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浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千
2．下列说法正确的是（ ）
A．“翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B．“太阳从西方升起”是必然事件
C．“明天会下雨”描述的事件是随机事件
D．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
3．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
4．把二次函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2+3
5．不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠OBA的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则圆心O到BC的距离OM为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
8．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（AB）占骨柄（AO）的，骨柄长为30cm，折扇张开的角度为120°．则扇面（阴影部分）的面积是（ ）
A．46π B．160π C．252π D．300π
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
10．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝2x2的图象开口方向是 ．
12．已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 ．
13．某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 件是合格的．
14．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为10m，油的最大深度CD＝8m（CD⊥AB），则油面宽度AB为 m．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝ab+a+b，例如2⊗3＝2×3+2+3＝11．若y关于x的函数y＝x⊗（﹣x+k）的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增：组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点Pn，则点P1的坐标为 ，点Pn的纵坐标为 ．（n为正整数）
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）
17．解下列方程或不等式：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象经过点（2，﹣3）．求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）函数图象的顶点坐标．
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圆的半径为 ．
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1．
（3）连结CC1，求四边形CBA1C1的面积．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
21．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 ；
（2）条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整；
（3）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
22．如图所示，在一块正方形木板ABCD上要贴两种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸．A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、80元．
（1）如果木板边长为2m，FC＝1m，则贴这块木板用墙纸的费用为多少元？
（2）如果木板的边长为1m，设正方形EFCG的边长为xm时，墙纸费用为y元，求y关于x的函数表达式，并求出当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最少，最少的费用为多少？
23．如图为衢州西安门大桥，它是老城与新城的主要通道，它见证了衢城半个世纪的历史变迁，已知桥拱为抛物线型，AD，BE是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在DE处，桥最高点C离水面6m，在水面以上的桥墩AD为2m．以AB所在的直线为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，试回答下列问题：
（1）求此桥拱线所在抛物线的表达式．
（2）当水位上涨2m时，若有一艘在水面以上部分高3m，宽4m的船，请问此船能否通过桥洞呢？请说明理由．
（3）当桥的最高点C离水面不小于2m时，都是安全的水位，水位警报器不会发出警报．当水面的宽度为多少时，警报器恰好发出警报？
24．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千
【分析】在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、不是旋转，是平移，故本选项不符合题意；
B、不是旋转，是平移，故本不符合题意；
C、不是旋转，是平移，故本选项不合题意；
D、属于旋转，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的判断方法，判断是否属于旋转，要看是否有旋转中心，旋转角，旋转方向且变化前后图形大小是否发生变化．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B．“太阳从西方升起”是必然事件
C．“明天会下雨”描述的事件是随机事件
D．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
【分析】根据概率的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：A、、“翻开九年数学书，恰好是第35页”是随机事件，故本选项不符合题意；
B、“太阳从西方升起”是不可能事件，故本选项不符合题意；
C“明天会下雨”是随机事件，故本选项正确，符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
3．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【分析】根据弧长的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由弧长公式可知，
l＝＝4π，
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的关键．
4．把二次函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2+3
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：A．
【点评】考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个绿球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠OBA的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
【分析】先根据圆周角定理得到∠AOB＝70°，然后根据等腰三角形的性质和和三角形内角和计算∠OBA的度数．
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝×（180°﹣70°）＝55°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则圆心O到BC的距离OM为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝4×＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
8．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（AB）占骨柄（AO）的，骨柄长为30cm，折扇张开的角度为120°．则扇面（阴影部分）的面积是（ ）
A．46π B．160π C．252π D．300π
【分析】折扇扇面的面积等于两个扇形的面积之差，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
