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【中考冲刺】初三数学培优专题 26 分而治之(含答案)(难)
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分而治之
——分类讨论
阅读与思考
在解决某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准,分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答,这种解题方法称为分类讨论法.
运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类.正确分类的标准是:对所讨论的全体分类要“既不重复,又不遗漏”;在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;对于多级讨论,应逐级进行.
初中数学分类讨论问题的常见形式有:
1.一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制,在使用过程中必须讨论;
2.题设条件中含有变量或参数时,必须根据变量或参数的不同取值进行讨论;
3.一些问题的图形位置或形状不确定时,只有通过讨论,才能保证结论的完整性;
4.一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时,只有通过讨论,才能保证解答的严密性;
5.对于自然数问题,有时须按剩余类分类讨论.
例题与求解
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是 .(北京市宣武区中考试题)
解题思路:圆与斜边只有一个公共点,则圆与斜边相切或圆与斜边相交.
【例2】 解方程:|-2|+|+3|=+10.
解题思路:解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号,这就要对的取值范围进行分类讨论.需分下列三种情况:①≤-3;②-3<≤2;③>2.
【例3】若关于的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)+54=0的解都是整数,则符合条件的整数的值有___________. (全国初中数学竞赛试题)
解题思路:用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定的值才能全面而准确.
【例4】如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与点A,C不重合),Q在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;
(3)试问:在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长. (福州市中考试题)
解题思路:对于(3),使△PQM为等腰直角三角形有两种情况:一是以PQ为直角边,二是以PQ为斜边.
【例5】证明:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.(全国初中数学联赛试题)
解题思路:由于自然数可分为奇数、偶数两大类,因此,很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论.
【例6】设a和b是相异实数,证明:存在整数m和n,使得,. (加拿大中学生竞赛试题)
解题思路:a,b为相异实数,则必有a-b>0或a-b<0两种情况.
能力训练
1.已知a+b=-8,ab=8,化简= . (内江市中考试题)
2.已知实数a,b满足以a2-7a+2=0,a2-7b+2=0,则的值为 . (淮阴市中考试题)
3.在△ABC中过A作△ABC的高,垂足为D.若∠BAD=55°,∠CAD=25°,则∠BAC= .
4.在平面直角坐标系内,已知点A(2,2),B(2,-3),点P在y轴上,且△APB为直角三角形,则点P的个数为 .(河南省竞赛诚题)
5.平面上A,B两点到直线l的距离分别是2-与2+,则线段中点C到直线l的距离是 .
6.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆圆周上的一点,且OC2=AC·BC,则∠CAB= . (全国初中数学联赛试题)
7.如图,在两直角三角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.当AB= 时,这两个直角三角形相似.
第7题图 第10题图 第11题图
8.已知方程m22-(2m-3)+1=0的两个实数根的倒数和是S,则S的取值范围是 . (天津市中考试题)
9.关于的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)+m2=0中,至少有一个方程有实数根,则m的取值范围是( )
A.-<m<- B.m≤-或m≥-
C.-<m< D.m≤-或m≥
(四川省选拔赛试题)
10.如图,由25个点构成的5×5的正方形点阵中,横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位.定义:由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形,图中以A,B为顶点,面积为2的阵点平行四边形的个数为( )
A.3个 B.6个 C.7个 D.9个
(武汉市四月调考试题)
11.如图,矩形ABCD中,AB=7,AD=3,BE=2EC,若F是AB上的点,使以F,A,D为顶点的三角形和以F,B,E为顶点的三角形相似,则这样的点F有( ) (绍兴市竞赛试题)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.下面是某同学在一次测验中解答的填空题:
①若x2=a2,则x=a.
②方程2x(x-1)=x-1的解为x=0.
③若直角三角形有两边长分别为3和4,则第三边长为 5 .
其中答题完全正确的题目个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(重庆市中考试题)
13.在半径为5cm的圆内有长为5 cm的弦,则此弦所对的圆周角为( )
A.60°或120° B.30°或120° C.60° D.120°
14.如图,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3.如果边AB上的点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第14题图 第15题图
15.如图,菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO,BO的长分别是关于的方程x2+(2m-1)+m2+3=0的根,则m的值为 ( )
A.-3 B.5或-3 C.5 D.-5或3
(吉林省中考试题)
16.已知:关于的函数的图象与轴总有交点,求的取值范围.
