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中考总复习数学（河南地区）第三章函 数课件
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这是一份中考总复习数学（河南地区）第三章函 数课件，共60页。PPT课件主要包含了考点1，对称点的坐标特征，考点2，自变量的取值范围，考点3，解析式法，命题角度1，点的坐标的规律探索，命题角度2，提分技法等内容，欢迎下载使用。
考点 1 平面直角坐标系中点的坐标特征考点 2 函数自变量的取值范围及函数值考点 3 函数的表示方法及图象的画法
课时一 平面直角坐标系中点的坐标的求法 命题角度 1 几何图形中点的坐标的计算 命题角度 2 点的坐标的规律探索课时二 函数图象的分析与判断 命题角度 3 函数图象的识别 命题角度 4 由几何动点和函数图象解决 几何问题
平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征
2.特殊位置上点的坐标特征
3.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离(如图)
点P(x,y)到x轴的距离是⑫ ; 到y轴的距离是⑬ ;到原点的距离是 .
4.平面直角坐标系内两点间的距离(1)在x轴或与x轴平行的直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离为|x1-x2|;(2)在y轴或与y轴平行的直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离为|y1-y2|.拓展:平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离是
6.点平移的坐标特征(a>0,b>0)
可简记为:左减右加,上加下减.
函数自变量的取值范围及函数值
2.函数值:若y是x的函数,且x=a时y=b,则b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函数的表示方法及图象的画法
1.函数的三种表示方法: 列表法、⑳ 、图象法. 2.函数图象的画法:列表、描点、连线. 注意:画一次函数的图象时,描出两点即可;画其他曲线,需至少描出五个点.
几何图形中点的坐标的计算
例1 (逻辑推理)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,2 ).将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为 ( )
【思路分析】 求点B1的坐标→分别求出点B1的横、纵坐标→构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数进行求解.过点B1作B1E⊥y轴于点E,连接OB1,在Rt△OB1E中,求出OB1的长度及∠B1OE的度数,再利用三角函数解题.
类型1 以图形的旋转为背景
例2 [2021原创]如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A在x轴上,且OA=7,顶点B的坐标为(10,3).将▱OABC绕原点O顺时针旋转,每次旋转45°,则第60次旋转结束时,点C的坐标为 ( )A.(5,0) B.(0,-5) C.(-4,3) D.(-3,-3)【思路分析】
类型2 以图形的滚动为背景
例3 [2019辽宁阜新]如图,在平面直角坐标系中,将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置,再到△A1B1C2的位置……依次进行下去,若已知点A(4,0),B(0,3),则点C100的坐标为（ ）【思路分析】
类型3 以点的运动为背景
例4 [2019商丘一模]在平面直角坐标系中,若干个半径为2、圆心角为60°的扇形形成了如图所示的连续的曲线(x轴上的半径除外),点P从原点O出发,沿这条曲线向右上下起伏运动,在直线上的速度为每秒2个单位长度,在弧线上的速度为每秒 个单位长度,则2 020秒时,点P的坐标是（ ）A.(2 019,0) B.(2 019, ) C.(2 020,- ) D.(2 020,0)【思路分析】先求出前几个关键点(拐点)的坐标,找出坐标规律,再依据此规律求得结论.
类型4 以图形的渐变为背景
例5 [2019湖北天门]如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3…都是菱形,点A1,A2,A3…都在x轴上,点C1,C2,C3…都在直线y= x+ 上,且∠C1OA1 =∠C2A1 A2=∠C3A2A3=…=60°,OA1=1,则点C6的坐标是 .【思路分析】第一步:确定点Cn的横坐标的变化规律;第二步:求出点C6的横坐标,代入直线C1C2的解析式,继而求得点C6的纵坐标.
点的坐标的规律探索题的求解策略点的坐标的规律探索题中,点的坐标的变化形式一般分两种:①点的坐标在同一象限内递推变化;②点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类题的步骤如下:(1)根据点的坐标的变化特点判断属于哪种变化形式;(2)根据题意求出前几个点的坐标,归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的关系;(3)两种变化形式下求第M个点的坐标的方法:第①种变化形式:根据(2)中得到的关系,得到第M个点的坐标;第②种变化形式:先确定多少次变换是一个循环,记次数为n,M÷n=p……q(0
【思路分析】结合题意,根据点P的位置分如下3种情况分析:①当0动点问题中函数图象的判断方法1.判断趋势法根据题意分段,判断每段的增减变化趋势,从而寻找相应的图象.2.求解析式法根据题意求出每段的解析式,结合函数的图象与性质即可得到答案.3.定点排除法从选项中各图象的关键转折点入手,对应动点运动情况进行排除.
由几何动点和函数图象解决几何问题
例7 (逻辑推理、直观想象)如图(1),在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y(当P,A,B三点共线时,不妨设y=0),若y与x之间的函数图象如图(2)所示,则矩形ABCD的面积为 . 【思路分析】 通过分析图象可知,当0≤x≤4时,点P在AB上;当4
第二节 一次函数的图象与性质
考点 1 一次函数与正比例函数的一般形式考点 2 一次函数的图象与性质考点 3 一次函数解析式的确定考点 4 与方程(组)、不等式的关系
命题角度 1 一次函数解析式的确定命题角度 2 一次函数的图象与性质命题角度 3 一次函数与一次方程(组)、不等 式的关系
一次函数与正比例函数的一般形式
1.正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b的图象与性质
k,b符号的确定方法1.一次函数图象从左向右看:呈上升趋势⇔k>0;呈下降趋势⇔k<0.2.一次函数的图象与y轴的交点:在正半轴⇔b>0;在负半轴⇔b<0.
2.一次函数图象的平移图象的平移规律可简记为:左加右减,上加下减.
与方程(组)、不等式的关系
kx+b>k1x+b1
例1 [2019四川乐山]如图,过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积. 【思路分析】 (1)先求点P的坐标,再结合点B的坐标,利用待定系数法求直线l1的解析式.(2)先求点C,A的坐标,再结合S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC进行求解.
解:(1)∵点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,∴2×(-1)+4=a,即a=2,∴P(-1,2).设直线l1的解析式为y=kx+b,将B(1,0),P(-1,2)分别代入,得 解得故直线l1的解析式为y=-x+1.(2)易知C(0,1).对于y=2x+4,令y=0,得x=-2,∴A(-2,0),∴S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC= ×3×2- ×1×1= .
利用待定系数法求一次函数解析式的方法1.求正比例函数的解析式时,只要代入图象上一个点的坐标即可,因为正比例函数只有一个待定系数.2.求一次函数(非正比例函数)的解析式时,需要代入图象上两个点的坐标.3.若已知一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标,则b值已知,故代入图象上一个点(非与y轴交点)的坐标即可求解.
