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福建省龙岩市莲东中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)
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这是一份福建省龙岩市莲东中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省龙岩市新罗区莲东中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，10小题共40分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、2cm B．12cm、5cm、6cm
C．1cm、5cm、9cm D．5cm、2cm、7cm
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
4．（4分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它们的底边长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．4或6
6．（4分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（ ）
A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BC＝DF
7．（4分）将一副直角三角板按如图放置（其中∠C＝∠E＝90°），使含30°角的三角板DEF的较长直角边EF与等腰直角三角板ABC的斜边AB平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
8．（4分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（ ）
A．65° B．110° C．115° D．130°
9．（4分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（4分）如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，6小题共24分）
11．（4分）已知三角形的两边长分别为2cm，5cm，则这个三角形第三边x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，△ABC中，AD是BC边中线，若△ABC面积为10，则△ABD的面积为 ．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝6，则△ACE的周长是 ．
14．（4分）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝ ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 个．
三、解答题（9小题，共86分）
17．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，AF∥DE，AF＝DE．求证：EB＝FC．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AE、AD分别是角平分线和高．求∠DAE的度数．
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠FED．
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点坐标A1 、B1 、C1 ；
（3）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
24．（12分）如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE＝BE，BD＝2，DC＝2BD．
（1）证明：△AEO≌△BEC；
（2）求OA的长；
（3）F是直线AC上的一点，且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中．
（1）如图，当点C的坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1）时，请求出点B的坐标；
（2）如图，当点B的坐标为（0，2），点C的坐标是（1，0）时，请求出点A的坐标；
（3）如图，过点A作直线AE⊥y轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F，AC与y轴交于点G，当y轴恰好平分∠ABC时，请写出AE与BG的数量关系，并证明．
2022-2023学年福建省龙岩市新罗区莲东中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，10小题共40分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、2cm B．12cm、5cm、6cm
C．1cm、5cm、9cm D．5cm、2cm、7cm
【分析】根据三角形三边关系求解．
【解答】解：A选项中2+3＞4满足题意．
B选项中5+6＜12不满足题意．
C选项中1+5＜9不满足题意．
D选项中2+5＝7不满足题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】解：点A（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容，比较简单．
4．（4分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD．
则∠COD就是所求的角．
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS．
故选：D．
【点评】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．
5．（4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它们的底边长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．4或6
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【解答】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，
能组成三角形；
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，
不能组成三角形，
综上所述，底边为4．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
6．（4分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（ ）
A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，
当AB＝ED时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EDF；
当AC＝EF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF；
当BC＝DF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．（4分）将一副直角三角板按如图放置（其中∠C＝∠E＝90°），使含30°角的三角板DEF的较长直角边EF与等腰直角三角板ABC的斜边AB平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
【分析】根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：如图：根据特殊直角三角形的性质可知，∠A＝45°，∠F＝30°，
∵AB∥EF，
∴∠ACF＝∠A＝45°，
∴∠CHF＝180°﹣∠F﹣∠ACF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝180°﹣∠CHF＝108°﹣105°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．（4分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（ ）
A．65° B．110° C．115° D．130°
【分析】根据平角的定义计算出∠DED′＝130°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠D′EF，所以∠DEF＝∠DED′＝65°，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵∠AED′＝50°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝180°﹣50°＝130°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF＝∠D′EF，