(十堰市中考试题)
17.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的边OA,OC分别在轴,y轴上,点B的坐标为(2,2),反比例函数(x>0,k≠0)的图象经过线段BC的中点D.
(1) 求k的值;
(2) 若点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合),过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q,记四边形COPR的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范围.
18.已知△ABC中,BC=6 cm,CA=8 cm,∠C=90°,动点P从点C出发,以每秒1 cm的速度沿CA,AB运动到B点.
(1)设P从C开始运动的距离为x cm,△BCP的面积为y cm2,把y表示成的函数;
(2)从C出发几秒时,S△BCP=S△ABC? (荆州市中考试题)
19.如图,已知⊙O1与⊙O2外切于点O,以直线O1O2为x轴,点O为坐标原点建立直角坐标系,直线AB切⊙O1于点B,切⊙O2于点A,交y轴于点C(0,2),交x轴于点M;BO的延长线交⊙O2于点D,且OB:OD=1:3.
(1) 求⊙O2的半径长;
(2) 求直线AB的解析式;
(3) 在直线AB上是否存在点P,使△MO2P与△MOB相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
(吉林省中考试题)
20.已知抛物线l1:y=ax2-2amx+am2+2m+1(a>0,m>0)的顶点为A,抛物线l2的顶点B在y轴上,且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1,3)成中心对称.
(1) 当a=1时,求l2的解析式和m的值;
(2) 设l2与轴正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值.
(浙江省竞赛试题)
21.已知定理:“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数,”试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.
(全国初中数学联赛试题)
22.如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数(即整数的平方),证明:
(1) 2a,2b都是整数;
(2) a,b,c都是整数,并且c是平方数.
反过来,如果(2)成立,是否对一切x的整数值,ax2+bx+c的值都是平方数?
(全国初中数学竞赛试题)
23.2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上,依次记为P1,P2,P3,…,P2007.小明用红色按如下规则去涂这些点:设某次涂第i个质点,则下次就涂第i个质点后面的第i个质点.按此规则,小明能否将所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂色方案;若不能,请说明理由, 、
(浙江省竞赛试题)
24.甲、乙、丙三支乒乓球队,人数都不相同,每队不少于2人,甲队最少,丙队最多.同一球队的队员互相不比赛,不同球队的队员之间都要比赛一场.统计员作了记录:参加比赛的共有13人,进行的比赛共有54场.求甲、乙、丙三支球队的队员数,并说明理由. (江苏省竞赛试题)
专题26 分而治之
——分类讨论
例1 R=2. 4cm或3cm<R≤4cm
例2 分三种情况讨论:
①当x≤-3时,方程为-2x-1=x+10解得,符合x≤-3,故是一解;②当-3<x≤2时,方程为5=x+10解得x=-5,不符合-3<x≤2,故舍去;
③当x>2时,方程为2x+1=x+10解得x=9,符合x>2,故x=9也是一解.
综合①②③可得原方程的解为或x=9.
例3 当k=6时,得x=2;当k=9时,得x=-3;
当k≠6且k≠9时,解得,;
当6-k=±1,±3,±9时,x1是整数,这时k=7,5,3,-3,15;
当9-k=±1,±2,±3,±6时,x2是整数,这时k=10,8,11,7,12,15,3.
综上所述,k=3,6,7,9,15时,原方程的解是整数.
例4 (1); (2);
(3)①如图1所示,设PM⊥PQ且PM=PQ,点M在AB上,令PQ=x,∵△CPQ∽△CAB,∴ ,解得.②如图2所示,当∠PMQ=90°,且PM=MQ,点M在AB上,令PQ=y,
∵△CPQ∽△CAB,∴ ,解得.
例5 ①若n为奇数,设n=2k+1,k为大于2的整数,则可写成n=k+(k+1),显然符合要求.②若n为偶数,则可设n=4k,或n=4k+2,k为大于1的自然数.当n=4k时,n=(2k-1)+(2k+1),且易知2k-1与2k+1互质,假如它们有公因子d≥2,则d=2,但2k-1,2k+1均为奇数,此为不可能;当n=4k+2时,n=(2k-1)+(2k+3),且易知2k-1与2k+3互质,事实上假如它们有公因子d≥2,设2k-1=nd,2k+3=md,m,n均为自然数,则有(m-n)d=4,可见d=4,矛盾.
