河南省驻马店市平舆县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份河南省驻马店市平舆县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省驻马店市平舆县2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案填涂在答题卡上.
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若方程ax2+bx+c＝x2（a，b，c为常数）是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a＝0 B．a≠0 C．a≠1 D．b≠0
3．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，＝，AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（　　）

A．1 B． C． D．
4．将抛物线y＝x2﹣2x的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到将抛物线必经过（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣2）
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a≤0 D．a＞0且a≠1
6．在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．下列各选项中，正确的是（　　）
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
﹣6
4
6
4
…
A．函数的图象开口向上
B．函数的图象与x轴无交点
C．函数的最大值大于6
D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
9．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为（　　）
A．2x+2（x+12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．x（x﹣12）＝864
10．已知：如图，等边三角形OAB的边长为2，边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（0，﹣1） C．（﹣，﹣1） D．（﹣，1）
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．方程x（x﹣3）＝5（x﹣3）的解是 　 　．
12．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，若x1＜x2＜3，则y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠ADO的度数为 　 　．

14．如果关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣7＝0的两根分别为m、n，那么m2﹣4m﹣n＝　 　．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：（1）abc＞0；（2）b2﹣4ac＜0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＝0；（5）若方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝2；（6）当x＞0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是：　 　．

三、解答题：（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝16；
（2）2x2+8x﹣1＝0．
17．（9分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图形△A1B1C1，则点A1的坐标为A1（ 　 　，　 　）；
（2）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2，则点A2的坐标为A2（ 　 　，　 　）；
（3）画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的图形△A3B3C3，则点A3的坐标为A3（ 　 　，　 　）．

18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若x1，x2满足3x1＝x2+2，求m的值．
19．（9分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．

20．（9分）某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？

21．（10分）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
22．（11分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
23．（10分）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形片△ABC和△C1DE叠放在一起（C与C1重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C1DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE（如图2），线段BE与AD之间具有的大小关系为　 　．
（2）操作：若将图1中的△C1DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE（如图3），线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？


河南省驻马店市平舆县2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案填涂在答题卡上.
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．若方程ax2+bx+c＝x2（a，b，c为常数）是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a＝0 B．a≠0 C．a≠1 D．b≠0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：把ax2+bx+c＝x2整理得，（a﹣1）x2+bx+c＝0，
∵ax2+bx+c＝x2（a，b，c为常数）是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得aa≠1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，＝，AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】由圆周角定理得出∠AOC＝90°，由直角三角形的性质求出OE的长，则可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠DAB＝30°，，
∴OE＝OA•tan30°＝＝1，
∵OA＝OC＝，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系及直角三角形的性质，解题的关键是根据题意求出∠AOC＝90°．
4．将抛物线y＝x2﹣2x的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到将抛物线必经过（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣2）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律求得平移后的函数解析式，然后计算出自变量为1、﹣1、0所对应的函数值，再根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴将抛物线y＝x2﹣2x的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣1，即y＝（x+1）2﹣2，
当x＝1时，y＝（x+1）2﹣2＝2；
当x＝﹣1时，y＝（x+1）2﹣2＝﹣2；
当x＝0时，y＝（x+1）2﹣2＝﹣1；
所以抛物线必经过点（1，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a≤0 D．a＞0且a≠1
【分析】根据关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根知Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，据此得出a的范围，再结合一元二次方程的定义可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，
解得a≥0，
又∵a﹣1≠0，
∴a≥0且a≠1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
6．在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负，然后逐个分析即可．
【解答】解：当a＞0时，
一次函数过一二三象限，
抛物线开口向上，对称轴x＝＜0，故B、C不符合题意，
当a＜0时，
一次函数过二三四象限，
抛物线开口向下，对称轴x＝＞0，故A不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，能够通过一次函数和二次函数的系数判断出大概图象是解答本题的关键．
7．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．下列各选项中，正确的是（　　）
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
﹣6
4
6
4
…
A．函数的图象开口向上
B．函数的图象与x轴无交点
C．函数的最大值大于6
D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6
【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣4）（x+1）＝﹣（x﹣）2+，
A．函数的图象开口向下，故本选项不合题意；
B．函数的与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故本选项不合题意；
C．当x＝时，函数有最大值为，故本选项不合题意；
D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．
9．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为（　　）
A．2x+2（x+12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．x（x﹣12）＝864
【分析】设矩形田地的长为x步，则矩形田地的宽为（x﹣12）步，根据矩形田地的面积等于864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设矩形田地的长为x步，则矩形田地的宽为（x﹣12）步，
依题意得：x（x﹣12）＝864．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．已知：如图，等边三角形OAB的边长为2，边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（0，﹣1） C．（﹣，﹣1） D．（﹣，1）
【分析】过点B和点O分别作BC⊥OA于点C，OD⊥AB于点D，根据△AOB是等边三角形，可得点G的坐标，等边三角形OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标．
【解答】解：如图，

过点B和点O分别作BC⊥OA于点C，OD⊥AB于点D，
∵△AOB是等边三角形，
∴OD平分∠BOA，
∴∠DOA＝30°，
∵OC＝OA＝，
∴CG＝1，OG＝2，
∵等边三角形OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，
∴旋转6次为一个循环，
∵等边三角形中心G坐标为（，1），
第1次旋转后到y轴正半轴上，坐标为：（0，2）；
第2次旋转后到第二象限，坐标为：（﹣，1）；
第3次旋转后到第三象限，坐标为：（﹣，﹣1）；
第4次旋转后到y轴负半轴上，坐标为（0，﹣2）；
第5次旋转后到第四象限，坐标为（，﹣1）；
第6次旋转后回到第一象限，坐标为（，1）．
∵2023÷6＝331…1，
∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：（0，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11．方程x（x﹣3）＝5（x﹣3）的解是 　x1＝3，x2＝5　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：x（x﹣3）＝5（x﹣3），
x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5．
故答案为：x1＝3，x2＝5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，若x1＜x2＜3，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，且x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
13．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠ADO的度数为 　75°　．

