贵州省遵义市红花岗区四校联盟2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份贵州省遵义市红花岗区四校联盟2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
贵州省遵义市红花岗区四校联盟2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝x+3 B．y＝ax2+bx+c C．y＝t2﹣2t+2 D．y＝x2+
3．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
4．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
5．已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（　　）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
6．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
7．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（　　）
A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1
8．抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（　　）

A．x1＝﹣1，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣5，x2＝5
10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，△ABC中，∠CAB＝80°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　）

A．30° B．15° C．10° D．20°
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若2x2＝8，则x＝　 　．
14．新能源汽车因节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量逐年增加，2020年销量为81万辆，到2022年销量为120万辆，设年平均增长率为x，可列方程为 　 　．
15．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是　 　．
16．如图，△ABC中AC＝BC＝，∠C＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则C'B的长为　 　．

三.解答题（本题共8小题，共计86分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演绎步骤）
17．（8分）用适当方法解方程
（1）（2x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣4x＝3．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．

19．（10分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c图象经过点A（1，4）和点C（0，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接回答下列问题：
①当y≥0时，求x的取值范围：　 　．
②当﹣1＜x＜2时，求函数y的取值范围：　 　．

21．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：GE＝FE；
（2）若DF＝2，求BE的长．

22．（12分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

24．（14分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

贵州省遵义市红花岗区四校联盟2022-2023学年九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝x+3 B．y＝ax2+bx+c C．y＝t2﹣2t+2 D．y＝x2+
【分析】直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、y＝x+3是一次函数，故此选项错误；
B、y＝ax2+bx+c（a≠0），故此选项错误；
C、y＝t2﹣2t+2，一定为二次函数，故此选项正确；
D、y＝x2+，不是整式，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】关于原点对称点的坐标特点：横坐标、纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：∵点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），
∴点A的坐标为（﹣3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
5．已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（　　）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：Δ＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
6．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（　　）
A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1
【分析】利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2＝﹣，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
8．抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（　　）

A．x1＝﹣1，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣5，x2＝5
【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟悉抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．
10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可由一次函数y＝ax﹣a的图象经过点（1，0）进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，0），故A可能是正确的，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，明确直线经过点（1，0）是解题的关键．
11．如图，△ABC中，∠CAB＝80°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　）

A．30° B．15° C．10° D．20°
【分析】根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝80°，根据旋转变换的性质计算即可．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝80°，
由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝80°，∠BAE＝∠DAC，
∴∠ADC＝∠CAB＝80°，
∴∠CAD＝20°，
∴∠BAE＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①正确；

②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；

③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；

④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；

⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：C．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若2x2＝8，则x＝　±2　．
【分析】两边都除以2，再根据平方根定义求出即可．
【解答】解：两边都除以2得：x2＝4，
x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了对平方根的应用，主要考查学生的计算能力．
14．新能源汽车因节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量逐年增加，2020年销量为81万辆，到2022年销量为120万辆，设年平均增长率为x，可列方程为 　81（1+x）2＝120　．
【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2020年销量×（1+增长率）2＝2022年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：由题意，得81（1+x）2＝120，
故答案为：81（1+x）2＝120．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
15．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是　　．
【分析】首先根据，＝，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．
【解答】方法一：
解：∵，＝，
∴这列数依次为：，，，，…，
∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，
∵8﹣5＝11﹣8＝14﹣11＝3，
∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，
∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：

＝
＝．
故答案为：．

方法二：
将，，，化成分子相同的形式，，，，
经观察，此数列分母为一阶等差，
∴设s＝kn+b，
，
∴k＝3，b＝2，
∴s＝3n+2，
∴s10＝，s16＝，
∴s10×s16＝．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：当这列数的分子都化成4时，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列．
16．如图，△ABC中AC＝BC＝，∠C＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则C'B的长为　﹣1　．