例2 (逻辑推理)将直线y=kx向下平移3个单位长度后得到直线l,直线l不经过第二象限,则下列说法正确的是 ( )A.直线l与y轴的交点的坐标为(0,3)B.k<0C.在直线l的解析式中,y随x的增大而减小D.若点A(1,y1),B(-2,y2)在直线l上,则y1>y2【思路分析】 根据平移的规律得到直线l的解析式为y=kx-3.因为直线l的解析式中,b=-3<0,所以直线l与y轴交于负半轴,结合直线l不经过第二象限,画出直线l的大致图象如图所示,并分析如下:
解决一次函数的图象与性质题的策略1.在平面直角坐标系中,只需描出两个点即可画出一次函数的图象.特殊地,由于正比例函数图象过原点,故只需描出另外一个点即可画出正比例函数的图象.2.由于一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,b),因此根据一次函数图象与y轴的交点的坐标,即可确定b的值.3.确定一次函数y=kx+b的图象经过的象限的方法:先根据b的值确定其图象与y轴交点的位置,再根据k的正负确定其图象是“/”型还是“\”型,即可确定该函数图象经过的象限.
一次函数与一次方程(组)、不等式的关系
例3 [2019贵州贵阳中考改编]在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示.(1)求关于x,y的方程组 的解;(2)不等式组0根据两函数图象确定不等式解集的方法1.先确定关键点的坐标.如图,点A即为关键点.2.在关键点左右两侧观察图象的位置.如图,在点A左侧,直线l1在直线l2下方,则y1y2,故x>xA即为不等式k1x>k2x+b的解集.
第三节 一次函数的实际应用
考点 一次函数的实际应用
命题角度 1 方案选取型问题命题角度 2 方案设计型问题命题角度 3 行程问题命题角度 4 物资调运问题
1.含有一次函数图象的实际问题
2.不含一次函数图象的实际问题(1)一般解题步骤:①设出问题中的变量,弄清自变量和因变量;②建立一次函数模型(列一次函数解析式);③确定自变量的取值范围;④利用一次函数的性质解决实际问题;⑤作答.(2)实际问题中的最大值、最小值在一次函数的实际应用题中,自变量的取值范围一般有一定的限制,所以对应的函数图象是线段或射线,一般根据一次函数的增减性即可求出函数的最大值或最小值.
例1 甲、乙两家超市举行为期一个月的感恩回馈客户活动,活动期间,两家超市将对销售的同品种同价格的车厘子推出优惠方案.甲超市的优惠方案:顾客可以先办理会员卡,购买的车厘子六折优惠;乙超市的优惠方案:顾客购买的车厘子超过一定数量后,超过部分打折优惠.活动期间,某顾客购买车厘子的质量为x千克,在甲超市所需总费用为y甲元,在乙超市所需总费用为y乙元,y甲,y乙与x之间的函数关系的图象如图所示,折线OAB表示y乙与x之间的函数关系图象.(1)甲超市办理会员卡的费用是 元,两家超市优 惠前的车厘子的单价是 元. (2)当x>10时,求y乙关于x的函数解析式.(3)当顾客在活动期间一次性购买m千克车厘子时,该怎样选择花费较少?
【思路分析】 (1)函数y甲的图象与y轴的交点→甲超市办理会员卡的费用;函数y乙的图象的折点→两家超市优惠前的车厘子的单价.(2)利用待定系数法求解:设出当x>10时y乙关于x的函数解析式→把点A,B的坐标分别代入求解.(3)求出函数y甲与y乙图象的两个交点 判断每个区域内两函数图象的上、下位置关系,分类讨论即可.【自主解答】
解:(1)60 30解法提示:由图象可得,甲超市办理会员卡的费用是60元,两家超市优惠前的车厘子的单价是300÷10=30(元).
(2)当x>10时,设y乙关于x的函数解析式是y乙=kx+b,将(10,300),(25,480)分别代入, 即当x>10时,y乙关于x的函数解析式是y乙=12x+180.(3)由题意可得,y甲=60+30×0.6m=18m+60.当010时,令12m+180=18m+60,得m=20.结合图象可知:当020时,选择乙超市花费较少;当5y2的解集,再根据结果进行选取;②方法二:画出函数图象,求出交点坐标,再利用图象的上、下位置关系进行判断.
例2 [2019河南省实验三模]某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如下表所示:(1)若商场预计进货款为3 500元,且恰好用完,则这两种台灯各购进多少盏?(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯后获利最多,此时利润为多少元?
【思路分析】 (1)设商场应购进A型台灯m盏,则购进B型台灯(100-m)盏,根据“购进A型台灯的总金额+购进B型台灯的总金额=3 500元”,列方程求解即可.(2)设当商场购进A型台灯x盏时,销售完这批台灯后可获利y元,先根据“总利润=销售完A型台灯的利润+销售完B型台灯的利润”,列出y关于x的函数解析式,再根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”,列不等式,求出x的取值范围,最后利用一次函数的性质,求得y的最大值.【自主解答】
解:(1)设商场应购进A型台灯m盏,则购进B型台灯(100-m)盏,根据题意,得30m+50(100-m)=3 500,解得m=75,
100-75=25(盏).答:应购进A型台灯75盏,B型台灯25盏.(2)设当商场购进A型台灯x盏时,销售完这批台灯后可获利y元,则y=(45-30)x+(70-50)(100-x)=15x+2 000-20x=-5x+2 000.∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,∴100-x≤3x,∴x≥25.∵-5<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=25时,y取得最大值,此时y=-5×25+2 000=1 875.答:当商场购进A型台灯25盏、B型台灯75盏时,才能使销售完这批台灯后获利最多,此时利润为1 875元.
方案设计型问题的求解策略方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题,解题时一般先根据题意求出函数解析式,然后由图象、题干信息或列不等式求得自变量的取值范围,再利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值,从而设计出符合要求的方案.
例3 如图(1),N地在M地和P地之间,甲、乙两车分别从M地和N地向P地同向而行,两车同时出发,并分别以各自的速度匀速行驶,结果乙车比甲车晚到0.6小时.甲、乙两车距N地的路程y(千米)与甲车行驶所用的时间x(小时)之间的关系如图(2)所示.结合图象信息解答下列问题:(1)甲车的速度是 千米/时,乙车的 速度是 千米/时. (2)求图(2)中BC所在直线的函数解析式.(3)求点E的坐标,并说明点E的实际意义.(4)当甲车出发多长时间时,甲、乙两车相距20千米?请你直接写出答案.
【思路分析】 (1)结合图象,求出甲车从M地到N地的行驶路程与所用时间、乙车从N地到P地的行驶路程与所用时间,再利用速度= 求解即可.(2)利用待定系数法求解:设出BC所在直线的函数解析式→求得点B,C的坐标→代入求解.(3)求直线OD的解析式→与直线BC的解析式联立→点E的坐标;在点E处,甲、乙两车到N地的距离相等,即甲、乙两车相遇.(4)分两种情况讨论:①甲车到达P地前,|y甲-y乙|=20;②甲车到达P地后,180-y乙=20.
解:(1)90 50解法提示:由点A的坐标可知M,N两地相距90千米,N,P两地相距180千米,甲车用了1小时到达N地,则甲车的速度是90千米/时,故甲车从N地到P地用时为180÷90=2(小时),∴a=1+2=3,∴b=3+0.6=3.6,故乙车的速度为180÷3.6=50(千米/时).
