f(1-x)<f(2x-1).

又f(x)在(-1,1)上是减函数,

∴解得0<x<,

∴原不等式的解集为0,.

9.(2020山西太原五中月考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax.

(1)求f(0);

(2)若a=-2,求函数f(x)的解析式;

(3)若函数f(x)为R上的减函数,求a的取值范围.

解(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(0)=0.

(2)当a=-2时,f(x)=-x2-2x,x>0.当x<0时,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2+2x,

即f(x)=x2-2x.当x=0时,f(0)=-02-2×0=0,则f(x)=

(3)当x<0时,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2-ax,所以f(x)=x2+ax,

从而f(x)=

因为f(x)为R上的减函数,

所以x=≤0,解得a≤0.

故a的取值范围为(-∞,0].

关键能力提升练

10.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于 (　　)

A.-1 B.1 C.0 D.2

答案A

解析因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},

根据奇函数的定义域关于原点对称,

所以a与b有一个等于1,一个等于-2,

所以a+b=1+(-2)=-1.

11.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=(　　)

A.21 B.-21

C.26 D.-26

答案B

解析设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.

12.(2020甘肃兰州一中月考)函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有<0,且函数f(x+1)为偶函数,则(　　)

A.f(1)<f(-2)<f(3) 

B.f(3)<f(-2)<f(1)

C.f(-2)<f(3)<f(1) 

D.f(-2)<f(1)<f(3)

答案C

解析因为对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有<0,

所以对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),x2-x1与f(x2)-f(x1)均为异号,所以f(x)在[1,+∞)上是减函数.

又函数f(x+1)为偶函数,即f(x+1)=f(1-x),

所以f(-2)=f(4).

所以f(-2)=f(4)<f(3)<f(1).故选C.

13.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数f(x)的增区间为(　　)

A.(-∞,0] B.[0,+∞)

C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)

答案A

解析因为函数为偶函数,所以a+2=0,a=-2,即该函数f(x)=-2x2+1,所以函数在(-∞,0]上是增函数.

14.(2020江苏华罗庚中学月考)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-1)=0,则使得(x2-4)f(x)>0的x的取值范围是(　　)

A.⌀

B.(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)

C.(-1,1)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

答案B

解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-1)=0,所以f(1)=0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.

由题意可知,x2-4=0不满足条件.

①当x≤0时,若x2-4<0,可得-2<x≤0,

则由(x2-4)f(x)>0得f(x)<0=f(-1),

可得-1<x≤0;

若x2-4>0,可得x<-2,则由(x2-4)f(x)>0得f(x)>0=f(-1),可得x<-1,所以x<-2.

②当x>0时,若x2-4<0,可得0<x<2,

则由(x2-4)f(x)>0得f(x)<0=f(1),

可得0<x<1;

若x2-4>0,可得x>2,则由(x2-4)f(x)>0得f(x)>0=f(1),可得x>1,所以x>2.

综上所述,x的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).故选B.

15.(多选)(2020江苏无锡期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)的最大值为

B.f(x)在-1,-是增函数

C.f(x)>0的解集为(-1,1)

D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3]

答案ABD

解析∵f(x)是偶函数,

当x≥0时,f(x)=-x2+x=-x-2+,f(x)最大值是,∴当x≤0时,f(x)最大值也是,故A正确;

f(x)在,1上是减函数,因此f(x)在-1,-上是增函数,故B正确;f(0)=0,故C错误;

当x≥0时,f(x)+2x=3x-x2≥0,解得0≤x≤3,当x≤0时,-x≥0,f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,

f(x)+2x=x-x2≥0,解得0≤x≤1.

综上,f(x)+2x≥0的解集是[0,3],故D正确.故选ABD.

16.(多选)(2020安徽宁国中学月考)已知函数y=f(x+2)是偶函数,且y=f(x)在(0,2)上是增函数,则下列结论一定正确的有(　　)

A.函数y=f(x-2)是偶函数

B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称

C.f<f(1)<f

D.y=f(2x)在(1,2)上单调递减

答案BCD

解析y=f(x+2)是偶函数,x=0是其对称轴,把它的图象向右平移4个单位长度得y=f(x-2)的图象,其对称轴为x=4,不能判断它是偶函数,故A错误;把y=f(x+2)的图象向右平移2个单位长度得y=f(x)的图象,因此x=2是y=f(x)图象的对称轴,故B正确;由B可得f(1)=f(3),f(x)在(2,4)上是减函数,∴f>f(3)>f,故C正确;y=f(x)在(2,4)上是减函数,由2<2x<4得1<x<2,∴y=f(2x)在(1,2)上是减函数,D正确.故选BCD.

17.设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　. 

答案-1

解析∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),

即=-.

显然x≠0,

整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,

故a+1=0,得a=-1.

18.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=　　　　. 

答案-x2-x

解析当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-(-x)]=-x2-x.

19.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.

(1)求b的值;

(2)若f(x)在[0,2]上是增函数,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.

解(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,

所以f(0)=0,解得b=0.

(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,

又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.

因为f(m)+f(m-1)>0,

所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),

所以

解得<m≤2,所以m的取值范围为,2.

20.(2020江苏高一月考)已知定义在[-3,3]上的函数y=f(x)是增函数.

(1)若f(m+1)>f(2m-1),求m的取值范围;

(2)若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,解不等式f(x+1)+1>0.

解(1)由题意可得

解得-1≤m<2,即m的取值范围是[-1,2).

(2)∵函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,

∴f(-2)=-f(2)=-1,

∵f(x+1)+1>0,∴f(x+1)>-1,

∴f(x+1)>f(-2),

∴∴-3<x≤2.

∴原不等式的解集为(-3,2].

学科素养创新练

21.(2020江苏常熟中学月考)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)当f(x)为偶函数时,求使得不等式f(x)≥k|x|恒成立的实数k的取值范围.

解(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),

∴f(x)为偶函数;

当a≠0时,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1,

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

综上,当a=0时,f(x)为偶函数,当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)由(1)知,若f(x)为偶函数,则a=0,则f(x)=x2+|x|+1,

∴f(x)≥k|x|等价于x2+|x|+1≥k|x|,

当x=0时,不等式化为1≥0,恒成立,满足题意;

当x≠0时,不等式等价于k≤|x|++1,

又|x|++1≥2+1=3,当且仅当|x|=,即x=±1时,等号成立,

∴k≤3.故实数k的取值范围为(-∞,3].