∴∠DEF＝∠DED′＝×130°＝65°．
∵DE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝115°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
9．（4分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
10．（4分）如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD，进而得出∠DAF＝∠DCB，不能得出∠DAF＝∠ACD．
【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∠DAE＝∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠DCB＞∠ACD，
∴∠DAF＞∠ACD，
∴∠DAF≠∠ACD，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题（每小题4分，6小题共24分）
11．（4分）已知三角形的两边长分别为2cm，5cm，则这个三角形第三边x的取值范围是 3＜x＜8 ．
【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：由题意得：5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜8，
故答案为：3＜x＜8．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是正确记忆三角形的三边关系的．
12．（4分）如图，△ABC中，AD是BC边中线，若△ABC面积为10，则△ABD的面积为 5 ．
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC面积为10，
∴△ABD的面积＝＝5．
故答案为：5
【点评】此题考查了三角形的面积，关键是熟悉三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分的知识点．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝6，则△ACE的周长是 16 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（4分）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 540 度．
【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作2条对角线，则这个多边形是五边形．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：多边形的边数是2+3＝5，
则内角和是（5﹣2）×180＝540°．
故答案是：540．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理和多边形的边数与对角线的条数之间的关系，解决本题的关键是利用n边形的内角和（n﹣2）•180°求出结果．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝ 122° ．
【分析】由于∠1+∠PCB＝58°，则∠2+∠PCB＝58°，再根据三角形内角和定理得∠BPC+∠2+∠PCB＝180°，所以∠BPC＝180°﹣58°＝122°．
【解答】解：∵∠1+∠PCB＝∠ACB＝58°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠PCB＝58°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣58°＝122°．
故答案为122°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 4 个．
【分析】分为三种情况：①OA＝OP，②AP＝OP，③OA＝OA，分别画出即可．
【解答】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；
以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，
则AP＝OP，
此时三角形是等腰三角形，即1个；
2+1+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊．
三、解答题（9小题，共86分）
17．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，AF∥DE，AF＝DE．求证：EB＝FC．
【分析】由平行线的性质证得∠A＝∠D，证明△ACF≌△DBE（SAS），则可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝DC，
∴AB+BC＝DC+CB，
即AC＝DB，
∵AF∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SAS），
∴EB＝CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识；解题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AE、AD分别是角平分线和高．求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC＝∠BAC，而∠DAC＝90°﹣∠C，然后利用∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝×80°＝40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°
∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠FED．
【分析】利用ASA证明△AGE≌△AGC，根据全等三角形的性质推出AG垂直平分CE，进而得出DE＝DC，则∠DEC＝∠DCE，根据平行线的性质及角平分线的定义即可得解．
【解答】证明：∵CE⊥AD，
∴∠AGE＝∠AGC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
在△AGE和△AGC中，
，
∴△AGE≌△AGC（ASA），
∴GE＝GC，
∴AG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠FEC，
∴EC平分∠FED．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△AGE≌△AGC是解题的关键．
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点坐标A1 （﹣2，4） 、B1 （﹣1，1） 、C1 （﹣3，2） ；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据（1）得出A1、B1、C1的坐标；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由（1）图可得A1的坐标为：（﹣2，4），B1的坐标为：（﹣1，1），C1的坐标为：（﹣3，2）．
故答案为：（﹣2，4）、（﹣1，1）、（﹣3，2）．
（3）△ABC的面积为：2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB＝90°，故∠BPD+∠PBD＝90°．
再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ＝90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ＝∠PBD，再由∠BPD＝∠APQ可知∠APQ＝∠AQP，据此可得出结论．
【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD+∠PBD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP+∠ABQ＝90°．
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP．
∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
22．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）根据角平分线的性质可得CD＝DF，AB＝AF，可求CD+AB，再利用梯形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，EF⊥DA，
∴CD＝DF，
∵∠B＝90°，AE是∠DAB的平分线，
∴AB＝AF，
∴CD+AB＝DF+AF＝AD＝8，
∴S梯形ABCD＝8×6÷2＝24．
【点评】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
23．（10分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．