(2)设BC所在直线的函数解析式为y=kx+h,将点B(1,0),C(3,180)分别代入, 故BC所在直线的函数解析式为y=90x-90.(3)易得直线OD的解析式为y=50x,
即点E的坐标为 .实际意义:当甲、乙两车出发 小时时,在距离N地 千米处相遇.(4)当甲车出发 小时时,甲、乙两车相距20千米.
行程问题的求解策略(1)行程问题中一般会给出函数图象,一般x轴表示时间,y轴表示路程.解题时,要弄清y轴表示的实际意义,从而利用数形结合思想解决实际问题.以相遇问题为例:当甲、乙两人都从A地出发同向而行,y轴表示两人离A地的距离时,若两函数图象交于点(a,b),则表示当x=a时两人相遇;当甲、乙两人分别从A,B两地出发相向而行,y轴表示甲、乙两人之间的距离时,若函数图象与x轴交于点(a,0),则表示当x=a时两人相遇;当y轴表示甲、乙两人离各自出发地的距离时,则需要结合图象想象实际运动过程解决问题.(2)解决行程问题时,可画出线段示意图分析运动过程,从而找到解题突破口.
例4 为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥,甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,若汽车每吨每千米的运费为2元,(1)设总运费为y元,求y关于x的函数解析式;(2)求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是多少元.
【思路分析】 (1)方法一(列表法):
解:(1)y=2×15x+2×25×(110-x)+2×20×(80-x)+2×20×(x-10)=-20x+8 300,即y关于x的函数解析式为y=-20x+8 300.(2)对于y=-20x+8 300,∵-20<0,且10≤x≤80,∴当x=80时,总运费最省,此时y=-20×80+8 300=6 700.故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是6 700元.
物资调运方案问题的求解策略1.用表格或图示的方法,理清数量关系;2.根据表格或图示中的数量关系列出函数解析式;3.根据题意正确确定自变量的取值范围(一般通过不等式确定);4.根据函数解析式及自变量的取值范围,结合一次函数的性质,按题设要求确定调运方案.
第四节 反比例函数
考点 1 反比例函数的相关概念考点 2 反比例函数的图象与性质考点 3 反比例函数解析式中|k|的几何意义考点 4 反比例函数解析式的确定考点 5 反比例函数的应用
命题角度 1 反比例函数的图象与性质命题角度 2 反比例函数解析式的确定命题角度 3 反比例函数中|k|的几何意义命题角度 4 反比例函数与一次函数的综合
1.反比例函数的概念一般地,如果两个变量x,y之间的关系式可以表示为y=① (k≠0,且k为常数),那么称y是x的反比例函数,它的图象是② .自变量x的取值范围为不等于0的一切实数. 2.反比例函数解析式的三种形式(k为常数且k≠0)(1)y= ;(2)y=k·x-1;(3)xy=③ .
反比例函数的图象与性质
判断反比例函数增减性时忽略象限反比例函数的图象不是连续曲线,而是两支分布在不同象限的曲线,所以要结合函数图象所在的象限来讨论函数的增减性.
反比例函数解析式中|k|的几何意义
1.|k|的几何意义:在反比例函数y= (k≠0)的图象上任取一点P(x,y),如图,过点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足分别为点M,N,则矩形PMON的面积S=|xy|=⑪ .
2.计算与双曲线上的点有关的图形的面积
反比例函数解析式的确定
1.利用待定系数法确定 (1)设所求反比例函数的解析式为y= (k≠0); (2)找出此函数图象上一点P(a,b); (3)确定反比例函数的解析式为y= .2.利用反比例函数解析式中|k|的几何意义确定 先根据题中图形面积及|k|的几何意义,求得|k|,再根据函数图象所在象限确定k的符号,从而确定k的值.
实际问题中的反比例函数,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图象会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围.
2.与一次函数结合的综合应用
例1 已知反比例函数y=- ,有下列结论:①图象必经过点(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④反比例函数的图象关于直线y=x对称;⑤若点(x1,y1),(x2,y2)均在该函数的图象上,且x1>x2>0,则y1
例2 [2020山东德州]函数y= 和y=-kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
【思路分析】 方法一:分k>0和k<0两种情况分析一次函数图象和反比例函数图象所在的象限,再结合各选项中的图象进行判断.方法二:由一次函数解析式可知其图象与y轴交于正半轴,故排除选项A,C;再逐项分析选项B,D,分别根据一次函数和反比例函数图象判断k的符号,若k的符号一致则符合题意.
判断同一坐标系中的函数图象的两种方法此类问题一般不直接给出函数的解析式,但两个函数解析式中含有相同参数,要求考生分析两个函数在同一坐标系中可能的图象是哪个,常以选择题的形式呈现.解此类问题有两种方法.1.分类讨论:从题干出发,对参数的符号进行分类讨论,分别画出当参数大于0和小于0时的图象,再与题目中给出的选项进行对比.此法适用于两个函数中只含有同一个参数的情况.2.排除法:从选项出发,观察分析函数图象的特征,得出每个选项中字母系数的取值范围,再逐项分析,排除自相矛盾的选项.此方法更为常用.
例3 [2019贵州遵义]如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为4,2,反比例函数y= (x>0)的图象经过A,B两点,若菱形ABCD的面积为2 ,则k的值为( )A.2B.3C.4D.6【思路分析】 过点A作x轴的垂线,交CB的延长线于点E,求得AE的长,再根据菱形的面积,求得AB的长,继而求得BE的长,最后根据A,B两点的纵坐标,列关于k的方程,求解即可.
反比例函数中|k|的几何意义
例4 [2020黑龙江牡丹江]如图,点A在反比例函数y1= (x>0)的图象上,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,交反比例函数y2= (x>0)的图象于点C.P为y轴上一点,连接PA,PC,则△APC的面积为( )A.5 B.6 C.11 D.12 【思路分析】 连接OA,OC,将求△APC的面积转化为求△AOC的面积,再利用反比例函数中|k|的几何意义及S△AOC=S△OAB-S△OBC求解即可.
例5 如图,点A是反比例函数y= (x>0)的图象上任意一点,过点A作AB∥x轴,交反比例函数y= (x<0)的图象于点B,以AB为边作▱ABCD,点C,D在x轴上.若S▱ABCD=5,则k= .【思路分析】 分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为点E,F,根据S矩形ABFE=S▱ABCD及|k|的几何意义,求得k的值,最后判断k的符号.
反比例函数与一次函数的综合
例6 [2019湖北襄阳]如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2= 的图象在第一、三象限分别交于A(3,4),B(a,-2)两点,直线AB与y轴、x轴分别交于C,D两点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)比较大小:AD BC(填“>”“<”或“=”); (3)直接写出y1
第五节 二次函数的图象与性质
考点 1 二次函数的概念考点 2 二次函数的图象与性质考点 3 二次函数解析式的确定考点 4 二次函数图象的变换考点 5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
命题角度 1 二次函数的图象与性质命题角度 2 二次函数图象与系数a,b,c的关系命题角度 3 二次函数图象的平移命题角度 4 二次函数与一元二次方程、不等式(组) 的关系命题角度 5 用待定系数法求二次函数解析式命题角度 6 二次函数综合题
一般地,形如 y=① (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.特别地,当b=c=0时,y=ax2(a≠0)是二次函数的特殊形式.
