【中考冲刺】初三数学培优专题 15 从全等到相似（含答案）（难）

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从全等到相似
阅读与思考
相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题． 通过寻找（或构造）相似三角形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方法之一．
全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不仅是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差． 证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡．
熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形．


例题与求解
【例1】如图，□ABCD中，直线PS分别交AB，CD的延长线于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有 对． （武汉市竞赛试题）
解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性．



【例2】 如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3． 如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解题思路：通过代数化，将P点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论．
要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论．

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F． 求证：． （吉林省中考试题）
解题思路：由于BP，PE，PF在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化．
证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型，解决它的常用方法是：① 找相似：三点定形法；② 作平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比；③ 变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换．

【例4】已知△ABC中，，CH是AB边上的高，且满足． 试探讨∠A与∠B的关系，并加以证明． （武汉市竞赛试题）
解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系． 解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：
① 一线段是两个三角形的公共边；② 另两条线段在同一直线上．
构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题． 你能提出新的问题吗？并加以证明．




【例5】如图1，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC． 在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，．
① 如图3，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
② 若△ABC的内心（∠A，∠B，∠C角平分线的交点）P是该三角形的自相似点，求该三角形三
个内角的度数． （南京市中考试题）
解题思路：本例设问形式多样，从概念的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自相似点”的概念，是解题的关键．

图1 图2 图3






【例6】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm． 点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动． 如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
（河北省中考试题）
解题思路：对于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明对应关系，探求质点运动的时间应注意分类讨论．



能力训练
A级
1． 如图，已知，，，，那么AD= ．

（第1题） （第2题） （第3题）
2． 如图，在△ABC中，，，点M在AB上且，点N在AC上． 如果连接MN，使得△AMN与原三角形相似，则AN= ．
3． 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，，E，F为两腰上的中点． 下面的四个结论：①；②△ADE∽△EDC；③；④． 其中结论正确的有 ．（填序号即可） （宜昌市中考试题）

4． 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，且． 阅读下段材料，然后回答后面问题．
如图，连接BD，∵，，∴EH∥BD，∴FG∥BD，FG∥EH．
（1）连接AC，则EF与GH是否一定平行，答： ．不一定

（2）当k值为 1
时，四边形EFGH为平行四边形．
（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足 AC⊥BD
条件时，EFGH为矩形；
（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足 AC⊥BD
条件时，EFGH为矩形．
（黄冈市中考试题）
5． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，下列条件：①；②；③；④，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
（山西省中考试题）

（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6． 如图，□ABCD中，E是BC上一点，，AE交BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
（重庆市中考试题）
7． 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，即为点B′，折痕为EF． 已知，，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度为（ ）
A．2 B． C．2或 D．不确定
（山东省中考试题）
8． 如图，在△ABC中，，，，延长BC至P，使得△PAB∽△PCA，则PC等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（重庆市竞赛试题）

9． 已知：正方形的边长为1．
（1）如图1，可以算出一个正方形的对角线长，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长；

图1
（2）根据图2，求证：△BCE∽△BED；
（3）由图3，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明：①；②；③．

图2 图3
（三明市中考试题）




10． 如图，在△ABC中，． 求证：．

（黄冈市竞赛试题）







11．（1）如图1，等边△ABC中，D为AB边上的动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；
（2）如图2，将（1）中的等边△ABC的形状改为以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC，请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论． （苏州市中考试题）

图1 图2






12． 如图，分别以锐角△ABC的边AB，BC，CA为斜边向外作等腰Rt△DAB，等腰Rt△EBC，等腰Rt△FAC． 求证：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．
（全国初中数学竞赛试题）







B级
1． 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I． 已知，则
． （“祖冲之杯”邀请赛试题）

（第1题） （第2题） （第3题）
2． 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，点P在高AB上滑动． 若△DAP∽△PBC，时， ． （重庆市竞赛试题）
3． 如图，四边形ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，且cm，cm，那么 ． （香港初中数学竞赛试题）
4． 如图，Rt△ABC中，，，DE⊥AB于E． 设，，则（ ）
A． B． C． D．
（重庆市竞赛试题）

（第4题） （第5题）
5． 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
A． B．
C． D．
（全国初中数学联赛试题）
6． 已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为，那么两底的比为（ ）
A． B． C． D．
（江苏省竞赛试题）
7． 如图，O是四边形ABCD对角线的交点，已知，，，，，求BC． （“祖冲之杯”邀请赛试题）

（第7题） （第8题）





8． 如图，△ABC中，角，AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC． 求证：． （沈阳市竞赛试题）




9． 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示．

（1）如图1，在△ABC中，，且，求证：；
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 本题第1问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，其中，关系式是否仍然成立？并证明你的结论．


10． 在△ABC中，，点D在线段BC上，，BE⊥DE于E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB=AC时（如图1），
① ；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．
（大连市中考试题）


11． 如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P．
（1）当点P是边AB的中点时，求证：；
（2）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请证明你的结论．
（北京市宣武区中考试题）