【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．
求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF，
∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．
24．（12分）如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE＝BE，BD＝2，DC＝2BD．
（1）证明：△AEO≌△BEC；
（2）求OA的长；
（3）F是直线AC上的一点，且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠AEB＝∠BDA＝90°，得到∠EAO＝∠EBC，利用ASA定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答；
（3）分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝∠BDA＝90°，
∵∠AOE＝∠BOD，
∴∠EAO＝∠EBC，
在△AEO和△BEC中，
，
∴△AEO≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵BD＝2，DC＝2BD，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝6，
∵△AEO≌△BEC，
∴OA＝BC＝6；
（3）解：存在，
由题意得，OP＝t，OQ＝4t，
∵OB＝CF，
∴∠BOP＝∠FCQ，
如图，
当△BOP≌△FCQ时，OP＝CQ，
∴t＝6﹣4t，
解得，t＝1.2；
如图，
当△BOP≌△FCQ时，OP＝CQ，
∴t＝4t﹣6，
解得，t＝2，
综上所述，当t＝1.2秒或2秒时，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．（14分）已知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中．
（1）如图，当点C的坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1）时，请求出点B的坐标；
（2）如图，当点B的坐标为（0，2），点C的坐标是（1，0）时，请求出点A的坐标；
（3）如图，过点A作直线AE⊥y轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F，AC与y轴交于点G，当y轴恰好平分∠ABC时，请写出AE与BG的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明Rt△ADC≌Rt△COB（HL），根据全等三角形的性质求出OB，得到点B的坐标；
（2）证明△BOC≌△CDA（AAS），由全等三角形的性质得出OC＝AD＝1，OB＝CD＝2，则可得出答案；
（3）证明△CBG≌△CAF（ASA），由全等三角形的性质得出BG＝AF，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵点C坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1），
∴AD＝OC＝1，
在Rt△ADC和Rt△COB中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL），
∴OB＝CD＝2，
∴B（0，2）；
（2）∵C（1，0），B（0，2），
∴OC＝1，OB＝2，
∵∠BOC＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACD＝∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCO＝∠DAC，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OC＝AD＝1，OB＝CD＝2，
∴OD＝CD﹣OC＝2﹣1＝1，
∴A（﹣1，﹣1）；
（3）BG＝2AE，
证明：∵∠CBG+∠CGB＝90°，∠FAC+∠AGE＝90°，∠CGB＝∠AGE，
∴∠CBG＝∠FAC，
在△CBG和△CAF中，
，
∴△CBG≌△CAF（ASA），
∴BG＝AF，
∵BE⊥AF，y轴恰好平分∠ABC，
∴∠AEB＝∠FEB，∠ABE＝∠FBE，
∵BE＝BE，
∴△AEB≌△FEB（ASA），
∴AE＝EF＝AF，
∴BG＝2AE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，点的坐标，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2022-2023学年福建省龙岩市新罗区莲东中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，10小题共40分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、2cm B．12cm、5cm、6cm
C．1cm、5cm、9cm D．5cm、2cm、7cm
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
4．（4分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它们的底边长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．4或6
6．（4分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（ ）
A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BC＝DF
7．（4分）将一副直角三角板按如图放置（其中∠C＝∠E＝90°），使含30°角的三角板DEF的较长直角边EF与等腰直角三角板ABC的斜边AB平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
8．（4分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（ ）
A．65° B．110° C．115° D．130°
9．（4分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（4分）如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，6小题共24分）
11．（4分）已知三角形的两边长分别为2cm，5cm，则这个三角形第三边x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，△ABC中，AD是BC边中线，若△ABC面积为10，则△ABD的面积为 ．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝6，则△ACE的周长是 ．
14．（4分）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝ ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 个．
三、解答题（9小题，共86分）
17．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，AF∥DE，AF＝DE．求证：EB＝FC．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AE、AD分别是角平分线和高．求∠DAE的度数．
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠FED．
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点坐标A1 、B1 、C1 ；
（3）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
24．（12分）如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE＝BE，BD＝2，DC＝2BD．
（1）证明：△AEO≌△BEC；
（2）求OA的长；
（3）F是直线AC上的一点，且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中．
（1）如图，当点C的坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1）时，请求出点B的坐标；
（2）如图，当点B的坐标为（0，2），点C的坐标是（1，0）时，请求出点A的坐标；
（3）如图，过点A作直线AE⊥y轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F，AC与y轴交于点G，当y轴恰好平分∠ABC时，请写出AE与BG的数量关系，并证明．
