【中考冲刺】初三数学培优专题 18 圆的对称性（含答案）（难）

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圆的对称性
阅读与思考
圆是一个对称图形．
首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．
由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．
熟悉以下基本图形和以上基本结论．

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．

例题与求解
【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为和，则∠BAC度数为_______．
（黑龙江省中考试题）
解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系．
由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．





【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧，，．如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A
B
C
D
E
F

A．AB+CD=EF B．AB+CD>EF
C．AB+CDAC，D为的中点，DE⊥AB于E．求证：BD2-AD2=ABAC．
（天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．
A
B
C
D
E






圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．


【例5】在△ABC中，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是线段AC上的一个动点，⊙O是过P，M，C三点的圆，过P作PD∥AB交⊙O于点D．
⑴ 求证：M是AB的中点；
⑵ 求PD的长． （江苏省竞赛试题）
解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM，BM，CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．
A
P
C
D
B
M
O

【例6】已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．
A
B
C
O
图1
D
D
A
O
E
G
F
C
B
B
A
C
D
O
E
P
F
图2
图3

⑴ 如图1，求证：直径AD平分∠BAC；
⑵ 如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是的中点，G是的中点，⊙O的半径为1，求弦FG的长；
⑶ 如图3，在⑵中若弦BC经过半径OA的中点E，P为劣弧上一动点，连结PA，PB，PD，PF，求证：的定值．
（武汉市调考试题）
解题思路：对于⑶，先证明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，构建直角三角形；②构造PA+PF，PB+PD相关线段；③取的中点M，连结PM，联想常规命题；等等．
本例实质是借用了下列问题：
⑴如图1，PA+PB=PH； ⑵如图2，PA+PB=PH；
⑶进一步，如图3，若∠APB=α，PH平分∠APB，则PA+PB=2PHcos为定值．图1

A

600

300

300

P

H

B

P

A

B

H

600

图2

P

A

B

H

图3


能力训练
A级
1．圆的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为6cm和8cm，则梯形的面积为_______cm2．
2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm，高CD是5cm，原轮片的直径是________cm．
A

P

B

C

（第4题图）

3． 如图，已知CD为半圆的直径，AB⊥CD于B．设∠AOB=α，则tan=_________．
（黑龙江省中考试题）
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=，BC=1，若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径的圆交AB于P，则AP=___________. （江苏省宿迁市中考试题）
5．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA——BO的路径运动一周. 设OP长为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（ ）
t

s

O

A

t

s

O

B

t

s

O

C

t

s

O

D


（太原市中考试题）
6．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=10cm，CD=6cm，那么AC的长为（ ）
A．0. 5cm B．1cm C．1. 5cm D．2cm
（第8题图）
（第7题图）
A

B

O

C

D

A

E

C

D

F

B

A

B

C

D

F

E

P

（第6题图）

7．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B两点到直线CD的距离之和为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm




8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值． （黑龙江省竞赛试题）






9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．
⑴ 如果CD⊥AB，求证：EN=NM；
⑵ 如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；
⑶ 如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（重庆市中考试题）
A

B

C

D

O

E

F

M

（第9题图）

10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=（AB-AC）．
（河南省竞赛试题）
A

H

B

M

C

（第10题图）

11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的．
⑵如图2，若∠DOE保持角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．




12．如图，正方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的⊙O上，点J，M在线段BC上．若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长．
（上海市竞赛试题）
A

D

C

B

N

O

J

M

K

L

（第12题图）



B级
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过A，B两点作CD的垂线，垂足分别为E，F．若AB=10，AE=3，BF=5，则EC=__________．
O

A

E

C

D

F

B

A

B

C

D

E

A′

A

B

C

D

P

O

（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）

2．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE长为________． （宁波市中考试题）
3．如图，已知⊙O的半径为R，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，的度数为960，的度数为360．动点P在AB上，则CP+PD的最小值为__________．
（陕西省竞赛试题）

4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点，M是的中点，MN⊥AB于N，则有（ ）
A．MN=AC B．MN=AC C．MN=AC D．MN=AC
（武汉市选拔赛试题）
C

A

D

O

B

E

G

F

N

A

C

B

D

O

P

（第7题图）
（第6题图）

6．已知，AB为⊙O的直径，D为的中点，DE⊥AB于点E，且DE=3．求AC的长度．










7．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的⊙O；对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0. 6，求四边形ABCD的周长．
（全国初中数学联赛试题）












8．如图，已知点A，B，C，D顺次在⊙O上，，BM⊥AC于M．求证：AM=DC+CM．
（江苏省竞赛试题）
A

B

C

D

O

M

（第8题图）



9．如图，在直角坐体系中，点B，C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的圆与AB的延长线交于点D，，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程的两个根．
⑴ 求点D的坐标；
⑵ 若点P在直径AC上，且AP=AC，判断点(－2，10)是否在过D，P两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）
A

x

y

O

D

C

B

P

（第9题图）

10．⑴如图1，已知PA，PB为⊙O的弦，C是劣弧的中点，直线CD⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB．
⑵如图2，已知PA，PB为⊙O的弦，C是优弧的中点，直线CD⊥PA于点E，问：AE，PE与PB之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．
A

图1

C

P

B

D

E

O

A

图2

C

P

B

D

E

O








11．如图，已知弦CD垂直于⊙O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H．求证：弦DE平分弦BC于M． (全俄奥林匹克竞赛试题)
A

