【中考冲刺】初三数学培优专题 09 特殊与一般（含答案）（难）

这是一份【中考冲刺】初三数学培优专题 09 特殊与一般（含答案）（难），共14页。试卷主要包含了 2， 5时，y有最大值2402， 解得h＝ EQ \F,4)等内容，欢迎下载使用。
特殊与一般
——二次函数与二次方程
阅读与思考
二次函数的一般形式是，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于的二次三项式，若令y=0，则得
这是一个关于的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为：
1. 当时，方程有两个不相等实数根，抛物线与轴有两个不同的交点，设为
A(，0)，B(，0)，其中，是方程两相异实根，;
2. 当时，方程有两个相等实数根，抛物线与轴只有一个交点；
3. 当时，方程没有实数根，抛物线与轴没有交点．
由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．
例题与求解
【例1】（1）抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若是直角三角形，则= .
（全国初中数学联赛试题）
（2）为使方程 有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 .
解题思路：对于（1），为直角三角形，则A，B两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．






【例2】设一元二次方程的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．
解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．






【例3】如果抛物线与轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b，
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值，并写出此时抛物线的解析式；
（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得面积等于的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
（南京市中考试题）
解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．







【例4】 设p是实数，二次函数的图像与轴有2个不同的交点A，B．
（1）求证：；
（2）若A，B两点之间距离不超过，求p的最大值．
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据题意，方程有两个不同的实数根，，于是，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．











【例5】是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，应满足的条件，借助函数图象解题．









【例6】设，为正整数，且. 如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求，的值．
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：由，得，由条件得，因此不等式对任意实数都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．







能力训练
A级
1．已知二次函数的图象与轴有两个交点A，B，顶点为C，若△ABC的面积为，则= .
2．把抛物线向上平移个单位，所得抛物线与轴相交于点A(，0)和B(，0)，已知，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题）
3．抛物线的图象如图所示．
（1）判断及的符号：
0 ， 0； .
（2） 当时，满足的关系式为________________ .

4．已知二次函数的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则的取值范围为 . （黑龙江省中考试题）
5．若关于的方程的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（天津市竞赛试题）
6．设函数的图象如图所示，它与轴交于A，B两点，且线段OA与OB的长的比为1:4，则的值为（ ）
A. 8 B. -4 C. 11 D. -4 或11
7．已知二次函数与轴相交于两点A(，0)，B(，0)，其顶点坐标为P，AB=，若，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
（福州市中考试题）
8．设关于x的方程有两个不等的实数根，，且＜1＜，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（全国初中数学竞赛试题）

9．已知二次函数．
（1）求证：不论取任何实数，此函数的图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上；
（2）设这个函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点，若△ABC的面积为48，求的值． （徐州市中考试题）





10．已知抛物线交轴于A(，0)，B(，0)，交轴于C点，且＜0＜，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．
（武汉市中考试题）




11．已知抛物线与x轴交于A(，0)，B(，0) (＜)两点，与y轴交于点C(0，b)，O为原点．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，求抛物线的解析式及A，B，C的坐标；
（3）在（2）情形下，点P，Q分别从A，O两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB，OC向B，C运动，连接PQ与BC交于M，设AP=，问：是否存在值，使以P，B，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求所有值；若不存在，请说明理由．
（黄冈市中考试题）



12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
（武汉市中考试题）









B级
1．已知抛物线与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则的取值范围为 ____________.
2．设抛物线的图象与x轴只有一个交点，则的值为 ____________.
（全国初中数学联赛试题）
3． 设是整数，且方程的两根都大于而小于，则= .
（全国初中数学联赛试题）
4．已知抛物线与x轴的正方向相交于A，B两点，顶点为C，△ABC为等腰直角三角形，则= .
5．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴负半轴于C点，∠ACB=90°，且，则△ABC的外接圆的面积为 .



6．已知抛物线，
（1）求证：无论k为何实数，抛物线经过x轴上的一定点；
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A(，0)，B(，0)，两点，且满足：＜，，. 问：过A，B，C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．
（武汉市中考试题）





7．已知抛物线上有一点位于x轴下方.
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A(，0)，B(，0)，其中＜；
（2）求证：＜＜;
（3）当点M为（1，-2）时，求整数，. （《学习报》公开赛试题）






8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？
（南宁市中考试题）


9．已知以x为自变量的二次函数，该二次函数图象与x轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程的一整数根，求的值．
（绍兴市竞赛试题）







10．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC周长最小？若存在，求点出C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
（深圳市中考试题）

















11．如图1，抛物线经过两点A（-3，0），B（-1，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线与轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使得△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（武汉市中考试题）






12．已知二次函数的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)
（1）如果a，b，c都是整数，且，求a，b，c的值；
（2）设二次函数的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，如果关于x的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积．
（全国初中数学联赛试题）







专题09特殊与一般
——二次函数与二次方程
例1（1）-1 提示：，即
(2)令当时，，∴
∴
①若直线过P点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=则②若直线与抛物线PQ部分相切，恰有三个交点，
∴整理得

则
例2（1）如图1，设∴
(2)如图2，则
（3）如图3，则
例3（1）m>-1 (2)(3)A(3,0),B(-1,0),C(0,3),M(1,4), 满足条件的P点存在,P点的坐标是:(1,4),(，一4).
例4提示:
(1)原式=
(2)两边平方，解得.
符合题意，故p的最大值为.
例5这样的k值不存在，理由如下:设
并作出如图所示的图象，则这个不等式组无解.
例6 由得
即由题意知，且上式对一切实数恒成立，故即得或
A级1. 2. 提示:设平移后的抛物线的解析式为3. （1）< > (2)ac-b+1=0 4. 0