【高考真题解密】高考数学真题题源——专题06《函数与导数：导数及其应用》母题解密（新高考卷）

专题06 函数与导数：导数及其应用  

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知函数，则     

A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线

【答案】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题．

【解答】

解： ，令 得： ，
或 ； ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 有两个极值点 为极大值点， 为极小值点 ，故 A 正确
又 ， ，
所以 仅有 个零点 如图所示 ，故 B 错

又 ，所以 关于 对称，故 C 正确
对于 选项，设切点 ，在 处的切线为 ，
即 ，
若 是其切线，则 ，方程组无解，所以 错．

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为          ，          ．

【答案】              

【分析】

本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题．

【解答】

解：当 时，点 上的切线为
若该切线经过原点，则 ，解得 ，
此的切线方程为 ．
当 时，点 上的切线为 ．
若该切线经过原点，则 ，解得 ，
此时切线方程为 ．

【命题意图】

考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。

【命题方向】

导数在高考数学中，是作为应用工具来考察的。常规考察，要考察求导公式，求导法则与导数的几何意义，涉及到求切线，导数计算，和求导法则的应用。在应用层次上，要考察导数的极值，单调性，最值等应用，需要理解导数与原函数之间的关系。深度考察，则涉及到求函数零点或者零点个数，零点范围，比大小或者证明不等式，恒成立或者存在型问题求参等等，常常和函数单调性，数列，不等式等等知识有机结合进行综合考察。

【得分要点】

一、导数求切线思维

以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图

二、恒成立求参经验思维

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

1．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.

【详解】

由题意得，

在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

又函数在上单调递增，得，

所以，即实数的取值范围是.

故选：B

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】

求得函数的导数，令，即可求解.

【详解】

由题意，函数，可得，

所以，则．

故选：B.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】D

【分析】

求导，利用切线方程，得到方程组，求出，，求出答案.

【详解】

由，则，所以

解得：，，所以

.故选：D.

4．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

依题意求出，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，即可得解；

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

则，

其中，

所以，

所以；

故选：D

5．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为函数与函数的图象关于x轴对称，

根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，

即方程在上有解，

即在上有解．

令，，

则，

可知在上单调递增，在上单调递减，

故当时，，

由于，，且，

所以．

故选：A．

6．（2022·全国·模拟预测（理））若函数，g(x)=对任意的，不等式恒成立，则整数m的最小值为（       ）

A．2 B．1 C．0 D．-1

【答案】A

【分析】

根据所给不等式转化为时，恒成立，构造函数知其单调递增，利用导数恒大于等于0求解即可.

【详解】

因为单调递增，，所以，即，

原不等式恒成立可化为恒成立，

即时，恒成立，

即函数在上为增函数，

所以在上恒成立，

即，令，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，函数的最大值为，

即恒成立，由知，整数m的最小值为2.

故选：A

7．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））设函数，若，则下列不等式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

可由确定函数解析式，求出函数的单调区间，每个选项中，可赋值其中一个，进而根据单调性比较另外两个大小即可确定每个选项正误.

【详解】

由题，

化简整理得，于是

所以，进而，

据此，在上单调递增，在上单调递减，

因为，即．

对于A，由，又，所以，

即，故A错误；对于B，

，

因为，所以，而，

所以，故B错误；对于C，

，而，

所以，所以，故C正确；

对于D，由，因为，

所以，所以，故D错误.

故选：C．

【点睛】

（1）赋值法是解决一些抽象函数问题常见的方法之一；

（2）根据单调性比较大小是解决抽象函数及复杂函数比大小或解不等式的重要方法.

8．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】

,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

【点睛】

本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

9．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案.

【详解】

∵，令，即，（）

令，（），则，

则，（），

令，（），

要想除1外再有两个零点，则在上不单调，

则，

解得：或，

当时，在恒成立，

则在单调递增，不可能有两个零点，

当时，设，即的两根为，且，

则有，故，

令，解得：或，令，解得：，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，

又因为，

若，则，

因为，所以，

所以

，

因为，故.

