高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质第2课时复习练习题

第7章三角函数

7.3　三角函数的图象与性质

7.3.2　三角函数的图象与性质

第2课时　正切函数的图象与性质

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.函数y=tan的最小正周期是(　　)

A.4 B.4π C.2π D.2

答案D

解析函数y=tan的最小正周期T==2,故选D.

2.函数y=tan的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案D

解析∵y=tan=-tan,

∴x-≠kπ+(k∈Z),即x≠kπ+,k∈Z.

3.函数y=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数,又是偶函数

D.既不是奇函数,又不是偶函数

答案A

解析函数的定义域为xx≠kπ+且x≠π+2kπ,k∈Z,关于原点对称.

设y=f(x)=,

则f(-x)==-f(x).

所以y=f(x)是奇函数.故选A.

4.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.

答案A

解析由题意,T=,∴ω=4,

∴f(x)=tan 4x,f=tan π=0,故选A.

5.(2021江苏无锡辅仁中学月考)方程tan在[0,2π)上的解的个数是(　　)

A.5 B.4 

C.3 D.2

答案B

解析由题意知,2x++kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.又x∈[0,2π),所以x=0,,π,,共4个.故选B.

6.使函数y=2tan x与y=cos x同时成立的增区间是　　　　　. 

答案(k∈Z),2kπ+π,2kπ+(k∈Z)

解析由y=2tan x与y=cos x的图象知,同时成立的增区间为(k∈Z),2kπ+π,2kπ+(k∈Z).

7.设函数f(x)=tan.

(1)求函数f(x)的周期、对称中心;

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

解(1)∵ω=,∴周期T==2π.

令(k∈Z),则x=kπ+(k∈Z),

∴f(x)的对称中心是(k∈Z).

(2)令=0,则x=;

令,则x=;

令=-,则x=-.

∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图).

关键能力提升练

8.函数y=的定义域为(　　)

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

答案C

解析由1-tan≥0,得tan≤1,所以kπ-<x-≤kπ+,k∈Z,解得kπ-<x≤kπ+,k∈Z,故所求函数的定义域为kπ-,kπ+,k∈Z,故选C.

9.若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=(　　)

A.±1 B.1 C.±2 D.2

答案A

解析∵函数g(x)的周期为=π,∴=π,∴ω=±1.

10.函数y=tan的一个对称中心是(　　)

A.(0,0) B.

C. D.(π,0)

答案C

解析令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是,k∈Z.令k=2,可得函数的一个对称中心为.

11.(2021江苏扬州仪征中学月考)若直线x=aπ(0<a<1)与函数y=tan x的图象无公共点,则不等式tan x≥2a的解集为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案B

解析∵直线x=aπ与函数y=tan x的图象无公共点,且0<a<1,∴aπ=,∴a=,故tan x≥2a可化为tan x≥1.结合正切函数的图象,可得不等式tan x≥2a的解集为xkπ+≤x<kπ+,k∈Z,故选B.

12.(2021陕西黄陵中学开学考试)函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在-上的大致图象依次是(　　)

A.①②③④ B.②①③④

C.①②④③ D.②①④③

答案C

解析函数y=|tan x|对应的图象为①,y=tan x对应的图象为②,y=tan(-x)对应的图象为④,y=tan|x|对应的图象为③.故选C.

13.(多选)(2020福建福州一中高一期末)下列关于函数f(x)=tan2x+的相关性质的命题,正确的有 (　　)

A.f(x)的定义域是

B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)的增区间是(k∈Z)

D.f(x)的对称中心是,0(k∈Z)

答案AC

解析对A,令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),

则函数y=f(x)的定义域是xx≠,k∈Z,故A选项正确;

对B,函数y=f(x)的最小正周期为,故B选项错误;

对C,令kπ-<2x+<kπ+(k∈Z),解得<x<(k∈Z),

则函数y=f(x)的增区间是(k∈Z),故C选项正确;

对D,令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),

则函数y=f(x)的对称中心为,0(k∈Z),故D选项错误.

14.(多选)(2021海南调研)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|=,则(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为

B.ω=4

C.函数f(x)图象的对称中心的坐标为,0(k∈Z)

D.函数|f(x)|图象的对称轴方程均可表示为x=(k∈Z)

答案BC

解析∵|AB|=,则T=,∴ω=4.故A错误,B正确;令4x=kπ,k∈Z,∴x=kπ,k∈Z.∴y=tan 4x的图象的对称中心为,0(k∈Z).故C正确;y=|f(x)|图象的对称轴方程为x=(k∈Z),故D错误.

15.已知函数y=tan ωx在-内是减函数,则ω的取值范围是　　　　　. 

答案[-1,0)

解析∵y=tan ωx在-内是减函数,

∴ω<0且T=≥π.

∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.

16.(2021江苏盐城中学调研)函数f(x)=lg的定义域为　　　　　　　　　　　　　　,f(x)为　　　　　函数(填“奇”或“偶”). 

答案kπ-,kπ-∪kπ+,kπ+(k∈Z)　奇

解析由>0,得tan x>1或tan x<-1.

∴函数定义域为kπ-,kπ-∪kπ+,kπ+(k∈Z),关于原点对称.

f(-x)+f(x)=lg+lg

=lg=lg 1=0.

∴f(-x)=-f(x),

∴f(x)是奇函数.

17.比较下列两组函数值的大小.

(1)tan(-1 280°)与tan 1 680°;

(2)tan 1,tan 2,tan 3.

解(1)∵tan(-1 280°)=tan(-4×360°+160°)

=tan(180°-20°)=tan(-20°),

tan 1 680°=tan(4×360°+240°)

=tan(180°+60°)=tan 60°,

而函数y=tan x在-90°到90°上是增函数,

∴tan(-20°)<tan 60°,

即tan(-1 280°)<tan 1 680°.

(2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),

又∵<2<π,

∴-<2-π<0.

∵<3<π,∴-<3-π<0,

显然-<2-π<3-π<1<,

且y=tan x在内是增函数,

∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,

即tan 2<tan 3<tan 1.

18.(2021江苏昆山震川中学月考)设函数f(x)=tan.

(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;

(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.

解(1)由≠kπ+,k∈Z,得到函数的定义域为xx≠+2kπ,k∈Z;

周期T=2π;增区间为-+2kπ,+2kπ(k∈Z),无减区间;

对称中心为+kπ,0(k∈Z).

(2)由题意得kπ-≤kπ+,k∈Z,则+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,可得不等式的解集为x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.

学科素养拔高练

19.已知函数f(x)=2tan(k∈N*)的最小正周期T满足1<T<,求正整数k的值,并指出f(x)的奇偶性、单调区间.

解因为1<T<,

所以1<,即<k<π.

因为k∈N*,所以k=3,则f(x)=2tan.

由3x-+kπ得,x≠,k∈Z,定义域不关于原点对称,所以f(x)=2tan既不是奇函数也不是偶数.

由-+kπ<3x-+kπ,得-<x<,k∈Z.

所以f(x)=2tan的增区间为-,k∈Z.