2023重庆市一中校高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023重庆市一中校高二上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名，考试结束后，将答题卡交回，联立，解得，所以，等内容，欢迎下载使用。
秘密★启用前    2022~2023学年重庆一中上期学情调研高二数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ ）A．380 B．39 C．35 D．232．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．3．若圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+1＝0，则该圆的圆心和半径r分别为（    ）A．（1，﹣2）；r＝2 B．（1，-2）；r＝4C．（-1，2）；r＝2 D．（-1，2）；r＝44．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（    ）A． B． C． D．5．设等差数列的前项和为，若，则=（    ）A．21 B．15 C．13 D．116．已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于点A，B，若AB中点为，且直线AB的倾斜角为，则椭圆方程为　　A． B． C． D．7．等差数列中，若，则（    ）A．42 B．45 C．48 D．518．如图,已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能的是（    ）A． B．C． D．10．已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（    ）A． B． C． D．11．设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．12．已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为25 B．C． D．若，，则三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知直线与垂直，则m的值为______．14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________．15．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则_________．16．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，圆与圆 (点在点的右侧)与轴分别相切于，两点，另两圆外切且与直线分别相切于，两点，若.（1）求圆与圆的标准方程；（2）过B作直线EF的垂线L，求直线L被圆E截得的弦的长度.18．（本小题满分12分）已知数列中，，，，.（1）求的通项公式；（2）设，，求证：.19．（本小题满分12分）已知向量，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中是坐标原点，是参数.（1）求动点的轨迹方程，并判断曲线类型；（2）如果动点的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足，求的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且，点分别在侧棱上，且（I）求证：平面；（II）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值21．（本小题满分12分）已知点及圆.(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，．(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l交椭圆于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使，记四边形的面积为，求的最大值．
参考答案1．A因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.2．A椭圆的离心率，即，，所以双曲线的渐近线为．故选A．考点：椭圆与双曲线的几何性质．3．A将圆的方程化为标准形式:,则该圆的圆心为,半径为2,故选:A.4．D建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位下降1米后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为米.故选：D.5．A因为数列是等差数列，所以成等差数列，所以，因为，所以，解得，故选：A6．C∵，∴c＝，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，∴，，∴a2＝，b2＝.故选C7．C依题意是等差数列，，.故选：C8．C因为，，所以，设，则，又因为，所以，双曲线的渐近线方程为，，取PQ的中点M，则，由勾股定理可得，即 ①，在中，，所以②，联立①②：，即，，结合可得.故选：B.9．AC直线与x轴交于点，而圆的圆心为，因此，直线过圆的圆心，排除选项D；当时，圆心在x轴负半轴上，选项A满足；当时，圆心在x轴正半轴上，选项C满足.故选：AC10．AB由题意有，由可得，故，解得，而，∴.故选：AB11．CD等差数列的前项和为，由得：，由得，，因此，等差数列的公差，即数列是递增等差数列，则有，，所以选项A，B都不正确；选项C，D都正确.故选：CD12．BC设的内切圆的半径为，则，故B正确；设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；故选：BC13．0或-914．设高一、高二、高三人数分别为，则且，解得：，用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人．故答案为：.15．40∵，则∴抛物线方程为把A(t，1)代入抛物线方程得：且，则∵,则直线AF的斜率∴直线AF的方程：即联立方程，解得或即，则O到直线的距离∴故答案为：40．16．∵点(1，)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x＝1，且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1，设点P(1，)，连接OP，则OP⊥AB，∵kOP＝，∴kAB＝－2．又直线AB过点(1,0)，∴直线AB的方程为2x＋y－2＝0，∵点(0，b)在直线AB上，∴b＝2，又c＝1，∴a2＝5，故椭圆方程是＋＝1． 17．（1），；（2）.（2）先由题意，联立直线与圆的方程求出，以及直线L的方程，根据几何法，即可求出圆的弦长.（1）因为点，圆与轴分别相切于，所以，即圆的半径为，所以圆；因为圆与圆(点在点的右侧)与轴分别相切于，两点，与直线分别相切于，两点，且两圆外切，所以、、三点共线，设圆的半径为，则有，即，解得，即，则又在直线上，所以，即，因此，圆；(2).联立，解得，所以，又；所以过点且与垂直的直线L为: ，即，因为点E到直线L的距离所以直线L被圆截得弦长.18．（1）；（2）证明见解析.（1）因为，，，，所以，，所以，，.（2），故得证19．（1）令，则，∴，代入，得，即为动点的轨迹方程.当时，表示直线；当时，表示圆；当时，表示双曲线；当或时，表示椭圆.（2）由点的轨迹为椭圆，1°时，，所以.2°时，.结合，所以，综上所述：.20．（I）底面，底面    四边形为正方形        平面平面    ，    平面，    平面（II）以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则有，，，，，设，则，又    ，则，又    ，即又平面，平面        平面为平面的一个法向量又平面    为平面的一个法向量平面与平面所成锐二面角的余弦值为：21．(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即.当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．即直线的方程为或.(2)由于，而弦心距，所以.所以恰为的中点．故以为直径的圆的方程为.(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.由于直线交圆于两点，故，即，解得.则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心 必在上．所以的斜率，而，所以.由于 ，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.22．（1），∴，，，又，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2），∴，椭圆， 令，直线l的方程为：，联立方程组： ，消去y得，由韦达定理得，，有 ，因为：，所以， ，将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，而此时： .令，所以直线 ，令得 ，由韦达定理化简得， ，而， O点到直线l的距离， 所以：， ，，因为点P在椭圆内部，所以 ，得，即令 ，求导得 ，当 ，即时，，单调递增； 当 ，即时，，单调递减.所以： ，即 .