OA＝30cm，AB＝OA＝×30＝18（cm），
∴OB＝OA﹣AB＝30﹣18＝12（cm），
∴扇面（阴影部分）的面积是：
﹣＝300π﹣48π＝252π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
10．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC＝5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
如图，即BP′⊥AC，BP′＝3，
∴由勾股定理可知：PC＝4，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为5，
∴AB＝BC＝5，
∴P′A＝P′C＝4，
∴AC＝8，
∴△ABC的面积为：AC•BP′＝×8×3＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝2x2的图象开口方向是 向上 ．
【分析】根据二次函数二次项的系数的符号确定开口方向即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的二次项的系数决定了开口的方向，难度较小．
12．已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 点A在⊙O外 ．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A在⊙O外．
故答案为：点A在⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
13．某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 1080 件是合格的．
【分析】根据频数＝总数×频率，即可得出答案．
【解答】解：∵1200×0.9＝1080（件），
∴1200件衬衣中有1080件是合格的．
故答案为：1080．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为10m，油的最大深度CD＝8m（CD⊥AB），则油面宽度AB为 8 m．
【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．
【解答】解：连接OA，
由题意得，OA＝5m，OD＝3m，
∵CD⊥AB，
∴AD＝＝4m，
∴AB＝2AD＝8m，
故答案为：8．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝ab+a+b，例如2⊗3＝2×3+2+3＝11．若y关于x的函数y＝x⊗（﹣x+k）的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 0或﹣4 ．
【分析】先根据新定义把函数转化为常规形式，进而分k＝0和k≠0时，一次函数和二次函数与x轴的交点情况求出k的值．
【解答】解：根据新定义得，
y＝x⊗（﹣x+k）＝x（﹣x+k）+x+（﹣x+k）＝﹣x2+kx+k，
即y＝﹣x2+kx+k，
当y关于x的函数y＝x⊗（﹣x+k）的图象与x轴仅有一个公共点，则：
Δ＝k2+4k＝0，
解得k＝0或﹣4，
故答案为：0或﹣4．
【点评】本题考查了新定义，一次函数图象与x轴的交点问题，二次函数图象与x轴的交点问题，难点是分两种情况研究，往往容易漏掉k＝0的情形．
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增：组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点Pn，则点P1的坐标为 （1，） ，点Pn的纵坐标为 （n，） ．（n为正整数）
【分析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，
如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
故答案为：（1，），（n，）．
【点评】本题考查了点的坐标，根据题意得出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）
17．解下列方程或不等式：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）先去括号，再移项得到3x﹣6x＜4+5，然后合并后把x的系数化为1即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
（2）3x﹣5＜2（2+3x），
去括号得3x﹣5＜4+6x，
移项得3x﹣6x＜4+5，
合并得﹣3x＜9，
系数化为1得x＞﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解一元一次不等式．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象经过点（2，﹣3）．求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）函数图象的顶点坐标．
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可；
（2）将解析式转化为顶点式，直接写出顶点坐标；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝22﹣2×2+m，
解得m＝﹣3．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圆的半径为 ．
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1．
（3）连结CC1，求四边形CBA1C1的面积．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出BC，然后直角三角形的内切圆的半径＝（a、b为直角边，c为斜边）求解；
（2）利用旋转变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可；
（3）把四边形的面积看成矩形的面积减去两个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝，
所以△ABC的内切圆的半径＝＝；
故答案为；
（2）如图，△A1BC1为所作；
（3）四边形CBA1C1的面积＝3×5﹣×2×3﹣×1×5＝9.5．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；记住直角三角形的内切圆的半径＝（a、b为直角边，c为斜边）．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
【分析】（1）由圆周角定理的推论即可计算；
（2）由垂径定理，圆周角定理的推论，即可证明．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝104°，
∴＝52°，
∴∠BAD＝×52°＝26°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理的讨论，关键是掌握：垂直于弦的直径平分弦对的两条弧；同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧度数的一半．
21．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 20人 ；
（2）条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整；
（3）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数分别乘“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，然后求出C等级的女生和D等级的男生，最后补全统计图即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数为：3÷15%＝20（人），
故答案为：20；
（2）1﹣50%﹣25%﹣15%＝10%，
20×10%＝2（人），
D等级的男生人数有：2﹣1＝1（人），
C等级的人数有：20×25%＝5（人），
C等级的女生人数有：5﹣2＝3（人），
补全统计图如下：
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是相同性别）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率的求解公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
22．如图所示，在一块正方形木板ABCD上要贴两种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸．A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、80元．
（1）如果木板边长为2m，FC＝1m，则贴这块木板用墙纸的费用为多少元？