【分析】连接BB'，延长BC′交AB'于点M，易证△ABB'为等边三角形，由SSS证明△ABC'≌△B'BC'，得到∠MBB'＝∠MBA＝30°，由等边三角形的性质得出BM⊥AB'，且AM＝B'M，由勾股定理与直角三角形斜边上的中线即求出BM，C'M的长，即可解决问题．
【解答】解：连接BB'，延长BC′交AB'于点M，如图所示：
由旋转的性质得：∠BAB'＝60°，BA＝B'A，AC＝BC＝AC′＝B′C′，∠AC′B′＝∠ACB＝90°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠ABB'＝60°，AB＝BB'，
在△ABC'与△B'BC'中，，
∴△ABC'≌△B'BC'（SSS）
∴∠MBB'＝∠MBA＝30°，
∴BM⊥AB'，且AM＝B'M，
∵AC＝BC＝，∠C＝90°，
∴AB＝AC＝2，
∴AB＝AB'＝2，
∴AM＝1，
BM＝＝＝，
C′M＝AB′＝×2＝1，
∴C′B＝BM﹣C′M＝﹣1，
故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三.解答题（本题共8小题，共计86分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演绎步骤）
17．（8分）用适当方法解方程
（1）（2x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣4x＝3．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）配方法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝9，
开方得：2x﹣1＝±3，
解得：x1＝﹣1，x2＝2；
（2）∵2x2﹣4x＝3，
则x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．

【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2（m+1）、x1x2＝m2+2，结合（x1+1）（x2+1）＝8可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得：m≥．
（2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2．
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，
解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合（x1+1）（x2+1）＝8找出关于m的一元二次方程．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c图象经过点A（1，4）和点C（0，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接回答下列问题：
①当y≥0时，求x的取值范围：　﹣1≤x≤3　．
②当﹣1＜x＜2时，求函数y的取值范围：　0＜y＜4　．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象即可得到结论．
【解答】解：（1）将点A和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由图象知，①当y≥0时，求函数y的取值范围：﹣1≤x≤3．
②当﹣1＜x＜2时，求y的取值范围：0＜y＜3．
∵x＝1时，y＝4，
∴0＜y＜4．
故答案为：﹣1≤x≤3，0＜y＜4．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．
21．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：GE＝FE；
（2）若DF＝2，求BE的长．

【分析】（1）由旋转的性质可知∠DAF＝∠BAG，从而得到∠EAF＝∠EAG，通过SAS证明△EAG≌△EAF即可；
（2）设BE＝x，则EF＝GE＝2+x，CE＝4﹣x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
即∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE；
（2）解：设BE＝x，则EF＝GE＝2+x，CE＝4﹣x，
∵CD＝4，DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝2，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴（4﹣x）2+22＝（2+x）2，
解得，x＝，
即BE＝．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
22．（12分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝80﹣2（x﹣50），然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：y＝80﹣2（x﹣50）化简得：y＝﹣2x+180；
（2）由题意得：w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x+180）
＝﹣2x2+260x﹣7200；
（3）w＝﹣2x2+260x﹣7200
∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下． 当x＝65时，w有最大值．
又x＜65，w随x的增大而增大．∴当x＝55元时，w的最大值为1050元．
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）证明：在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）DE＝BE﹣AD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
24．（14分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC交对称轴于Q，在y＝﹣x2﹣2x+3中，得对称轴为直线x＝﹣1，C（0，3），AC＝，要使得△QAC的周长最小，只需Q、B、C共线，设直线BC解析式为y＝kx+t，可得直线BC解析式为y＝x+3，即可得Q（﹣1，2）；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），则F（a，0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，即可求出S四边形BOCE＝S△BEF+S四边形EFO＝，故当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，点E坐标为．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在Q（﹣1，2），理由如下：
连接BC交对称轴于Q，如图：

在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴C（0，3），
而A（1，0），
∴AC＝，
要使得△QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QA＝QB，
∴只需QC+QB最小即可，
∴Q、B、C共线时，△QAC的周长最小，
设直线BC解析式为y＝kx+t，则，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝2，
∴Q（﹣1，2）；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，如图：

设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），则F（a，0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a﹣（﹣3）＝a+3，OF＝0﹣a＝﹣a，
∴S△BEF＝BF•EF＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3），S四边形EFOC＝（OC+EF）•OF＝（﹣a2﹣2a+3+3）•（﹣a），
∴S四边形BOCE＝S△BEF+S四边形EFOC＝＝，
∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，
此时﹣a2﹣2a+3＝，
∴点E坐标为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、四边形面积、“将军饮马”模型等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．