2017年新课标Ⅱ理数高考真题（含答案）

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（   ）

A．           B．            C．                 D．

2.设集合，．若，则（   ）

A．              B．               C．            D．

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（   ）

A．              B．              C．                     D．

5.设，满足约束条件，则的最小值是（   ）

A．              B．                 C．                    D．

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（   ）

A．12种                    B．18种               C．24种              D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（   ）

A．乙可以知道四人的成绩                        B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩                    D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（   ）

A．2                   B．3               C．4                   D．5

9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（   ）

A．2                     B．                C．                     D．

10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A．                     B．                C．               D．

11.若是函数的极值点，则的极小值为（   ）

A.                    B.                    C.                   D.1

12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ）

A.                   B.                  C.                      D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则          ．

14.函数（）的最大值是          ．

15.等差数列的前项和为，，，则          ．

16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则            ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角的对边分别为 ,已知．

(1)求

(2)若 , 面积为2,求

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）          设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）          填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）          根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.

（1）证明：直线 平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值

20. （12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

(1)    求点P的轨迹方程；

(2)    设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）

已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

  在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题

1.D    2.C    3.B     4.B      5.A       6.D

7.D    8.B    9.A     10.C     11.A      12.B

二、填空题

13. 1.96        14. 1        15.        16. 6

三、解答题

17.解：

（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理学 科&网及得

所以b=2

18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”

由题意知 

旧养殖法的箱产量低于的频率为

故的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于的频率为

故的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

由于

故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为

，

箱产量低于的直方图面积为

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

．

19.解：

（1）取中点，连结，．

因为为的中点，所以,,由得，又

所以．四边形为平行四边形， ．

又，，故

（2）

由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则，，，，

,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上，学|科网设

由①，②得

所以M，从而

设是平面ABM的法向量，则

所以可取m=（0，-，2）.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值为

20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,

由得

因为M（x0,y0）在C上，所以

因此点P的轨迹方程为

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

，

由得，又由（1）知，故

3+3m-tn=0

所以，即.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.解：

（1）的定义域为

设，则等价于

因为

若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故

综上，a=1

（2）由（1）知

设

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增

又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.

因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由

由得

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以

22.解：

（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知

由得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为

（2）设点B的极坐标为,由题设知

,于是△OAB面积

当时，S取得最大值

所以△OAB面积的最大值为

23.解：

（1）

（2）因为

所以，因此a+b≤2.