2022-2023学年福建省龙岩市新罗区莲东中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，10小题共40分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、2cm B．12cm、5cm、6cm
C．1cm、5cm、9cm D．5cm、2cm、7cm
【分析】根据三角形三边关系求解．
【解答】解：A选项中2+3＞4满足题意．
B选项中5+6＜12不满足题意．
C选项中1+5＜9不满足题意．
D选项中2+5＝7不满足题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】解：点A（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容，比较简单．
4．（4分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD．
则∠COD就是所求的角．
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS．
故选：D．
【点评】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．
5．（4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它们的底边长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．4或6
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【解答】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，
能组成三角形；
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，
不能组成三角形，
综上所述，底边为4．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
6．（4分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（ ）
A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，
当AB＝ED时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EDF；
当AC＝EF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF；
当BC＝DF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．（4分）将一副直角三角板按如图放置（其中∠C＝∠E＝90°），使含30°角的三角板DEF的较长直角边EF与等腰直角三角板ABC的斜边AB平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
【分析】根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：如图：根据特殊直角三角形的性质可知，∠A＝45°，∠F＝30°，
∵AB∥EF，
∴∠ACF＝∠A＝45°，
∴∠CHF＝180°﹣∠F﹣∠ACF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝180°﹣∠CHF＝108°﹣105°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．（4分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（ ）
A．65° B．110° C．115° D．130°
【分析】根据平角的定义计算出∠DED′＝130°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠D′EF，所以∠DEF＝∠DED′＝65°，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵∠AED′＝50°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝180°﹣50°＝130°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF＝∠D′EF，
∴∠DEF＝∠DED′＝×130°＝65°．
∵DE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝115°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
9．（4分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
10．（4分）如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD，进而得出∠DAF＝∠DCB，不能得出∠DAF＝∠ACD．
【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∠DAE＝∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠DCB＞∠ACD，
∴∠DAF＞∠ACD，
∴∠DAF≠∠ACD，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题（每小题4分，6小题共24分）
11．（4分）已知三角形的两边长分别为2cm，5cm，则这个三角形第三边x的取值范围是 3＜x＜8 ．
【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：由题意得：5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜8，
故答案为：3＜x＜8．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是正确记忆三角形的三边关系的．
12．（4分）如图，△ABC中，AD是BC边中线，若△ABC面积为10，则△ABD的面积为 5 ．
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC面积为10，
∴△ABD的面积＝＝5．
故答案为：5
【点评】此题考查了三角形的面积，关键是熟悉三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分的知识点．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝6，则△ACE的周长是 16 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（4分）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 540 度．
【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作2条对角线，则这个多边形是五边形．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：多边形的边数是2+3＝5，
则内角和是（5﹣2）×180＝540°．
故答案是：540．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理和多边形的边数与对角线的条数之间的关系，解决本题的关键是利用n边形的内角和（n﹣2）•180°求出结果．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝ 122° ．
【分析】由于∠1+∠PCB＝58°，则∠2+∠PCB＝58°，再根据三角形内角和定理得∠BPC+∠2+∠PCB＝180°，所以∠BPC＝180°﹣58°＝122°．
【解答】解：∵∠1+∠PCB＝∠ACB＝58°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠PCB＝58°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣58°＝122°．
故答案为122°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 4 个．
【分析】分为三种情况：①OA＝OP，②AP＝OP，③OA＝OA，分别画出即可．
【解答】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；
以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，
则AP＝OP，
此时三角形是等腰三角形，即1个；
2+1+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊．
三、解答题（9小题，共86分）
17．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，AF∥DE，AF＝DE．求证：EB＝FC．
【分析】由平行线的性质证得∠A＝∠D，证明△ACF≌△DBE（SAS），则可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝DC，
∴AB+BC＝DC+CB，
即AC＝DB，
∵AF∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SAS），
∴EB＝CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识；解题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AE、AD分别是角平分线和高．求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC＝∠BAC，而∠DAC＝90°﹣∠C，然后利用∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝×80°＝40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°
∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠FED．
【分析】利用ASA证明△AGE≌△AGC，根据全等三角形的性质推出AG垂直平分CE，进而得出DE＝DC，则∠DEC＝∠DCE，根据平行线的性质及角平分线的定义即可得解．
【解答】证明：∵CE⊥AD，
∴∠AGE＝∠AGC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
在△AGE和△AGC中，
，
∴△AGE≌△AGC（ASA），
∴GE＝GC，
∴AG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠FEC，
∴EC平分∠FED．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△AGE≌△AGC是解题的关键．
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点坐标A1 （﹣2，4） 、B1 （﹣1，1） 、C1 （﹣3，2） ；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据（1）得出A1、B1、C1的坐标；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由（1）图可得A1的坐标为：（﹣2，4），B1的坐标为：（﹣1，1），C1的坐标为：（﹣3，2）．
故答案为：（﹣2，4）、（﹣1，1）、（﹣3，2）．
（3）△ABC的面积为：2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB＝90°，故∠BPD+∠PBD＝90°．
再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ＝90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ＝∠PBD，再由∠BPD＝∠APQ可知∠APQ＝∠AQP，据此可得出结论．
【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD+∠PBD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP+∠ABQ＝90°．
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP．
∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
22．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）根据角平分线的性质可得CD＝DF，AB＝AF，可求CD+AB，再利用梯形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，EF⊥DA，
∴CD＝DF，
∵∠B＝90°，AE是∠DAB的平分线，
∴AB＝AF，
∴CD+AB＝DF+AF＝AD＝8，
∴S梯形ABCD＝8×6÷2＝24．
【点评】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
23．（10分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．
【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．
求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF，
∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．
24．（12分）如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE＝BE，BD＝2，DC＝2BD．
（1）证明：△AEO≌△BEC；
（2）求OA的长；
（3）F是直线AC上的一点，且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠AEB＝∠BDA＝90°，得到∠EAO＝∠EBC，利用ASA定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质解答；
（3）分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝∠BDA＝90°，
∵∠AOE＝∠BOD，
∴∠EAO＝∠EBC，
在△AEO和△BEC中，
，
∴△AEO≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵BD＝2，DC＝2BD，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝6，
∵△AEO≌△BEC，
∴OA＝BC＝6；
（3）解：存在，
由题意得，OP＝t，OQ＝4t，
∵OB＝CF，
∴∠BOP＝∠FCQ，
如图，
当△BOP≌△FCQ时，OP＝CQ，
∴t＝6﹣4t，
解得，t＝1.2；
如图，
当△BOP≌△FCQ时，OP＝CQ，
∴t＝4t﹣6，
解得，t＝2，
综上所述，当t＝1.2秒或2秒时，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．（14分）已知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中．
（1）如图，当点C的坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1）时，请求出点B的坐标；
（2）如图，当点B的坐标为（0，2），点C的坐标是（1，0）时，请求出点A的坐标；
（3）如图，过点A作直线AE⊥y轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F，AC与y轴交于点G，当y轴恰好平分∠ABC时，请写出AE与BG的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明Rt△ADC≌Rt△COB（HL），根据全等三角形的性质求出OB，得到点B的坐标；
（2）证明△BOC≌△CDA（AAS），由全等三角形的性质得出OC＝AD＝1，OB＝CD＝2，则可得出答案；
（3）证明△CBG≌△CAF（ASA），由全等三角形的性质得出BG＝AF，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵点C坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1），
∴AD＝OC＝1，
在Rt△ADC和Rt△COB中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL），
∴OB＝CD＝2，
∴B（0，2）；
（2）∵C（1，0），B（0，2），
∴OC＝1，OB＝2，
∵∠BOC＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACD＝∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCO＝∠DAC，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OC＝AD＝1，OB＝CD＝2，
∴OD＝CD﹣OC＝2﹣1＝1，
∴A（﹣1，﹣1）；
（3）BG＝2AE，
证明：∵∠CBG+∠CGB＝90°，∠FAC+∠AGE＝90°，∠CGB＝∠AGE，
∴∠CBG＝∠FAC，
在△CBG和△CAF中，
，
∴△CBG≌△CAF（ASA），
∴BG＝AF，
∵BE⊥AF，y轴恰好平分∠ABC，
∴∠AEB＝∠FEB，∠ABE＝∠FBE，
∵BE＝BE，
∴△AEB≌△FEB（ASA），
∴AE＝EF＝AF，
∴BG＝2AE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，点的坐标，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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