【分析】由旋转的性质得出∠AOD＝30°，OA＝OD，利用等腰三角形的性质得出∠A＝∠ADO，则可得出答案．
【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，
∴∠AOD＝30°，OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ADO＝×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了旋转变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
14．如果关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣7＝0的两根分别为m、n，那么m2﹣4m﹣n＝　4　．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2＝3m+7，则m2﹣4m﹣n化为7﹣（m+n），再根据根与系数的关系得到m+n＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m为方程x2﹣3x﹣7＝0的根，
∴m2﹣3m﹣7＝0，
∴m2＝3m+7，
∴m2﹣4m﹣n＝3m+7﹣4m﹣n＝7﹣（m+n），
∵m+n＝3，
∴m2﹣4m﹣n＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：（1）abc＞0；（2）b2﹣4ac＜0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＝0；（5）若方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝2；（6）当x＞0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是：　（3）（4）（5）　．

【分析】根据抛物线与x轴交点的个数判定根的判别式的符号；由抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点位置以及抛物线对称轴可以判定a、b、c的符号；由x＝1和x＝﹣1可以得到相应的y值的符号；由对称轴可判断2a+b的值；由抛物线与x轴的交点与对称轴可得x1+x2＝2；由对称轴及抛物线开口方向可得其增减性．
【解答】解：（1）抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，即b＜0．
所以abc＜0．故（1）错误；
（2）抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故（2）错误；
（3）如图，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故（3）正确；
（4）对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故（4）正确；
（5）方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，
所以二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），
所以对称轴x＝＝1，则x1+x2＝2，故（5）正确；
（6）当x＜1时，y随x的增大而减小，故（6）错误．
故答案为：（3）（4）（5）．
【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解答题：（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝16；
（2）2x2+8x﹣1＝0．
【分析】（1）方程开方转化为两个一元一次方程，求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝16，
开方得：2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，
解得：x1＝2.5，x2＝﹣1.5；
（2）2x2+8x﹣1＝0，
整理得：x2+4x＝，
配方得：x2+4x+4＝，即（x+2）2＝，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17．（9分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图形△A1B1C1，则点A1的坐标为A1（ 　﹣3　，　6　）；
（2）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2，则点A2的坐标为A2（ 　﹣2　，　﹣5　）；
（3）画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的图形△A3B3C3，则点A3的坐标为A3（ 　5　，　0　）．

【分析】（1）根据平移的性质作出对应点即可；
（2）根据中心对称的性质，作出对应点即可；
（3）根据旋转的性质，作出对应点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点A1的坐标为（﹣3，6）．
故答案为：﹣3，6．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，
点A2的坐标为（﹣2，﹣5）．
故答案为：﹣2，﹣5．
（3）如图，△A3B3C3即为所求，
点A3的坐标为（5，0）．
故答案为：5，0．

【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若x1，x2满足3x1＝x2+2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝20﹣4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝6①、x1•x2＝m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1＝x2+2③或3x1＝﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5；
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝6①，x1•x2＝m+4②．
∵3x1＝x2+2③，
∴联立①③解得：x1＝2，x2＝4，
∴8＝m+4，m＝4；
∴m的值为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝20﹣4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0两种情况求出x1、x2的值．
19．（9分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交AB于点D，交⊙O于点C，连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，点O即为所求；
（2）连接AO，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．


（2）连接OA，
则AD＝AB＝8cm，点C为的中点，
进而，CD＝4cm．
设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r﹣4）cm．
在Rt△ADO中，有82+（r﹣4）2＝r2，
解得r＝10．
即这个圆形截面所在圆的半径为10cm．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（9分）某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？

【分析】（1）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；
（2）求出x＝2时y的值，与1.8比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，
∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当x＝2时y的值．
21．（10分）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，利用四月份的销售量＝二月份的销售量×（1+三、四这两个月销售量的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，利用五月份的销售总利润＝每盒的销售利润×五月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，
依题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）．
答：当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（11分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．



【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
23．（10分）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形片△ABC和△C1DE叠放在一起（C与C1重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C1DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE（如图2），线段BE与AD之间具有的大小关系为　BE＝AD　．
（2）操作：若将图1中的△C1DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE（如图3），线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？

【分析】（1）先由等边三角形判断出AC＝BC，CE＝CD，再由旋转判断出∠BCE＝∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）当点D在AC的延长线上时，AD最大，最大值为a+b，当点D在线段AC上时，AD最小，最小值为a﹣b，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C与C1重合，△ABC和△C1DE，
∴△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
由旋转知，∠BCE＝∠ACD＝30°，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案案为：BE＝AD；

（2）BE＝AD，
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
由旋转知，∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；

（3）当点D在AC的延长线上时，AD最大，最大值为AC+CD＝a+b，
即当α为180度时，线段AD的长度最大，最大值为a+b，
当点D在线段AC上时，AD最小，最小值为AC﹣CD＝a﹣b，
即当α为0度或360度时，线段AD的长度最小，最小值为a﹣b．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△BCE≌△ACD是解本题的关键．