【中考冲刺】初三数学培优专题 06 转化与化归--特殊方程、方程组（含答案）（难）

这是一份【中考冲刺】初三数学培优专题 06 转化与化归--特殊方程、方程组（含答案）（难），共9页。试卷主要包含了因式分解；，换元；，平方；，巧取倒数；，整体叠加等内容，欢迎下载使用。
转化与化归----特殊方程、方程组 阅读与思考    特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组. 降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、换元；3、平方；4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.     转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”. 例题与求解【例1】已知方程组的两组解是与，则的值是_______（北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.     【例2】方程组的正整数解的组数是（   ）   A．1组        B．2组         C．3组           D．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．     【例3】 解下列方程:（1） ；                            （“祖冲之杯”邀请赛试题）（2） ；                               （河南省竞赛试题）（3） ；                                （山东省竞赛试题）（4）              （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.   【例4】 解下列方程组:（1）                                    （山东省竞赛试题）                                   （2）                                      （西安市竞赛试题） （3）                                   （全苏数学奥林匹克试题）解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.          【例5】 若关于的方程只有一个解（相等的解也算一个）. 试求的值与方程的解.  （江苏省竞赛试题）     【例6】 方程的正整数解有多少对？ （江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.            能力训练A级 1．方程的实数根是_____________. 2．，这个方程的解为=_________________. 3．实数满足则的值为_______________. （上海市竞赛题）4． 设方程组有实数解，则（武汉市选拔赛试题）5．使得成立的的值得个数为（    ）      A．4个        B．3个         C．2个         D．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组有实数根，那么它有（    ）      A．一组解     B．二组解      C．三组解         D．无数组解 （“祖冲之杯”邀请赛试题）7．设，且，则代数式的值为（  ）     A．5          B．7            C．9              D．118．已知实数满足，则的值为（   ）     A．6           B．17          C．1              D．6或179．已知关于的方程组有整数解，求满足条件的质数. （四川省竞赛试题）          10．已知方程组的两个解为且是两个不等的正数. （1）求的取值范围；（2）若，试求的值.                                                             （南通市中考试题）     11．已知是方程的两个实根，解方程组 （“祖冲之杯”邀请赛试题）     12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为，且满足关系式试求这个一元二次方程. （杭州市中考试题）          B级1．方程组的解是___________________. 2．已知，则的值为______________. （全国初中数学联赛试题）3．已知实数是方程组的解，则    （全国初中数学联赛试题） 4．方程组的解是_________________.                  （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组有唯一解，则的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）6．正数同时满足，，，，，.  则的值为________. （上海市竞赛试题）7．方程的所有根的积是（ ）    A．3        B．-3       C．4       D．-6       E．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设为实数，且满足则（     ）     A．1        B．-1         C．2           D．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知则的值为（     ）     A．1       B．        C．2          D．10．对于实数，只有一个实数值满足等式，试求所有这样的实数的和. （江苏省竞赛试题）     11．解方程，其中，并就正数的取值，讨论此方程解的情况. （陕西省竞赛试题）      12．已知三数满足方程组试求方程的根. （全国初中数学联赛试题）       13．解下列方程（组）：（1）；（武汉市竞赛试题）     （2）；（湖北省竞赛试题）     （3）（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）        转化与化归——特殊方程、方程组例1   例2  B  提示：由（x+y）z=23。例3  （1），，   提示：=，令=y. （2）设=y，则原方程可化为，解得（3）设1999-x=a，x-1998=6，∴a+b=1，则原方程为：，得ab=0，即（1999-x）（x-1998）=0，解得，. （4）设=a，=b，∴=a+b，原方程可化为：，得ab=0，∴=0，解得  例4  （1）（2）  提示：原方程可化为  （3）方程两式相减得=0，而，∴x-y=0代入原方程得，可求得解为   例5 原方程化为，当k=0时，原方程有唯一解；当k≠0时，△=. 总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，葱原方程知增根只能是0，1，显然0不是方程的根，故x=1，k=.   例6 解法一：把原方程变形为（x-1）y=，因x=1不满足方程，即x≠1，故y==2x-1+，由于2005=1×2005=5×401，即2005有正因数1，5，401，2005，∴分别取x-1=1，5，401，2005时，x与y均为正整数，即共有4对正整数解. 解法二:把方程看成关于x的一元二次方程. 由方程有整数解,其判别式为完全平方数,据此可得一下解法: △=(a为非负整数)，化简得，即，∴①. ∵（y-1-a）与（y-1+a）奇偶性相同，且其积为偶数，故（y-1-a）与（y-1+a）同为偶数. 由于y-1-a≤y-1+a，据①，只可能有（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）将方程（Ⅰ）～（Ⅳ）中的两个方程相加，分别得到的y值为4012，2008，808，412. 由此可得相应的x值，故共有4对正整数解（x，y）. A级  1. 2或   2. 1，-4，2，    3. 9   4. 0   5. B  6. A  7. B  提示：a，b为方程的两个不相等实根.  8. B  9. 由及p为质数，知或或或当时，x=，y=，代入3xy+p（x-y）=得，解得p=3，或p=1（舍）. 其他情况经计算知没有符合条件的质数.    10. （1）  （2）a=-   11.    提示：原方程组化为      ，①+②得x+y=-1.    12. B级  1.   2.    提示:有条件得. 从而=7x+2，两边平方化简得，其正跟为x=.   3.    4. （x，y）=（1，9）   5. 1，-1   6. 1+  7. D    8. C    9. D    10. 原方程化为①，其中△=4-4×2（a+4）=-8a-28. 当方程①有两个相等的实根时，由△=0，得；当方程①有两个不相等实根时，且x=1是方程①的一个根，解得，，；当方程①有两个不相等的实根时，且x=-1是方程①的一个根，解得，. 故.    11. 由方程知，=a，当时，得a=2. 讨论：当a>2时，方程有一个根为x=；当a=2时，方程有无数多个解为；当a<2时，方程无解.    12. 显然a，b是方程+c2－8c＋48＝0的两根，由△≥0得c＝4，从而，解得a＝b＝4. 故原一元二次方程化为x2＋x－1＝0，解得x1＝，x2＝. 13. （1）原方程可变形为（x－3）2＋6x＋（）2＝25，即（x－3＋）2＝25，∴x－3＋＝5或x－3＋＝－5，解得x1＝－1＋，x2＝－1－. （2）原方程化为（6x＋7）2（6x＋8）（6x＋6）＝72. 设y＝6x＋7，解得x1＝－，x2＝－. （3）显然（x1，y1，z1）＝（0，0，0）符合条件. 若xyz≠0，原方程可化为，三式相加，得（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＝. 0，∴（x2，y2，z2）＝（，，）. 故（x，y，z）＝（0，0，0）（，，）.