【高考真题解密】高考数学真题题源——专题04《三角函数图像性质与恒等变形》母题解密（新高考卷）

专题04 三角函数图像、性质与恒等变形  

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】6.若，则

A.  B.
C.  D.

【答案】

【分析】 本题考查三角恒等变换的应用
法一：利用特殊值法，排除错误选项即可
法二，利用三角恒等变换，求出正确选项

【解答】 解法一：设 则 ，取 ，排除 ，
再取 则 ，取 ，排除 选 C ．
解法二：由
， 故
故 ，即 ，
故 ，
故 ，故 ．

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】记函数的最小正周期为若，且的图像关于点
中心对称，则 

A.  B.  C.  D.

【答案】

【分析】 本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．

【解答】 解：由题可知： ，所以 ．
又因为 的图像关于点 中心对称，所以 ，且 ．
所以 ， ，所以 所以 所以 ．

（多选）已知函数的图象关于点对称，则

A. 在单调递减
B. 在有两个极值点
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 直线是曲线的一条切线

【答案】

【解析】

【分析】

解： 由题意得： ，
所以 ，即 ， ，
又 ，所以 时， ，
故
选项 A 时， ，由 图象知 在 单调递减
选项 B 时， ，由 图象知 在 有 个极值点
选项 C 由于 ，故直线 不是 的对称轴
选项 D 令 ，得 ，
解得 或 ， ，
从而得 或 ， ，
令 ，则 是斜率为 的直线与曲线的切点，
从而切线方程为 ，即 ．

【母题来源】2022年新高考II卷

.若实数，满足，则

A.  B.  C.  D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换与正弦函数的值域
利用正余弦函数表示 ， ，代入到 ， ，再利用三角函数的性质判断选项即可

【解答】

解： 由 得
令
故 ，故 A 错， 对

其中 ，
故 C 对， 错．

【命题意图】

考察两角和与差的正弦、余弦公式，考察二倍角的正现有、余弦、正切应用。考察同角基本关系式，考察正余弦的诱导公式及其应用。考察y=Asin（wx+）的图像及其性质，考察y=Asin（wx+）最小正周期及其意义，考察“五点法”应用于正余弦函数。应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。

【命题方向】

三角函数是历年高考考察的核心点之一 也是和其他学科融合度高的知识点之一。常规考察一个考查方向，是考察两角和与差公式恒等变形化简求值，，诱导公式同角三角函数公式，以及公式对应的辅助角应用，通过这些考察恒等变形能力，繁琐式子化简的能力。

另一个考察方向，是y=Asin（wx+）的图像及其性质，涉及到周期，对称轴，零点，增减性，图像平移等等。此类题综合度较高，还涉及到函数图像的应用，甚至会合导数结合。涉及到方程和数形结合等逻辑推导素养。

   同角三角函数的平方关系，是知识交互处的基础应用之一。往往和向量，不等式，数列，函数，解析几何等等的知识点结合，考察创新能力。

【得分要点】

三角函数图像性质

一．对称轴

1.正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。

2.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。

3.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。

二、对称中心

1.一般情况下， 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。

2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。

3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。

三、辅助角

要让学生学会推导一下过程，并且要学会非特殊角特殊值的推导。

四、方程

1.一般情况下，正弦余弦有一次二次，要以“一次”为变量

2.消元或者换元，要注意旧元与新变量之间的范围限制，包括互相限制。

五．同角关系

之间的互化关系

1.

2.

1．（2022·辽宁·模拟预测）设，，且，则（       ）

A．1 B．﹣1 C． D．

【答案】B

【分析】

弦化切得到，结合角的范围和的单调性得到，从而得到，.

【详解】

由题得，

因为，，所以，，

又函数在区间内单调递增，所以，即，

所以．

故选：B．

2．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数，，且函数在上具有单调性，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据，且函数在上具有单调性，由关于函数的对称中心对称求解.