（2）如果木板的边长为1m，设正方形EFCG的边长为xm时，墙纸费用为y元，求y关于x的函数表达式，并求出当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最少，最少的费用为多少？
【分析】（1）根据条件可以分别求出正方形EFCG和三角形ABE的面积，根据各种墙纸的单价就可以求出需要的总费用．
（2）用x表示出正方形EFCG和三角形ABE的面积，利用两种墙纸不同的单价乘以面积就可以表示出总费用y，最后利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2m，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF＝CF＝1，
∴S正方形EFCG＝1，BF＝1，
∴S△ABE＝＝1，
∴这块木板用墙纸的费用为：60×1+1×80＝140（元）．
∴贴这块木板用墙纸的费用为140元．
（2）∵木板边长为1米，正方形EFCG的边长为x米，
∴BF＝1﹣x，S正方形EFCG＝x2，S△ABE＝（1﹣x），
∴y＝60x2+80×（1﹣x）
＝60x2﹣40x+40
＝60（x﹣）2+，
∵60＞0，
∴当x＝时，y的最大值为．
综上，y关于x的函数表达式为：y＝60x2﹣40x+40，当正方形EFCG的边长为时，墙纸费用最少，最少的费用为元．
【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，二次函数的性质等知识，关键是求出y与x的函数关系式．
23．如图为衢州西安门大桥，它是老城与新城的主要通道，它见证了衢城半个世纪的历史变迁，已知桥拱为抛物线型，AD，BE是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在DE处，桥最高点C离水面6m，在水面以上的桥墩AD为2m．以AB所在的直线为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，试回答下列问题：
（1）求此桥拱线所在抛物线的表达式．
（2）当水位上涨2m时，若有一艘在水面以上部分高3m，宽4m的船，请问此船能否通过桥洞呢？请说明理由．
（3）当桥的最高点C离水面不小于2m时，都是安全的水位，水位警报器不会发出警报．当水面的宽度为多少时，警报器恰好发出警报？
【分析】（1）根据题意用待定系数法求函数解析式；
（2）当水位上涨2m时，水面为AB，把x＝2代入解析式求出y与3比较即可；
（3）把y＝2代入解析式，解方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝20，即A（﹣10，0），B（10，0），C（0，4），
设抛物线解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣10，0）代入解析式得，100a+4＝0，
解得a＝﹣，
∴此桥拱线所在抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；
（2）船能通过桥洞，理由：
当水位上涨2m时，水面为AB，
当x＝2时，y＝﹣×20+4＝＞3，
∴船能通过桥洞；
（3）当y＝2时，﹣x2+4＝2，
解得x＝±5，
此时水面宽为10米，
答：当水面的宽度为10米时，警报器恰好发出警报．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
24．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ 180° .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
【分析】（1）由题意得出DC＝CB，∠DAC＝∠CAB，从而证明结论；
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．证明△ABC≌△DGF（SAS），由全等三角形的性质得出∠B＝∠DGF，BC＝GF．证出∠B+∠E＝180°，则可得出结论；
（3）分两种情况：①当BC＝CD时，求出AD＝AC＝4；②当AB＝CD时，过点D作DE⊥AC于点E，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
（3）分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+x，
∴x＝
∴AE＝DE＝×＝
∴AD＝AE＝×＝
综上可知AD的值为4或．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．
浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千
2．下列说法正确的是（ ）
A．“翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B．“太阳从西方升起”是必然事件
C．“明天会下雨”描述的事件是随机事件
D．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
3．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
4．把二次函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2+3
5．不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠OBA的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则圆心O到BC的距离OM为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
8．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（AB）占骨柄（AO）的，骨柄长为30cm，折扇张开的角度为120°．则扇面（阴影部分）的面积是（ ）
A．46π B．160π C．252π D．300π
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
10．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝2x2的图象开口方向是 ．
12．已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 ．
13．某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 件是合格的．
14．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为10m，油的最大深度CD＝8m（CD⊥AB），则油面宽度AB为 m．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝ab+a+b，例如2⊗3＝2×3+2+3＝11．若y关于x的函数y＝x⊗（﹣x+k）的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增：组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点Pn，则点P1的坐标为 ，点Pn的纵坐标为 ．（n为正整数）
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）
17．解下列方程或不等式：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象经过点（2，﹣3）．求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）函数图象的顶点坐标．
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圆的半径为 ．
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1．
（3）连结CC1，求四边形CBA1C1的面积．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
21．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 ；
（2）条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整；
（3）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
22．如图所示，在一块正方形木板ABCD上要贴两种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸．A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、80元．
（1）如果木板边长为2m，FC＝1m，则贴这块木板用墙纸的费用为多少元？
（2）如果木板的边长为1m，设正方形EFCG的边长为xm时，墙纸费用为y元，求y关于x的函数表达式，并求出当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最少，最少的费用为多少？