如果明确指出函数是二次函数,那么就隐含了二次项系数不为0这一重要条件.
1.二次函数的图象与性质
2.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c之间的关系
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种,在确定二次函数的解析式时,要根据题中不同的已知条件,设出相应的解析式,再利用待定系数法进行求解.
1.平移变换(1)步骤①先把抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;②保持抛物线的形状(开口方向和开口大小)不变,即a不变,平移顶点即可.(2)平移规律
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c与㉘ 交点的横坐标.
*2.二次函数与不等式的关系
例1 (逻辑推理)[2019福建]若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D( ,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法1.代入比较法:若已知二次函数的解析式,可将各点的横坐标代入解析式,求出各点的纵坐标,继而比较大小.2.增减性比较法:利用二次函数图象的对称性,将已知点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性比较大小.3.距离比较法:根据点到对称轴的距离比较大小,具体如下.对于二次函数y=ax2+bx+c:①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1);②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2).
二次函数图象与系数a,b,c的关系
例2 [2020山东菏泽]一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 【思路分析】 根据一次函数和二次函数的图象逐项分析ac,b的符号,若符号一致,则符合题意.
例3 [2020山东滨州]对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论:①abc<0,②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数),⑥当x<-1时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
【思路分析】分析如下:
解有关抛物线与系数a,b,c关系的题的一般步骤1.先根据抛物线开口方向判断a:开口向上,则a>0,开口向下,则a<0.2.由a和对称轴的位置判断b:一般规律是“左同右异”,即对称轴在y轴左侧,a,b同号;对称轴在y轴右侧,a,b异号.3.由抛物线与y轴的交点位置判断c:交于正半轴,则c>0;交于负半轴,则c<0;交于原点,则c=0.4.结合a,b,c 判断ab,ac,bc,abc.5.由抛物线与x 轴交点的个数判断b2-4ac 与0的关系.6.特殊式子的判断:看到a+b+c,令x=1,看纵坐标;看到a-b+c,令x=-1,看纵坐标;看到4a+2b+c,令x=2,看纵坐标;看到4a-2b+c,令x=-2,看纵坐标.7.结合对称轴与直线x=1的位置关系,即- >1或- <1,判断2a+b的符号;结合对称轴与直线x=-1的位置关系,即- >-1或- <-1,判断2a-b的符号.
例4 将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3【思路分析】 方法一:平移前抛物线的顶点坐标为(0,1)→平移后抛物线的顶点坐标为(-1,-1) 平移后抛物线的解析式为y=-5(x+1)2-1.方法二:直接利用“上加下减常数项,左加右减自变量”的平移规律求出平移后抛物线的解析式,即y=-5x2+1 y=-5(x+1)2+1-2.
确定平移后抛物线的解析式的方法1.平移顶点法(1)将抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,得到顶点坐标(h,k);(2)将点(h,k)平移,得到平移后抛物线的顶点;(3)利用顶点式的求法确定平移后抛物线的解析式.2.平移任意两点法先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.3.直接法针对一般式,直接进行“上加下减常数项,左加右减自变量”.如将抛物线y=ax2+bx向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线y=ax2+bx-k;向右平移h(h>0)个单位,得到抛物线y=a(x-h)2+b(x-h).
二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系
例5 [2020湖北荆门]若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根C.有两个实数根,一个大于1,另一个小于1D.没有实数根【思路分析】 根据题意画出抛物线的大致图象,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的根,结合图象即可得出结论.
例6 [2019山东济宁]如图,抛物线y=ax2+c与直线 y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是 . 【思路分析】 不等式可变形为ax2+c>-mx+n,先画出直线y=mx+n关于y轴的对称图形,即直线y=-mx+n,再寻找抛物线在直线y=-mx+n上方的部分对应的自变量的取值范围,即可得出结论.
利用函数图象确定不等式的解集的方法已知函数y1,y2的图象:(1)求y1>y2的解集,即是求函数y1的图象在函数y2的图象上方部分所对应的自变量的取值范围;(2)求y1
例7 [2019湖南永州中考改编]已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1.求此抛物线的解析式.【思路分析】 方法一(交点式):先求出抛物线与x轴的另一个交点,再利用交点式设出抛物线的解析式,最后将点B的坐标代入,即可得解.方法二(顶点式):根据抛物线的对称轴,设出抛物线的顶点式,再将A,B两点的坐标分别代入,即可得解.【自主解答】
解:方法一(交点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点为A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),把B(0,3)代入,得3=-3a,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3),即y=-x2-2x+3.方法二(顶点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将A(-3,0),B(0,3)分别代入,故抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
巧设二次函数解析式的方法用待定系数法求二次函数的解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出二次函数的解析式,再代入点的坐标进行求解.方法如下:(1)已知二次函数图象上三个点的坐标,可设为一般式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0);(2)已知二次函数图象的顶点坐标(或对称轴、最值),可设为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)已知二次函数图象与x轴交点的(横)坐标,可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).
例8 [2020湖南衡阳]在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).(1)求这个二次函数的表达式;(2)求当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3
解:(1)方法一:将(-1,0),(2,0)分别代入y=x2+px+q,∴这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.
方法二:∵二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0),∴该二次函数的解析式为y=(x+1)(x-2),即y=x2-x-2. (2)∵二次函数y=x2-x-2的图象过点(-1,0),(2,0),∴二次函数y=x2-x-2图象的对称轴为直线x= ,∴当-2≤x≤1时,y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为∴当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差为
(3)令(2-m)x+2-m=x2-x-2,整理,得x2+(m-3)x+m-4=0,解得x1=-1,x2=4-m.∵a<33,∴m<1.
第六节 二次函数的应用
考点 利用二次函数解决最值问题
命题角度 1 利用二次函数解决几何图形中的最值问题命题角度 2 利用二次函数解决销售中的最值问题
利用二次函数解决最值问题
利用二次函数知识解决最值问题的一般步骤:(1)理解题意,分析问题中的变量与常量之间的关系;(2)根据实际问题或几何知识列出二次函数解析式;(3)结合二次函数的图象与性质在自变量的取值范围内求出函数的最值;(4)检验结果的合理性,得出结论.
利用二次函数解决几何图形中的最值问题
例1 [2019黑龙江大庆]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑点D与点B,A重合的情况),运动速度为2 cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x s,AE的长为y cm.(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.(2)当x为何值时,△BDE的面积S取最大值?最大值为多少?
【思路分析】 (1)由DE∥BC,得△ADE∽△ABC,得到 ,再列关于x,y的等式,变形后即可得解;(2)由S= BD·AE,得到函数解析式,然后运用二次函数的性质求解.【自主解答】
解:(1)易知BD=2x cm.∵AB=8 cm,∴AD=(8-2x)cm.由DE∥BC,得△ADE∽△ABC,∴y=- x+6(0
例2 [2020山东滨州]某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?