【详解】

，

令,得函数的对称中心为，

又因为，且函数在上具有单调性，

所以，

当时，的最小值为.

故选：C.

3．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角的大小如图所示，则（       ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】

由图中的信息可知 ，化简 即可.

【详解】

由图可知， ，

；

故选：A.

4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由诱导公式求得，利用诱导公式、二倍角的余弦公式，同角间的三角函数关系变形求值式为关于的代数式，代入计算可得．

【详解】

因为，所以，

故选：C．

5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用三角恒等变换及三角函数的图象变换，求得函数，进而求得增区间，令，可得函数的单调递增区间为，进而根据函数在区间上无极值点，即可求解.

【详解】

因为，

，

所以将函数的图象向左平移个单位，可得，

令，解得

即函数的单调递增区间为，

令，可得函数的单调递增区间为，

又由函数在区间上无极值点，则的最大值为.

故选：A.

6．（2022·海南中学高三阶段练习）最大值为2，满足，则（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】

根据最大值为2，求得a，再根据，由的图象关于对称求解.

【详解】

因为最大值为2，

所以，

解得，

又因为，

所以的图象关于对称，

所以，

，

所以，

即，

因为，

所以，

故选：B

7．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知α为锐角，且，则α的值为（       ）

A．70° B．60° C．50° D．40°

【答案】D

【分析】

直接利用三角函数关系式的恒等变换求出即得解.

【详解】

解：由可得，

即，

所以，

又为锐角，故.

故选：D.

8．（2022·湖南常德·一模）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由余弦的二倍角公式变形后求得，由平方关系求得，再由商数关系得．

【详解】

因为，所以，

，，，，

所以，，

．

故选：B

9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.

【详解】

因为在上单调，所以，则，由此可得.

因为当，即时，函数取得极值，

欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，

故第一个极值点，得，又第二个极值点，

要使在上单调，必须，得.

综上可得，的取值范围是.

故选：C

【点睛】

思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得，即可.

10．（2022·湖北·模拟预测）已知函数，.若与的图象在区间上的交点分别为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用整体对应法可求得的对称中心为，由可得的对称中心；根据对称性可知若为满足题意的交点，则也为满足题意的交点，由此可将所求式子化为，进而求得结果.

【详解】

令，解得：，关于对称；

当时，，关于对称；

，，

若为与在的交点，则也为与在的交点，

.

故选：C.

11．（2022·湖北·高三阶段练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则当取最大值时，（       ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】

根据给定条件，利用弦定理边化角，再借助二倍角公式、同角公式将用表示，然后用均值不等式求解作答.

【详解】

在中，由正弦定理及得：，

即，显然，，否则，B不是钝角，否则，A为钝角，矛盾，

则B为锐角，，

，当且仅当，即，取“=”，

所以当时，取最大值，此时.

故选：B

12．（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

化简解析式，根据三角函数图象变换求得，由求得的值.

【详解】

，

的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，

得到函数，

故，

所以，

由于，所以.

故选：A

13．（2022·山东济南·三模）已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为(       )

A．  B． C．  D．

【答案】C

【分析】

化简f(x)解析式，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，在同一个坐标系作出正弦和余弦函数图象，数形结合即可求解．

【详解】

，

令f(x)=0得sinx=0或cosx=，

作出y=sinx和y=cosx的图象：

f(x)在上有4个零点，则，故a的最大值为．

故选：C．

14．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果.

【详解】

当时，，

函数在内有且仅有三条对称轴，则有，

解得，

故选：B.

15．（2022·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用二倍角公式化简已知等式可求得，并确定所在象限；根据同角三角函数关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果.

【详解】

，，，

，，，

，，，，

.

故选：C.

16．（2022·河北沧州·二模）若，则（       ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】D

【分析】

利用平方关系和正弦的二倍角公式弦化切，由求出代入可得答案.

【详解】

因为，所以，所以.

故选：D.