23．如图为衢州西安门大桥，它是老城与新城的主要通道，它见证了衢城半个世纪的历史变迁，已知桥拱为抛物线型，AD，BE是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在DE处，桥最高点C离水面6m，在水面以上的桥墩AD为2m．以AB所在的直线为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，试回答下列问题：
（1）求此桥拱线所在抛物线的表达式．
（2）当水位上涨2m时，若有一艘在水面以上部分高3m，宽4m的船，请问此船能否通过桥洞呢？请说明理由．
（3）当桥的最高点C离水面不小于2m时，都是安全的水位，水位警报器不会发出警报．当水面的宽度为多少时，警报器恰好发出警报？
24．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千
【分析】在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、不是旋转，是平移，故本选项不符合题意；
B、不是旋转，是平移，故本不符合题意；
C、不是旋转，是平移，故本选项不合题意；
D、属于旋转，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的判断方法，判断是否属于旋转，要看是否有旋转中心，旋转角，旋转方向且变化前后图形大小是否发生变化．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B．“太阳从西方升起”是必然事件
C．“明天会下雨”描述的事件是随机事件
D．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
【分析】根据概率的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：A、、“翻开九年数学书，恰好是第35页”是随机事件，故本选项不符合题意；
B、“太阳从西方升起”是不可能事件，故本选项不符合题意；
C“明天会下雨”是随机事件，故本选项正确，符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
3．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【分析】根据弧长的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由弧长公式可知，
l＝＝4π，
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的关键．
4．把二次函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2+3
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：A．
【点评】考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个绿球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠OBA的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
【分析】先根据圆周角定理得到∠AOB＝70°，然后根据等腰三角形的性质和和三角形内角和计算∠OBA的度数．
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝×（180°﹣70°）＝55°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则圆心O到BC的距离OM为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝4×＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
8．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（AB）占骨柄（AO）的，骨柄长为30cm，折扇张开的角度为120°．则扇面（阴影部分）的面积是（ ）
A．46π B．160π C．252π D．300π
【分析】折扇扇面的面积等于两个扇形的面积之差，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
OA＝30cm，AB＝OA＝×30＝18（cm），
∴OB＝OA﹣AB＝30﹣18＝12（cm），
∴扇面（阴影部分）的面积是：
﹣＝300π﹣48π＝252π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
10．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC＝5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
如图，即BP′⊥AC，BP′＝3，
∴由勾股定理可知：PC＝4，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为5，
∴AB＝BC＝5，
∴P′A＝P′C＝4，
∴AC＝8，
∴△ABC的面积为：AC•BP′＝×8×3＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝2x2的图象开口方向是 向上 ．
【分析】根据二次函数二次项的系数的符号确定开口方向即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的二次项的系数决定了开口的方向，难度较小．
12．已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 点A在⊙O外 ．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A在⊙O外．
故答案为：点A在⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
13．某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 1080 件是合格的．
【分析】根据频数＝总数×频率，即可得出答案．
【解答】解：∵1200×0.9＝1080（件），
∴1200件衬衣中有1080件是合格的．
故答案为：1080．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为10m，油的最大深度CD＝8m（CD⊥AB），则油面宽度AB为 8 m．
【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．
【解答】解：连接OA，
由题意得，OA＝5m，OD＝3m，
∵CD⊥AB，
∴AD＝＝4m，
∴AB＝2AD＝8m，
故答案为：8．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝ab+a+b，例如2⊗3＝2×3+2+3＝11．若y关于x的函数y＝x⊗（﹣x+k）的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 0或﹣4 ．
【分析】先根据新定义把函数转化为常规形式，进而分k＝0和k≠0时，一次函数和二次函数与x轴的交点情况求出k的值．
【解答】解：根据新定义得，
y＝x⊗（﹣x+k）＝x（﹣x+k）+x+（﹣x+k）＝﹣x2+kx+k，
即y＝﹣x2+kx+k，
当y关于x的函数y＝x⊗（﹣x+k）的图象与x轴仅有一个公共点，则：
Δ＝k2+4k＝0，
解得k＝0或﹣4，
故答案为：0或﹣4．
【点评】本题考查了新定义，一次函数图象与x轴的交点问题，二次函数图象与x轴的交点问题，难点是分两种情况研究，往往容易漏掉k＝0的情形．
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增：组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点Pn，则点P1的坐标为 （1，） ，点Pn的纵坐标为 （n，） ．（n为正整数）
【分析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，
如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
故答案为：（1，），（n，）．
【点评】本题考查了点的坐标，根据题意得出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）
17．解下列方程或不等式：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）先去括号，再移项得到3x﹣6x＜4+5，然后合并后把x的系数化为1即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
（2）3x﹣5＜2（2+3x），
去括号得3x﹣5＜4+6x，
移项得3x﹣6x＜4+5，
合并得﹣3x＜9，