【思路分析】 (1)根据“月销售量=500-10×(售价-50)”计算即可.(2)根据“月利润=(售价-进价)×月销售量”及(1)中的等量关系列方程求解即可.(3)求出月利润与水果售价之间的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可.【自主解答】
解:(1)当售价为55元/千克时,每月销售量为500-10×(55-50)=500-50=450(千克).(2)设每千克水果售价为x元,由题意,得(x-40)[500-10(x-50)]=8 750,即-10x2+1 400x-40 000=8 750,
整理,得x2-140x=-4 875,配方,得(x-70)2=4 900-4 875,解得x1=65,x2=75,∴当月利润为8 750元时,每千克水果售价为65元或75元.(3)设月利润为y元,每千克水果售价为x元,由题意,得y=(x-40)[500-10(x-50)],即y=-10x2+1 400x-40 000(40≤x≤100),配方,得y=-10(x-70)2+9 000,∵-10<0,∴当x=70时,y取最大值,∴当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大.
利用二次函数的性质求最大利润的一般思路(1)根据“总利润=(售价-进价)×销售量”或“总利润=售价×销售量-总成本”列出二次函数解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;(2)将二次函数解析式化为顶点式,在自变量的取值范围内,利用二次函数的性质求最值,求解时应注意:①若顶点的横坐标在自变量的取值范围内,则一般在顶点处取得最值(注意结合函数图象及题意具体情况具体分析);②若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,则需结合二次函数的图象,利用二次函数的增减性,在自变量的取值范围内求出函数的最值.注意:在售价变化引起销量变化的问题中,要弄清楚自变量x代表的是售价还是上涨(下降)的量.
高分突破·微专项1 平面直角坐标系中三 角形面积的计算
一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形的面积的计算
三边都不在坐标轴上且都不与坐标轴平行的三角形的面积的计算
例 [2020四川达州]如图,点A,B在反比例函数y= (x>0)的图象上,点A,B的纵坐标分别是3和6,连接OA,OB,AB,则△OAB的面积是 .【思路分析】 由题易得A(4,3),B(2,6).方法一:如图(1),根据S△OAB= AC×yB求解即可.方法二:如图(2),过点B作BC∥y轴,交OA于点C,根据S△OAB= BC×xA求解即可.方法三:如图(3),过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,构造矩形OCED,根据S△OAB=S矩形OCED-(S△OAC+S△BOD+S△ABE)求解即可.
高分突破·微专项2 两直线垂直,“k”值积为-1
两直线垂直,“k”值积为-1
以平面直角坐标系为背景,求矩形或直角三角形的存在性问题是河南中考的热点问题,本专项主要介绍利用两直线垂直时“k”值的乘积为-1来处理这方面问题的方法.问题背景 如图(1),在平面直角坐标系中,直线l1:y=k1x+b1(k1,b1为常数,且k1≠0)与直线l2:y=k2x+b2(k2,b2为常数,且k2≠0)垂直,求k1·k2的值.
探究1 当直线l1为第一、三象限的角平分线,直线l2经过原点时,如图(2),求k1·k2的值.分析:易知直线l2为第二、四象限的角平分线,∴k2=-1.又k1=1,∴k1·k2=-1.探究2 将探究1中的直线l1,l2进行平移,平移后直线l1,l2的“k”值之积是否有变化?分析:由平移后的直线和平移前的直线是平行线,可知平移后直线l1,l2的“k”值不变,故直线l1,l2的“k”值之积不变,仍有k1·k2=-1.
探究3 当直线l1经过原点,且非第一、三象限的角平分线,直线l2经过原点时,如图(3),求k1·k2的值.分析:在直线l1上任取一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,在直线l2上任取一点C,过点C作CD⊥x轴于点D.设点A的坐标为(xA,yA),点C的坐标为(xC,yC).易证△AOB∽△OCD,又∵在函数y=kx(k≠0)中,k= ,∴|k1|=| |,∴|k1·k2|=1.又∵k1,k2异号,∴k1·k2=-1.
探究4 将探究3中的直线l1,l2平移,平移后直线l1,l2的“k”值之积是否有变化?分析:由平移后的直线和平移前的直线是平行线,可知平移后直线l1,l2的“k”值不变,故直线l1,l2的“k”值之积不变,仍有k1·k2=-1.重要结论 如果直线l1:y1=k1x+b1(k1,b1为常数,且k1≠0)与直线l2:y2=k2x+b2(k2,b2为常数,且k2≠0)互相垂直,那么k1·k2=-1.
例 [2019信阳二模改编]如图,在平面直角坐标系中,直线y= x+1与抛物线y=- x2+x+4在第一象限内交于点P,与y轴交于点D.点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内一点,是否存在这样的点Q,N,使得以P,D,Q,N四点为顶点的四边形是以DP为边的矩形?如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.【思路分析】
解:存在.分两种情况讨论.①当DQ⊥DP时,如图(1),设直线DQ的解析式为y=k1x+b1.∵DQ⊥DP,∴kDQ·kDP=-1,∴kDQ=- .
将D(0,1)代入y=- x+b1,得b1=1,故直线DQ的解析式为y=- x+1.令- x+1=0,解得x= ,∴Q( ,0).令 x+1=- x2+x+4,整理,得x2+x-6=0,解得x1=2,x2=-3.∵点P在第一象限,∴点P的横坐标是2.
将x=2代入y= x+1,得y=4,故P(2,4).根据矩形的性质,可将点P先向右平移 个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点N,∴N( ,3).②当QP⊥DP时,如图(2),设直线PQ的解析式为y=- x+b2,将P(2,4)代入,得b2= ,故直线PQ的解析式为y=- x+ .
令- x+ =0,解得x=8,∴Q(8,0).根据矩形的性质,可将点D先向右平移6个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点N,∴N(6,-3).综上所述,满足条件的点N的坐标为( ,3)或(6,-3).
高分突破·微专项3 线段中点坐标公式
线段中点坐标公式在河南中考中的运用非常广泛,本专项主要介绍中点坐标公式的推导过程及运用.问题背景1 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),且点A,B不重合,点C为线段AB的中点,求点C的坐标.
探究1 当AB∥y轴时(不妨设点A在点B的上方),如图(1),求点C的坐标.分析:∵AB∥y轴,∴AB=yA-yB,xC=xA=xB= .∵点C是线段AB的中点,∴BC= AB= (yA-yB),∴yC=yB+BC=yB+ (yA-yB)= ,
探究2 当AB∥x轴时(不妨设点B在点A的左侧),如图(2),求点C的坐标.分析:∵AB∥x轴,∴AB=xA-xB,yC=yA=yB= .∵点C是线段AB的中点,∴BC= AB= (xA-xB),∴xC=xB+BC=xB+ (xA-xB)= ,
探究3 当AB既不与x轴平行,又不与y轴平行时(不妨设点A在点B的上方),如图(3),求点C的坐标.分析:过点A作x轴的平行线,过点B作y轴的平行线,两线交于点D,则D(xB,yA).过点C作BD的平行线,交AD于点E,作AD的平行线,交BD于点F,则CE,CF是△ABD的中位线,xC=xE,yC=yF.由探究1、探究2可知,
重要结论1 在平面直角坐标系中,线段AB的中点的横坐标为A,B两点横坐标之和的一半,纵坐标为A,B两点纵坐标之和的一半,即线段AB的中点的坐标为
问题背景2 在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的位置如图(4)所示,其中点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),点C的坐标为(xC,yC),点D的坐标为(xD,yD),则xA,xB,xC,xD之间的等量关系是什么?yA,yB,yC,yD之间的等量关系又是什么?分析:如图(4),连接AC,BD,AC与BD交于点E.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC与BD互相平分,即点E是线段AC,BD的中点,∴xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD.