12． 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点． P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，EF交MN于点K． 求证：K是线段MN的中点． （江西省竞赛试题）


从全等到相似
例1 8
例2 C提示：分△PAD∽△PBC，△PAD∽△CBP两种情况讨论。
例3 提示：连接PC，则BP=CP，只要证明即可。
例4 （1）若垂足H在线段AB上，如图1，由，,得，即，
∴，又由，得，∴，由①②得，即，又∠B是△ABC和△CBH的公共角，∴△ABC∽△CHB，∠ACB=∠CHB=90º，∠A+∠B=90º
（2）若垂足H在BA的延长线上，如图2，作边CA关于CH的对称线段CA＇，由（1）的结论知∠A＇＋∠B=90º，而∠A＇=180º-∠A，代入上式得∠A-∠B=90º，综上所述（1）（2），有∠A+∠B=90º或∠A-∠B=90º。

例5 （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90º，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD，∴∠BCE=∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90º，∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点。
（2）①作图略。作法如下：（ⅰ）在∠ABC内，作∠CBD=∠A，（ⅱ）在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点。②连接PB，PC，∵P是△ABC的内心，∴，∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC，∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180º，∴∠A+2∠A+4∠A=180º，∴,∴三角形的三个内角的度数分别为。
例6 （1）AP=2t,DQ=t,QA=6-t，当AQ=AP时，即6-t=2t，解得t=2（秒）时，△QAP为等腰直角三角形。
（2）SQAPC=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36(cm2)，在P、Q两点移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．⑶①当时，△QAP∽△ABC，由，得t=1.2(秒)；②当时，△PAQ∽△ABC，由，得t=3(秒) ．
A级 1. 2.2或4.5 3.①②③④ 4.⑴不一定 ⑵1 ⑶垂直 ⑷相等 5.A 6.A 7.C 提示：由△B´FC∽△ABC得， 或由△FB´C∽△ABC得， 8.C 9. ⑴， ⑵略 ⑶②③正确，选取②证明或选取③证明． 10.提示：延长AC到D，使CD=BC，连结BD，证明△ABC∽△ADB． 11.提示：⑴由△ACE≌△BCD，得∠EAC=∠ACB，故AE∥BC． ⑵由△ACE∽△BCD，得∠EAC=∠B=∠ACB，故AE∥BC． 12.提示：⑴延长BD至点P，使DP=BD，连结AB，CP，由，又∠PBC=45°+∠ABC=∠ABE，得△ABE∽△PBC，有，．同理△ADF∽△APC，，故AE=DF．⑵由△ADF∽△APC，得∠ADF=∠APC，由△ABE∽△PBC，得∠BAE=∠CPB．于是∠DAE+∠ADF=45°+∠BAE +∠ADF=45°+∠CPB+∠APC=90°．故AE⊥DF．
B级 1. 2 提示：，，． 2. 或6 3. cm 4.A 5.D 6.D 7. 提示：作BB´⊥AC，CC´⊥AB，DD´⊥AC，垂足分别为B´、C´、D´，易证△BOB´∽△DOD´，有，又，又由Rt△BCC´∽Rt△ADD´，得． 8. 提示：BF=BD=AD，△ABF∽△EBA． 9. 提示：⑴略 ⑵ 如图所示，延长BA至D，得AD=AC，则∠CAB=∠D+∠1=2∠D ，又∠CAB=2∠B，∴∠D=∠1=∠B，∵∠1=∠B，∠D=∠D，∴△ADC∽△CDB，∴，即DC2=AD·DB，故a2=b(b+c)
A
B
C
D
a
a
c
b
1
第9题图


10.⑴①22.5° ②过D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，则△DEB≌△DEG，BE=GE=GB，又△GBH≌△FDH，得GB=FD，故BE=FD． ⑵如图，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，同理可证△DEB≌△DEG，BE=GB，∠BHD=∠GHB=90°，∠EBF=∠HDF，∴△GBH∽△FDH，∴，即．又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴，即．∴．
第10题图
A
B
D
C
E
G
H
F

11.⑴如图1，连结PC，折痕MN垂直于PC，AC=BC，AP=BP，∵MN∥AB，∴．⑵当点P不是边AB的中点时，仍然成立．如图2，连结PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于E，则PE∥BC，．∵∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，∴AE=PE．∵∠MCN=90°，∴CP⊥MN，∴∠ECP=∠MNC．∴△MCN∽△PEC，得．故，从而．
第11题图
C
M
N
A
B
P
图1
图2
C
M
N
A
B
P
E

12.在PF上取点G，使GF=FM，CG∥DM，又取CA的中点L，连结GC，GN，LE，LF，则LE，LF分别为△ABC，△ACD的中位线，有LF∥AD，LE∥CB，得∠GCN=∠FLE，．故△CNG∽△LEF，NG∥EF，于是FK为△MNG的中位线，故K是MN的中点．
A
F
D
E
B
C
P
M
N
G
L
第12题图
K




AC=BD