【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值（含答案）（难）

这是一份【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值（含答案）（难），共10页。试卷主要包含了直接代入，变形代入，计算的值为，有下列三个命题，化简等内容，欢迎下载使用。
二次根式的化简与求值 阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.  数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若（其中x, y, n都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？ 例题与求解【例1】　当时，代数式的值是（　　）     A、0　　　　B、－1　　　　C、1　　　　D、（绍兴市竞赛试题）  【例2】　化简（1）（黄冈市中考试题）    （2）（五城市联赛试题）    （3）（北京市竞赛试题）      （4）（陕西省竞赛试题）       解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.  【例3】　比大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）       解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设想一想：设求的值.  （“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.   【例4】　设实数x，y满足，求x＋y的值. （“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.        【例5】　（1）代数式的最小值. 　　　   （2）求代数式的最小值. （“希望杯”邀请赛试题）        解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决. 方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. 【例6】　设，求的值. 解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.      能力训练A级1. 化简：（“希望杯”邀请赛试题）       2. 若，则＝_____(北京市竞赛试题)       计算：                                                           （“希望杯”邀请赛试题）       4. 若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）5. 如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（　　　）  A.    x≤1         B.  x≥2         C.  1≤x≤2         D.  x＞0      6、计算的值为（　　）A．1　　      　B.          C.             D.  5（全国初中数学联赛试题）   7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（　　）A．1999　　　B.  2000　　　C.  2001　　D. 　不能确定（全国初中数学联赛试题）  8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；其中正确命题的个数是（　　）A. 0个　　     　B. 1个　　    　C. 2个　　   　D. 3个（全国初中数学联赛试题） 9、化简：（1）　　                （2）     （3）         （4）　　（天津市竞赛试题）         （5）　　　（“希望杯”邀请赛试题）        10、设，求代数式的值. （“希望杯”邀请赛试题）        11、已知，求x的值.          12、设（n为自然数），当n为何值，代数式的   值为1985？       　　B　级1. 已知.    (四川省竞赛试题)2. 已知实数x，y满足，则＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知.                            （重庆市竞赛试题）4. 那么＝＿＿＿＿＿.                  （全国初中数学联赛试题）5. 　a，b为有理数，且满足等式则a＋b＝（　　）A. 2　　　     B. 　4　　    　C. 　6　　    　D. 　8(全国初中数学联赛试题)6．　已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）　　B.  b＜a＜c　C.  c＜b＜c   D.  c＜a＜b(全国初中数学联赛试题)7. 　已知，则的值是（　　）A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 　不能确定8. 　若[a]表示实数a的整数部分，则等于（　　）A. 1　　　      B. 2　　    　C. 3　　　  　D. 　4（陕西省竞赛试题）9．　把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（　　）A. 　　　B. 　　C.  　　D. （武汉市调考题）10、化简：（1）　                           （“希望杯”邀请赛试题）（2）          （新加坡中学生竞赛试题）（3）　　                                      （山东省竞赛试题）（4）　　                                 （太原市竞赛试题）     11、设　求证. （“五羊杯”竞赛试题）     12、求的最大值.      13、已知a, b, c为正整数，且为有理数，证明：为整数.          二次根式的化简与求值例1   A  提示：由条件得4x2－4x－2 001＝0．  例2  (1)原式＝·＝2(2)原式＝＝2－5．(3)原式＝＝＝；（4）原式＝＝．例3   x＋y＝2，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝42，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵0＜＜1，从而0＜＜1，故10 581＜＜10 582．　例4 　x＋＝＝－y…①；同理，y＋＝＝－x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．  例5  (1)构造如图所示图形，PA＝，PB＝．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B＝＝13为所求代数式的最小值．  (2)设y＝＋，设A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝＝2．    例6   m＝＋＝＋．∵1≤a≤2，∴0≤≤1，∴－1≤－1≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级  1．1   2． 3．0  提示：令＝a，＝b，＝c．  4． (17，833)，(68，612)，( 153，420)  5．B  6．C  7．B  8．A  9．(1) (2)原式＝＝＝．(3)  (4) (5) 10．48提示：由已知得x2 ＋5x＝2，原式＝(x2＋ 5x＋4)(x2＋5x＋6)．  11．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝．    12．n＝2  提示：xy＝1，x＋y＝4n＋2．B级 1． 64  2．1　提示：仿例4，由条件得x＝y，∴(x－)2＝2 008，∴x2－2008－x＝0，∴(－x)＝0，解得x2＝2 008．∴原式＝x2－2 007＝1．  3．   4．1　提示：∵(－1)a＝2－1，即＝－1． 5．B　提示：由条件得a＋b＝3＋，∴a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．  6．B　提示：a－b＝－1－＞－1－＝0．同理c－a＞0   7．B   8．B   9．D　提示：注意隐含条件a－1＜0．   10．(1)1 998  999. 5  提示：设k＝2 000，原式＝．  (2)  提示：考虑一般情形＝－   (3)原式＝＝＝．(4)2－  11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CP＝，AP＝，AC＝，AM＝，∴AC≤PC＋PA＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋  12．设y＝－＝－，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝．  13．＝＝为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．