重要结论2 在平面直角坐标系中,平行四边形对角顶点的横坐标之和相等,对角顶点的纵坐标之和相等,即在平行四边形ABCD中,xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD.
例 如图,抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,直线l经过点B,C,过点A作AM⊥BC于点M.点P为抛物线上一动点,点Q为直线l上一动点,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标.【思路分析】
解:过点M作MN⊥x轴于点N.对于y=-x2+6x-5,令y=0,得-x2+6x-5=0,解得x1=1,x2=5,∴A(1,0),B(5,0).对于y=-x2+6x-5,令x=0,得y=-5,∴C(0,-5).∵OC=OB=5,∴∠ABM=45°.又AM⊥BC,∴AN=BN=MN= AB= ×(5-1)=2,∴点M的坐标为(3,-2).易求直线l的解析式为y=x-5.
设P(m,-m2+6m-5),Q(n,n-5).分以下三种情况讨论.(1)当AM为平行四边形的对角线时,PQ为另一条对角线,∴xA+xM=xP+xQ,yA+yM=yP+yQ,即1+3=m+n①,-2=-m2+6m-5+n-5②,由①得n=4-m,代入②,得-2=-m2+6m-5+4-m-5,整理,得m2-5m+4=0,解得m1=1(不合题意,舍去),m2=4,故点P的横坐标为4.(2)当AP为平行四边形的对角线时,MQ为另一条对角线,
考点 1 平面直角坐标系中点的坐标特征考点 2 函数自变量的取值范围及函数值考点 3 函数的表示方法及图象的画法
课时一 平面直角坐标系中点的坐标的求法 命题角度 1 几何图形中点的坐标的计算 命题角度 2 点的坐标的规律探索课时二 函数图象的分析与判断 命题角度 3 函数图象的识别 命题角度 4 由几何动点和函数图象解决 几何问题
平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征
2.特殊位置上点的坐标特征
3.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离(如图)
点P(x,y)到x轴的距离是⑫ ; 到y轴的距离是⑬ ;到原点的距离是 .
4.平面直角坐标系内两点间的距离(1)在x轴或与x轴平行的直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离为|x1-x2|;(2)在y轴或与y轴平行的直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离为|y1-y2|.拓展:平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离是
6.点平移的坐标特征(a>0,b>0)
可简记为:左减右加,上加下减.
函数自变量的取值范围及函数值
2.函数值:若y是x的函数,且x=a时y=b,则b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函数的表示方法及图象的画法
1.函数的三种表示方法: 列表法、⑳ 、图象法. 2.函数图象的画法:列表、描点、连线. 注意:画一次函数的图象时,描出两点即可;画其他曲线,需至少描出五个点.
几何图形中点的坐标的计算
例1 (逻辑推理)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,2 ).将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为 ( )
【思路分析】 求点B1的坐标→分别求出点B1的横、纵坐标→构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数进行求解.过点B1作B1E⊥y轴于点E,连接OB1,在Rt△OB1E中,求出OB1的长度及∠B1OE的度数,再利用三角函数解题.
类型1 以图形的旋转为背景
例2 [2021原创]如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A在x轴上,且OA=7,顶点B的坐标为(10,3).将▱OABC绕原点O顺时针旋转,每次旋转45°,则第60次旋转结束时,点C的坐标为 ( )A.(5,0) B.(0,-5) C.(-4,3) D.(-3,-3)【思路分析】
类型2 以图形的滚动为背景
例3 [2019辽宁阜新]如图,在平面直角坐标系中,将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置,再到△A1B1C2的位置……依次进行下去,若已知点A(4,0),B(0,3),则点C100的坐标为（ ）【思路分析】
类型3 以点的运动为背景
例4 [2019商丘一模]在平面直角坐标系中,若干个半径为2、圆心角为60°的扇形形成了如图所示的连续的曲线(x轴上的半径除外),点P从原点O出发,沿这条曲线向右上下起伏运动,在直线上的速度为每秒2个单位长度,在弧线上的速度为每秒 个单位长度,则2 020秒时,点P的坐标是（ ）A.(2 019,0) B.(2 019, ) C.(2 020,- ) D.(2 020,0)【思路分析】先求出前几个关键点(拐点)的坐标,找出坐标规律,再依据此规律求得结论.
类型4 以图形的渐变为背景
例5 [2019湖北天门]如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3…都是菱形,点A1,A2,A3…都在x轴上,点C1,C2,C3…都在直线y= x+ 上,且∠C1OA1 =∠C2A1 A2=∠C3A2A3=…=60°,OA1=1,则点C6的坐标是 .【思路分析】第一步:确定点Cn的横坐标的变化规律;第二步:求出点C6的横坐标,代入直线C1C2的解析式,继而求得点C6的纵坐标.
点的坐标的规律探索题的求解策略点的坐标的规律探索题中,点的坐标的变化形式一般分两种:①点的坐标在同一象限内递推变化;②点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类题的步骤如下:(1)根据点的坐标的变化特点判断属于哪种变化形式;(2)根据题意求出前几个点的坐标,归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的关系;(3)两种变化形式下求第M个点的坐标的方法:第①种变化形式:根据(2)中得到的关系,得到第M个点的坐标;第②种变化形式:先确定多少次变换是一个循环,记次数为n,M÷n=p……q(0
【思路分析】结合题意,根据点P的位置分如下3种情况分析:①当0
由几何动点和函数图象解决几何问题
例7 (逻辑推理、直观想象)如图(1),在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y(当P,A,B三点共线时,不妨设y=0),若y与x之间的函数图象如图(2)所示,则矩形ABCD的面积为 . 【思路分析】 通过分析图象可知,当0≤x≤4时,点P在AB上;当4
第二节 一次函数的图象与性质
考点 1 一次函数与正比例函数的一般形式考点 2 一次函数的图象与性质考点 3 一次函数解析式的确定考点 4 与方程(组)、不等式的关系
命题角度 1 一次函数解析式的确定命题角度 2 一次函数的图象与性质命题角度 3 一次函数与一次方程(组)、不等 式的关系
一次函数与正比例函数的一般形式
1.正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b的图象与性质
k,b符号的确定方法1.一次函数图象从左向右看:呈上升趋势⇔k>0;呈下降趋势⇔k<0.2.一次函数的图象与y轴的交点:在正半轴⇔b>0;在负半轴⇔b<0.