C

O

L

E

B

D

M

H

（第11题图）







12．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．
A

C

M

N

O

D

B

（第12题图）













专题18　圆的对称性
例1　15°或75°　提示：分AB、AC在圆心O同侧、异侧两种情况讨论．　
例2　B　
例3　(1)解法一：如图，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移，使其底边与DE重合，得等边△ODE．∵A、B、C的对应点是O、D、E，∴OD＝AB，OE＝AC，AO＝BD．∵等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，∴AB＝BD＝AC＝2，∴OD＝OA＝OE＝2．∵A、D、E三点确定一圆，O到A、D、E三点的距离相等．∴O点为圆心，OA为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC平移到△ODE位置，并作AF⊥BC，垂足为F，延长交DE于H．∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂直平分正方形边DE．又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．在Rt△ABF中，∵∠BAF＝30°，∴AF＝AB·cos30°＝2×＝，∴OH＝AF＋FH－OA＝＋2－r．在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴()2＋12＝r2，解得r＝2．
(2)⊙O的半径不变，因为AB＝AC＝BD＝2，此题求法和(1)一样，⊙O的半径为2．　
例4　提示：BD2－AD2＝(BE2＋ED2)－(AE2＋ED2)＝(BE＋AE)(BE－AE)＝AB(BE－AE)，只需要证明AC＝BE－AE即可．在BA上截取BF＝AC．连DF可证明△DBF≌△DCA，则DF＝AD，AE＝EF．　
例5　(1)由条件，得(AM－1)2＋(BM－1)2＋(CM－1)2＝0，∴AM＝BM＝CM＝1．因此，M是AB中点，且∠ACB＝90°．　(2)由(1)知，∠A＝∠PCM，又PD∥AB，∴∠A＝∠CPD，∠PCM＝∠CPD，因此，，于是有DP＝CM＝1．　
例6　(1)连结BD、CD，∵AD是直径，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．(2)连结OB、OC，则OA⊥BC，又AE＝OE，得AB＝BO＝OA＝OC，△AOB，△AOC都为等边三角形，连结OG，则∠GOF＝90°，FG＝．(3)取的中点M，过M作MS⊥PA于S，MT⊥PF于T，连AM，FM．∠BPM＝∠DPM＝30°，∠APM＝∠FPM＝60°，则MS＝MT，MA＝MF，Rt△ASM≌Rt△FTM，Rt△PMS≌Rt△PMF．∴PS＝PM．∴PA＋PF＝2PS＝2PT＝PM．同理可证：PB＋PD＝．∴为定值．
A　级　1．49或7　2. 85　3．1　4． 5．C　6．D　7．D　8．过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD，OA，则AE＝BE，CF＝DF，∵OE2＝AO2－AE2＝(4)，OF2＝OD2－FD2＝4CD2，∴OE2＋OF2＝(4)＋(4)＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4＋4＝1，故AB2＋CD2＝28．得x1＝－3(舍去)，x2＝，∴正方形JKLM的边长为.
B级1. 2－3 提示:作OM⊥CD于M，则EC＝(EF－CD). 2. 3. R 提示:设D'是D点关于直径AB对称的点，连结CD'交AB于P，则P点使CP＋PD最小，∠COD'＝120°，CP＋PD＝CP＋PD'＝CD'＝R.
4. D 提示：如图：，得，解得a＝，r＝
5. A提示:连结OM，则OM⊥AC.
6. 解法一:连结OD交AC于点F，∵D为的中点，∴AC⊥OD，AF＝CF. 又DE⊥AB，∴∠DEO＝∠AFO. ∴△ODE≌△OAF. ∴AF＝DE. ∵DE＝3∴AC＝6. 解法二:延长DE交⊙O于点G，易证＝2＝＋＝，则DG＝AC＝2DE＝6.
7. 连结BO并延长交AD于H，因AB＝BD，故BH⊥AD，又∠ADC＝90°，则BH∥CD，从而△OPB∽△CPD，得＝，即＝，解得CD＝1. 于是AD＝＝2，又OH＝CD＝，则AB＝＝＝，BC＝＝＝. ∴四边形ABCD的周长为1＋2＋＋.
8. 提示:延长DC至N，使CN＝CM，连结BN，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN.
9. ⑴AO＝8，BO＝6，AB＝BC＝10，AD＝CO＝16，DB＝AD－AB＝6，过D作DE⊥BC于E，由Rt△DEB∽Rt△AOB，得DE＝，BE＝，EO＝6＋＝. ∴D(－，). ⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D，P两点的直线为y＝－x－，点(2，－10)不在直线DP上.
10. ⑴在AE上截取AF＝BP，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CAF≌△CBP，CF＝CP. 又CD⊥PA，则PE＝FE，故AE＝PB＋PE. ⑵AE＝PE－PB，在PE上截取PF＝PB，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CPF≌△CPB，CF＝CB＝CA. 又CD⊥AP，则FE＝AE，故AE＝PE－PB.
11. 连结BD，∠CBA＝∠DBA，CB＝BD，由∠AOC＝∠CBD，∠A＝∠BDE，得△AOH∽△DBM，∴＝＝，即BM＝BC.
12. 延长AC至点E，使CE＝BC，连结MA，MB，ME，BE. ∵AD＝DC＋BC＝DC＋CE＝DE，又MD⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA. ∵∠MAE＝∠MBC，，又由CE＝BC得∠CEB＝∠CBE，∴∠MEB＝∠MBE，得MA＝ME＝MB，即M为优弧的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.