检验：当时，（），，

此时在上单调递增，

又，即，此时为临界情况，；

综上：的取值范围为.

故选：D.

【点睛】

利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.

10．（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

【答案】

【分析】

由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】

解：，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，当时，，

若时，当时，，则此时，与前面矛盾，

故不符合题意，

若时，则方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，

又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，

故切线方程为，

则有，解得，

则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，

又，所以，

综上所述，的范围为.

【点睛】

本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.

11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【答案】.

【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】

设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，

即，

代入点，得，

即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

【点睛】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】

利用导数求得在区间上的单调性和最值，根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m的范围.

【详解】

当时，，

所以在区间上递增，

最小值为，最大值为.

在上，时为单调函数，时无零点，

故要使有两个不同的零点，

则在区间和区间各有一个零点，

所以在上必递减且，

则，可得.

故答案为：

13．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.

【答案】或##或

【分析】

设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到，的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.

【详解】

根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求.

设与的切点为，则由，有.同理，设与的切点为，由，有.

故 由①式两边同时取对数得：，将③代入②中可得：，进而解得或.

则或

故或.

故答案为：或

14．（2022·全国·模拟预测）若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】

→→，，研究两个函数图像并得到点，→数形结合→

【详解】

依题意不等式可化为．

令，，．

函数的图像恒过定点．函数，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

所以当x＝1时，．又，记点，，且，

当时，．作出函数大致图像，如图．

若满足不等式有且仅有一个正整数解，则结合函数图像必有．

又因为，，所以．

【点睛】

根据不等式的零点个数，求解参数的取值范围问题，通常会转化为两函数交点问题，要画出函数图象，数形结合进行求解.

15．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数，，若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】

将问题转化为在区间上恰有四个不同的实数根，进而设，然后先通过导数的方法探讨函数的图象和性质，再讨论关于t的方程的根的分布，最后求得答案.

【详解】

问题即在区间上恰有四个不同的实数根.

设，，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.

当时，；当时，；当时，且.如示意图：

由图可知，当时，函数有2个零点，于是问题关于t的的方程即在上有2个不等实根.

设的两个零点为，易知.

于是，.

故答案为：.

【点睛】

本题较难，首先直接处理较为麻烦，因此对原方程进行恒等变形，进而采用“换元法”降低试题的难度.另外，我们经常采用“数形结合法”进行辅助解题，这样更加形象和直观.

16.（2022·全国·高三专题练习）对于函数，下列说法正确的是（       ）

A．在处取得极大值

B．有两个不同的零点

C．

D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【分析】

根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.

【详解】

【解】A选项，，定义域为，，令，解得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

函数在时取得极大值也是最大值，故A对，

B选项，时，，，当时，如下图所示：

函数有且只有唯一一个零点，故B错，

C选项，当时为单调递减函数，，

，，故C对，

D选项，，故，由于函数在上恒成立，

，设，定义域为，则，

设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对.

故选：ACD.

17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．函数只有一个零点

B．函数只有极大值而无极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若当时，，则t的最大值为2

【答案】CD

【分析】

解方程判断A；利用导数探讨的极值判断B；分析函数的性质，借助图象判断C；由结合取最大值的x值区间判断D作答.

【详解】

对于A，由得：，解得，A不正确；

对于B，对求导得：，当或时，，当时，，

即函数在，上单调递减，在上单调递增，

因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，B不正确；

对于C，由选项B知，作出曲线及直线，如图，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，

所以当时，方程有且只有两个实根，C正确；

对于D，因，而函数在上单调递减，因此当时，，

当且仅当，即，所以t的最大值为2，D正确.

故选：CD

【点睛】

方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察

与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】

本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t是常数，

因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可.

【详解】

因为，所以在上单调递增，

所以对，；

，所以 ，

当时， ；当时， ，

函数在上单调递增，在上单调递减，

∴；

因为，任意，不等式恒成立，

即，整理得，

解得或，所以正数的取值范围为；

6e与均在区间内，

与均不在区间内；

故选：AB．