2.一次函数图象的平移图象的平移规律可简记为:左加右减,上加下减.
与方程(组)、不等式的关系
kx+b>k1x+b1
例1 [2019四川乐山]如图,过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积. 【思路分析】 (1)先求点P的坐标,再结合点B的坐标,利用待定系数法求直线l1的解析式.(2)先求点C,A的坐标,再结合S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC进行求解.
解:(1)∵点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,∴2×(-1)+4=a,即a=2,∴P(-1,2).设直线l1的解析式为y=kx+b,将B(1,0),P(-1,2)分别代入,得 解得故直线l1的解析式为y=-x+1.(2)易知C(0,1).对于y=2x+4,令y=0,得x=-2,∴A(-2,0),∴S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC= ×3×2- ×1×1= .
利用待定系数法求一次函数解析式的方法1.求正比例函数的解析式时,只要代入图象上一个点的坐标即可,因为正比例函数只有一个待定系数.2.求一次函数(非正比例函数)的解析式时,需要代入图象上两个点的坐标.3.若已知一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标,则b值已知,故代入图象上一个点(非与y轴交点)的坐标即可求解.
例2 (逻辑推理)将直线y=kx向下平移3个单位长度后得到直线l,直线l不经过第二象限,则下列说法正确的是 ( )A.直线l与y轴的交点的坐标为(0,3)B.k<0C.在直线l的解析式中,y随x的增大而减小D.若点A(1,y1),B(-2,y2)在直线l上,则y1>y2【思路分析】 根据平移的规律得到直线l的解析式为y=kx-3.因为直线l的解析式中,b=-3<0,所以直线l与y轴交于负半轴,结合直线l不经过第二象限,画出直线l的大致图象如图所示,并分析如下:
解决一次函数的图象与性质题的策略1.在平面直角坐标系中,只需描出两个点即可画出一次函数的图象.特殊地,由于正比例函数图象过原点,故只需描出另外一个点即可画出正比例函数的图象.2.由于一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,b),因此根据一次函数图象与y轴的交点的坐标,即可确定b的值.3.确定一次函数y=kx+b的图象经过的象限的方法:先根据b的值确定其图象与y轴交点的位置,再根据k的正负确定其图象是“/”型还是“\”型,即可确定该函数图象经过的象限.
一次函数与一次方程(组)、不等式的关系
例3 [2019贵州贵阳中考改编]在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示.(1)求关于x,y的方程组 的解;(2)不等式组0
第三节 一次函数的实际应用
考点 一次函数的实际应用
命题角度 1 方案选取型问题命题角度 2 方案设计型问题命题角度 3 行程问题命题角度 4 物资调运问题
1.含有一次函数图象的实际问题
2.不含一次函数图象的实际问题(1)一般解题步骤:①设出问题中的变量,弄清自变量和因变量;②建立一次函数模型(列一次函数解析式);③确定自变量的取值范围;④利用一次函数的性质解决实际问题;⑤作答.(2)实际问题中的最大值、最小值在一次函数的实际应用题中,自变量的取值范围一般有一定的限制,所以对应的函数图象是线段或射线,一般根据一次函数的增减性即可求出函数的最大值或最小值.
例1 甲、乙两家超市举行为期一个月的感恩回馈客户活动,活动期间,两家超市将对销售的同品种同价格的车厘子推出优惠方案.甲超市的优惠方案:顾客可以先办理会员卡,购买的车厘子六折优惠;乙超市的优惠方案:顾客购买的车厘子超过一定数量后,超过部分打折优惠.活动期间,某顾客购买车厘子的质量为x千克,在甲超市所需总费用为y甲元,在乙超市所需总费用为y乙元,y甲,y乙与x之间的函数关系的图象如图所示,折线OAB表示y乙与x之间的函数关系图象.(1)甲超市办理会员卡的费用是 元,两家超市优 惠前的车厘子的单价是 元. (2)当x>10时,求y乙关于x的函数解析式.(3)当顾客在活动期间一次性购买m千克车厘子时,该怎样选择花费较少?
【思路分析】 (1)函数y甲的图象与y轴的交点→甲超市办理会员卡的费用;函数y乙的图象的折点→两家超市优惠前的车厘子的单价.(2)利用待定系数法求解:设出当x>10时y乙关于x的函数解析式→把点A,B的坐标分别代入求解.(3)求出函数y甲与y乙图象的两个交点 判断每个区域内两函数图象的上、下位置关系,分类讨论即可.【自主解答】
解:(1)60 30解法提示:由图象可得,甲超市办理会员卡的费用是60元,两家超市优惠前的车厘子的单价是300÷10=30(元).
(2)当x>10时,设y乙关于x的函数解析式是y乙=kx+b,将(10,300),(25,480)分别代入, 即当x>10时,y乙关于x的函数解析式是y乙=12x+180.(3)由题意可得,y甲=60+30×0.6m=18m+60.当0
例2 [2019河南省实验三模]某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如下表所示:(1)若商场预计进货款为3 500元,且恰好用完,则这两种台灯各购进多少盏?(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯后获利最多,此时利润为多少元?
【思路分析】 (1)设商场应购进A型台灯m盏,则购进B型台灯(100-m)盏,根据“购进A型台灯的总金额+购进B型台灯的总金额=3 500元”,列方程求解即可.(2)设当商场购进A型台灯x盏时,销售完这批台灯后可获利y元,先根据“总利润=销售完A型台灯的利润+销售完B型台灯的利润”,列出y关于x的函数解析式,再根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”,列不等式,求出x的取值范围,最后利用一次函数的性质,求得y的最大值.【自主解答】
解:(1)设商场应购进A型台灯m盏,则购进B型台灯(100-m)盏,根据题意,得30m+50(100-m)=3 500,解得m=75,
100-75=25(盏).答:应购进A型台灯75盏,B型台灯25盏.(2)设当商场购进A型台灯x盏时,销售完这批台灯后可获利y元,则y=(45-30)x+(70-50)(100-x)=15x+2 000-20x=-5x+2 000.∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,∴100-x≤3x,∴x≥25.∵-5<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=25时,y取得最大值,此时y=-5×25+2 000=1 875.答:当商场购进A型台灯25盏、B型台灯75盏时,才能使销售完这批台灯后获利最多,此时利润为1 875元.
方案设计型问题的求解策略方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题,解题时一般先根据题意求出函数解析式,然后由图象、题干信息或列不等式求得自变量的取值范围,再利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值,从而设计出符合要求的方案.
例3 如图(1),N地在M地和P地之间,甲、乙两车分别从M地和N地向P地同向而行,两车同时出发,并分别以各自的速度匀速行驶,结果乙车比甲车晚到0.6小时.甲、乙两车距N地的路程y(千米)与甲车行驶所用的时间x(小时)之间的关系如图(2)所示.结合图象信息解答下列问题:(1)甲车的速度是 千米/时,乙车的 速度是 千米/时. (2)求图(2)中BC所在直线的函数解析式.(3)求点E的坐标,并说明点E的实际意义.(4)当甲车出发多长时间时,甲、乙两车相距20千米?请你直接写出答案.