例6 当a-b>0时,取m=1,n=-1,则am+bn=a-b>0成立,bm+an=b-a<0成立,验证知满足所给不等式.当a-b<0时,取m=-1,n=1,则am+bn=-a+b>0成立,bm+an=-b+a<0成立,也验证知满足所给不等式.
能力训练 1. 2. 2或22. 5 3. 80°或30° 提示:分高AD在△ABC内部或外部两种情况. 4. 4个 提示:先在坐标平面内描出A,B两点,连接AB,因题设中未指明△PAB的哪个角是直角,故应分别就∠A,∠B,∠P是直角来讨论.设点P(0,x),运用几何知识建立x的方程.若∠A=90°,则P1(0,2);若∠B=90°,则P2(0,-3);若∠P=90°,则PA2+PB2=AB2,而PA2=(2-x)2+22,PB2=(x+3)2+22,AB2=(2+3)2,∴(2-x)2+22+(x+3)2+22=52,∴ x=1或x=-2,即P3(0,1) 或(0,-2) .
5. 2或 提示:分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论.
6. 75°或15°提示:运用圆的对称性. 7. 3或3.
8. S≤-且S≠-3提示:S=2m-3,≥0,m≤且m≠0.
9. B. 10. D.提示:以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类:①以AB为边的,且面积为2的平行四边形共6个;②以AB为对角线,且面积为2的平行四边形共3个. 故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个. 11. C 12. A 13. A 14. C提示:分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论. 15. A 16. 提示:当函数是一次函数,即时,图像与x轴有交点;当时,图像与x轴有交点,综上知a的取值范围为a<-1. 17. (1)在正方形OABC中,CB=OC=OA=AB=2,又点D是BC的中点,∴CD=1,即D(1,2). 而点D(1,2)在上,∴. ∴k=2. (2)(і)当0
. ∵顶点A的坐标为(m,2m+1). ∵P点坐标为(1,3),折直线AB的解析式是y=kx+b,把点A,P的坐标代入,得①-②得2m-3=(m-1)k. ∵(若m=1,则A,B,P三点重合,不合题意),∴k=2,b=1. ∴直线AB的解析式是y=2x+1,得的顶点B的坐标为(0,1). ∵与关于点P成中心对称,∴抛物线的开口大小相同,方向相反,得. ∵点A,B关于点P(1,3)成中心对称,如图1所示,作PE⊥y轴于点E,作AF⊥y轴于点F,则△BPE∽△BAF,∴AF=2PE,即m=2. (2)在Rt△ABF中,∵AB=,∴当△ABC为等腰三角形时,只有以下两种情况:①如图2所示,若BC=AB=2,则OC==,得C点坐标为(). ∵C()在,∴a=. ②如图3所示,若AC=BC,设点C坐标为(x,0),作AD⊥x轴于点D. 在Rt△OBC中,. 在Rt△ADC中,,由,得x=7,得点C的坐标为(7,0),∵C(7,0)在上,∴a=. 综上,满足使△ABC是等腰三角形的a值有两个:,.
21. a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),∴a+b+c是3的倍数. 设a,b被3除后的余数分别为和,则,,则,或者,. 此时2a+5b必为3的倍数,即c为合数,矛盾. 故,则,或者,此时a+2b必为3的倍数,从而a+b+C是9的倍数. ∵2×11+5×5=47中,11+5+47=63,2×13+5×7=61中,13+7+61=81(63,81)=9,因此,9是n的最大可能值. 22. (1)令x=0,得c=平方数;令x=,得a+b+c=, a-b+c=,其中m,n都是整数,∴2a=,2b=都是整数. (2)令x=2,得4a+2b+c=, 4a-2b+c=,其中h,k为整数,两式相减得4b=. 由于4b=2(2b)是偶数,所以h,k的奇偶性相同,能被4整数,因此b是整数,也是整数. 在(2)成立时,不一定对x的整数值都是平方数,例如:a=2,b=2,c=4,x=1时,=8不是平方数. 23. 不能. 理由设继点涂成红色后被涂到的点是第j号,则j=,若i=2007,则j=2007,即除点涂成红色外,其余均没有涂到;若,则即24014,故2 2 007. 又为偶数,则22 007,表示=2 007,即表明点永远涂不到红色.
24设甲队有x人,乙队有y人,丙队有z人,根据题意,有x+y+z=13, x
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