系数化为1得x＞﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解一元一次不等式．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象经过点（2，﹣3）．求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）函数图象的顶点坐标．
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可；
（2）将解析式转化为顶点式，直接写出顶点坐标；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝22﹣2×2+m，
解得m＝﹣3．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圆的半径为 ．
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1．
（3）连结CC1，求四边形CBA1C1的面积．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出BC，然后直角三角形的内切圆的半径＝（a、b为直角边，c为斜边）求解；
（2）利用旋转变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可；
（3）把四边形的面积看成矩形的面积减去两个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝，
所以△ABC的内切圆的半径＝＝；
故答案为；
（2）如图，△A1BC1为所作；
（3）四边形CBA1C1的面积＝3×5﹣×2×3﹣×1×5＝9.5．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；记住直角三角形的内切圆的半径＝（a、b为直角边，c为斜边）．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
（1）若＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．
【分析】（1）由圆周角定理的推论即可计算；
（2）由垂径定理，圆周角定理的推论，即可证明．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝104°，
∴＝52°，
∴∠BAD＝×52°＝26°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理的讨论，关键是掌握：垂直于弦的直径平分弦对的两条弧；同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧度数的一半．
21．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 20人 ；
（2）条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整；
（3）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数分别乘“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，然后求出C等级的女生和D等级的男生，最后补全统计图即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数为：3÷15%＝20（人），
故答案为：20；
（2）1﹣50%﹣25%﹣15%＝10%，
20×10%＝2（人），
D等级的男生人数有：2﹣1＝1（人），
C等级的人数有：20×25%＝5（人），
C等级的女生人数有：5﹣2＝3（人），
补全统计图如下：
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是相同性别）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率的求解公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
22．如图所示，在一块正方形木板ABCD上要贴两种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸．A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、80元．
（1）如果木板边长为2m，FC＝1m，则贴这块木板用墙纸的费用为多少元？
（2）如果木板的边长为1m，设正方形EFCG的边长为xm时，墙纸费用为y元，求y关于x的函数表达式，并求出当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最少，最少的费用为多少？
【分析】（1）根据条件可以分别求出正方形EFCG和三角形ABE的面积，根据各种墙纸的单价就可以求出需要的总费用．
（2）用x表示出正方形EFCG和三角形ABE的面积，利用两种墙纸不同的单价乘以面积就可以表示出总费用y，最后利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2m，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF＝CF＝1，
∴S正方形EFCG＝1，BF＝1，
∴S△ABE＝＝1，
∴这块木板用墙纸的费用为：60×1+1×80＝140（元）．
∴贴这块木板用墙纸的费用为140元．
（2）∵木板边长为1米，正方形EFCG的边长为x米，
∴BF＝1﹣x，S正方形EFCG＝x2，S△ABE＝（1﹣x），
∴y＝60x2+80×（1﹣x）
＝60x2﹣40x+40
＝60（x﹣）2+，
∵60＞0，
∴当x＝时，y的最大值为．
综上，y关于x的函数表达式为：y＝60x2﹣40x+40，当正方形EFCG的边长为时，墙纸费用最少，最少的费用为元．
【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，二次函数的性质等知识，关键是求出y与x的函数关系式．
23．如图为衢州西安门大桥，它是老城与新城的主要通道，它见证了衢城半个世纪的历史变迁，已知桥拱为抛物线型，AD，BE是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在DE处，桥最高点C离水面6m，在水面以上的桥墩AD为2m．以AB所在的直线为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，试回答下列问题：
（1）求此桥拱线所在抛物线的表达式．
（2）当水位上涨2m时，若有一艘在水面以上部分高3m，宽4m的船，请问此船能否通过桥洞呢？请说明理由．
（3）当桥的最高点C离水面不小于2m时，都是安全的水位，水位警报器不会发出警报．当水面的宽度为多少时，警报器恰好发出警报？
【分析】（1）根据题意用待定系数法求函数解析式；
（2）当水位上涨2m时，水面为AB，把x＝2代入解析式求出y与3比较即可；
（3）把y＝2代入解析式，解方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝20，即A（﹣10，0），B（10，0），C（0，4），
设抛物线解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣10，0）代入解析式得，100a+4＝0，
解得a＝﹣，
∴此桥拱线所在抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；
（2）船能通过桥洞，理由：
当水位上涨2m时，水面为AB，
当x＝2时，y＝﹣×20+4＝＞3，
∴船能通过桥洞；
（3）当y＝2时，﹣x2+4＝2，
解得x＝±5，
此时水面宽为10米，
答：当水面的宽度为10米时，警报器恰好发出警报．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
24．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ 180° .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
【分析】（1）由题意得出DC＝CB，∠DAC＝∠CAB，从而证明结论；
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．证明△ABC≌△DGF（SAS），由全等三角形的性质得出∠B＝∠DGF，BC＝GF．证出∠B+∠E＝180°，则可得出结论；
（3）分两种情况：①当BC＝CD时，求出AD＝AC＝4；②当AB＝CD时，过点D作DE⊥AC于点E，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
（3）分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+x，
∴x＝
∴AE＝DE＝×＝
∴AD＝AE＝×＝
综上可知AD的值为4或．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．
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