中考总复习数学（安徽地区）-第6章与圆有关的概念及性质课件

这是一份中考总复习数学（安徽地区）-第6章与圆有关的概念及性质课件，共46页。PPT课件主要包含了目录安徽·中考，利用“隐形圆”求最值，与圆有关的概念，考点1，圆的有关概念，确定圆的条件，圆的对称性，温馨提示，垂径分弦，考点2等内容，欢迎下载使用。

考点1 与圆有关的概念考点2 垂径分弦考点3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考点4 圆周角定理及其推论考点5 圆内接四边形的概念和定理
命题角度1 圆周角定理及其推论命题角度2 垂径分弦命题角度3 圆内接四边形的性质
1.圆的定义如图,在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长为r,叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.(3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
1.因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”.2.圆的对称轴有无数条.
1.垂径定理:垂直于弦的直径⑧　 　　,并且⑨　 　弦所对的两条弧.  注意:垂径定理使用时必须具备两个条件:一是直径;二是垂直,二者缺一不可.
2.垂径定理的逆定理:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 注意:定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧⑩　 　,所对的弦相等,所 对弦的弦心距相等.
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所 对弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余各组量都分别相等. 可简记为:在同圆或等圆中,圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等.注意:(1)定理(推论)成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前提条件 定理(推论)不成立. (2)在这个推论中,四组量中只要有一组量“不等”,其余各组量也“不等”.
根据圆周角定理的推论,涉及直径时,可构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算.
圆内接四边形的概念和定理
例1[2020浙江绍兴]如图,点 A，B，C，D，E 均在☉O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为 (　　)　　　 A.45° B.60° C.75° D.90°
例2 [2020青海]已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB= 8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为　　　　cm.
圆中“铁三角”在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可以说是圆中的“铁三角”,它们构成了以半径为斜边的直角三角形.此类题目中常见的辅助线作法:1.连接圆心和弦的端点;2.过圆心作弦的垂线段.
巧用方程思想如图,对于☉O中的弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h,我们可以利用垂径定理和勾股定理由a,d,r,h中的任意两个求另外两个.
例3 [2020安庆模拟]如图,点A,B,C,D在☉O 上,AB∥CD,且AB=AC.若∠B=110°,则 ∠DAC的度数为　　　　.
1.名称由来在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相关知识来解决问题,这类题目我们称之为“隐形圆问题”.
模型1 动点到定点定长
(1)知识依据:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(圆的定义),如图(1).
(2)模型说明:如图(2),若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心、AB的长为半 径的圆上.
例1 如图,在▱ABCD中,∠BCD=30°,BC=4,CD= ,M 是 AD边的中点,N 是AB 边上一动点,将△AMN 沿 MN所在直线翻折得到△PMN,连接 PC,则 PC长度的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6
【思路分析】　根据翻折可知,点P(动点)到点M(定点)的距离为2(定长)，故点P的运动轨迹为以点 M 为圆心、AM 的长为半径的弧，根据“知识储备”中的“点圆距离”即可判断出PC长度最小时点P的位置，由此即可求解.
(1)知识依据:90°的圆周角所对的弦是直径(圆周角定理的推论).
(2)模型说明:如图,在△ABC中,∠C=90°,若AB的长固定,则点C的运动轨迹为 以AB为直径的☉O(不含点A,B).
(1)知识依据:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等(圆周角定理的推论).如图(1),∠C=∠D=∠E.
(2)模型说明:在△ABC中,若AB的长度及∠C的大小固定,则点C在确定的圆上,AB为该定圆的弦,当∠C为锐角时,点C在优弧AB上(不含点A,B);当∠C为钝角时,点C在劣弧AB上(不含点A,B),如图(2).其中,我们称AB为“定弦”,∠C为“定角”.
例3 如图,△ABC 为等边三角形,AB=2,若 P 为 △ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段 PB 长度的最小值为(　　)
【思路分析】　因为∠PAB=∠ACP,∠PAB+∠PAC=60°,所以∠PAC+∠PCA=60°,所以∠APC=120°.AC=2(定弦),∠APC=120°(定角),满足“定弦定角”模型,故点P在定圆(设圆心为O)上,AC为该定圆的弦,劣弧AC(不含点A,C)即为点P的运动轨迹,根据“知识储备”中的“点圆距离”可知,当点B,P,O三点共线时,PB的长度取最小值.
第二节 与圆有关的位置关系
考点1 点与圆、直线与圆的位置关系考点2 切线的性质与判定考点3 三角形的外接圆与内切圆考点4 正多边形与圆的关系
命题角度 与切线有关的证明与计算
点与圆、直线与圆的位置关系
1.点与圆有三种位置关系:点在圆内、点在圆上、点在圆外. 设圆O的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系如下表所示:
2.直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离. 设圆O的半径为r,圆心到直线的距离为d,则直线与圆的位置关系如下表所示:
1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 注意:(1)圆的切线与圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于圆的半径;(3)“有切线,连半径,得垂直”,这是已知圆的切线时常用的辅助线的作法.
2.判定定理:经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意:切线判定定理中的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”,二者缺一不可.
3.切线长:过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
*切线长定理[2011版新课标选学内容]:过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
三角形的外接圆与内切圆
与切线有关的证明与计算
例 [2020湖北咸宁]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
(1)证明:如图,连接OD.∵DF是半圆O的切线,∴∠ODF=90°,∴∠ADO+∠BDF=90°.∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO.∵∠C=90°,∴∠DAO+∠B=90°,∴∠BDF=∠B,∴BF=DF.
(2)如图,连接OF,设半圆O的半径为r.∵AC=4,BC=3,CF=1,∴OC=4-r,DF=BF=2.在Rt△OCF和Rt△ODF中,OC2+CF2=OF2, OD2+DF2=OF2,∴OC2+CF2=OD2+DF2,即(4-r)2+12=r2+22,解得r= .故半圆O的半径长为 .
解答与圆有关的证明及计算的技巧1.圆中常用的辅助线有如下几条: (1)半径:圆的半径是圆的重要元素,圆中的许多性质,如“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关,连接半径是常用的添加辅助线的方法之一,常用于切线的性质及证明; (2)弦心距:在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以便利用垂径定理或三角函数解题; (3)构造直角三角形:在解决有关直径的问题时,常常作直径所对的圆周角,构造直角三角形求解; (4)构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线.2.圆内有关角的计算或证明,一要正确应用圆周角定理及推论,把不同位置的角的数量关系建立起来; 二要正确应用圆心角、弦、弧之间的关系定理,把弧、弦的相等关系转化到角的相等关系上来;三要 正确应用切线的性质定理,已知切线,作出过切点的半径,构造直角.
第三节 与圆有关的计算
考点1 弧长与扇形面积的计算考点2 圆柱、圆锥的有关计算考点3 阴影部分面积的计算
命题角度 与弧长、面积有关的计算
计算弧长必须具备两个条件——半径和该弧所对的圆心角的度数，运用公式时需要注意以下三点:(1)公式的分母是180，不是360；公式的分子是nπr，不是nπr2；(2)公式中圆心角的度数n的单位必须是度，(3)当已知弧长，求半径或圆心角度数时，要将计算公式当作方程用.