【思路分析】 (1)结合图象,求出甲车从M地到N地的行驶路程与所用时间、乙车从N地到P地的行驶路程与所用时间,再利用速度= 求解即可.(2)利用待定系数法求解:设出BC所在直线的函数解析式→求得点B,C的坐标→代入求解.(3)求直线OD的解析式→与直线BC的解析式联立→点E的坐标;在点E处,甲、乙两车到N地的距离相等,即甲、乙两车相遇.(4)分两种情况讨论:①甲车到达P地前,|y甲-y乙|=20;②甲车到达P地后,180-y乙=20.
解:(1)90 50解法提示:由点A的坐标可知M,N两地相距90千米,N,P两地相距180千米,甲车用了1小时到达N地,则甲车的速度是90千米/时,故甲车从N地到P地用时为180÷90=2(小时),∴a=1+2=3,∴b=3+0.6=3.6,故乙车的速度为180÷3.6=50(千米/时).
(2)设BC所在直线的函数解析式为y=kx+h,将点B(1,0),C(3,180)分别代入, 故BC所在直线的函数解析式为y=90x-90.(3)易得直线OD的解析式为y=50x,
即点E的坐标为 .实际意义:当甲、乙两车出发 小时时,在距离N地 千米处相遇.(4)当甲车出发 小时时,甲、乙两车相距20千米.
行程问题的求解策略(1)行程问题中一般会给出函数图象,一般x轴表示时间,y轴表示路程.解题时,要弄清y轴表示的实际意义,从而利用数形结合思想解决实际问题.以相遇问题为例:当甲、乙两人都从A地出发同向而行,y轴表示两人离A地的距离时,若两函数图象交于点(a,b),则表示当x=a时两人相遇;当甲、乙两人分别从A,B两地出发相向而行,y轴表示甲、乙两人之间的距离时,若函数图象与x轴交于点(a,0),则表示当x=a时两人相遇;当y轴表示甲、乙两人离各自出发地的距离时,则需要结合图象想象实际运动过程解决问题.(2)解决行程问题时,可画出线段示意图分析运动过程,从而找到解题突破口.
例4 为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥,甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,若汽车每吨每千米的运费为2元,(1)设总运费为y元,求y关于x的函数解析式;(2)求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是多少元.
【思路分析】 (1)方法一(列表法):
解:(1)y=2×15x+2×25×(110-x)+2×20×(80-x)+2×20×(x-10)=-20x+8 300,即y关于x的函数解析式为y=-20x+8 300.(2)对于y=-20x+8 300,∵-20<0,且10≤x≤80,∴当x=80时,总运费最省,此时y=-20×80+8 300=6 700.故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是6 700元.
物资调运方案问题的求解策略1.用表格或图示的方法,理清数量关系;2.根据表格或图示中的数量关系列出函数解析式;3.根据题意正确确定自变量的取值范围(一般通过不等式确定);4.根据函数解析式及自变量的取值范围,结合一次函数的性质,按题设要求确定调运方案.
第四节 反比例函数
考点 1 反比例函数的相关概念考点 2 反比例函数的图象与性质考点 3 反比例函数解析式中|k|的几何意义考点 4 反比例函数解析式的确定考点 5 反比例函数的应用
命题角度 1 反比例函数的图象与性质命题角度 2 反比例函数解析式的确定命题角度 3 反比例函数中|k|的几何意义命题角度 4 反比例函数与一次函数的综合
1.反比例函数的概念一般地,如果两个变量x,y之间的关系式可以表示为y=① (k≠0,且k为常数),那么称y是x的反比例函数,它的图象是② .自变量x的取值范围为不等于0的一切实数. 2.反比例函数解析式的三种形式(k为常数且k≠0)(1)y= ;(2)y=k·x-1;(3)xy=③ .
反比例函数的图象与性质
判断反比例函数增减性时忽略象限反比例函数的图象不是连续曲线,而是两支分布在不同象限的曲线,所以要结合函数图象所在的象限来讨论函数的增减性.
反比例函数解析式中|k|的几何意义
1.|k|的几何意义:在反比例函数y= (k≠0)的图象上任取一点P(x,y),如图,过点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足分别为点M,N,则矩形PMON的面积S=|xy|=⑪ .
2.计算与双曲线上的点有关的图形的面积
反比例函数解析式的确定
1.利用待定系数法确定 (1)设所求反比例函数的解析式为y= (k≠0); (2)找出此函数图象上一点P(a,b); (3)确定反比例函数的解析式为y= .2.利用反比例函数解析式中|k|的几何意义确定 先根据题中图形面积及|k|的几何意义,求得|k|,再根据函数图象所在象限确定k的符号,从而确定k的值.
实际问题中的反比例函数,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图象会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围.
2.与一次函数结合的综合应用
例1 已知反比例函数y=- ,有下列结论:①图象必经过点(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④反比例函数的图象关于直线y=x对称;⑤若点(x1,y1),(x2,y2)均在该函数的图象上,且x1>x2>0,则y1
例2 [2020山东德州]函数y= 和y=-kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
【思路分析】 方法一:分k>0和k<0两种情况分析一次函数图象和反比例函数图象所在的象限,再结合各选项中的图象进行判断.方法二:由一次函数解析式可知其图象与y轴交于正半轴,故排除选项A,C;再逐项分析选项B,D,分别根据一次函数和反比例函数图象判断k的符号,若k的符号一致则符合题意.
判断同一坐标系中的函数图象的两种方法此类问题一般不直接给出函数的解析式,但两个函数解析式中含有相同参数,要求考生分析两个函数在同一坐标系中可能的图象是哪个,常以选择题的形式呈现.解此类问题有两种方法.1.分类讨论:从题干出发,对参数的符号进行分类讨论,分别画出当参数大于0和小于0时的图象,再与题目中给出的选项进行对比.此法适用于两个函数中只含有同一个参数的情况.2.排除法:从选项出发,观察分析函数图象的特征,得出每个选项中字母系数的取值范围,再逐项分析,排除自相矛盾的选项.此方法更为常用.
例3 [2019贵州遵义]如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为4,2,反比例函数y= (x>0)的图象经过A,B两点,若菱形ABCD的面积为2 ,则k的值为( )A.2B.3C.4D.6【思路分析】 过点A作x轴的垂线,交CB的延长线于点E,求得AE的长,再根据菱形的面积,求得AB的长,继而求得BE的长,最后根据A,B两点的纵坐标,列关于k的方程,求解即可.
反比例函数中|k|的几何意义
例4 [2020黑龙江牡丹江]如图,点A在反比例函数y1= (x>0)的图象上,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,交反比例函数y2= (x>0)的图象于点C.P为y轴上一点,连接PA,PC,则△APC的面积为( )A.5 B.6 C.11 D.12 【思路分析】 连接OA,OC,将求△APC的面积转化为求△AOC的面积,再利用反比例函数中|k|的几何意义及S△AOC=S△OAB-S△OBC求解即可.
例5 如图,点A是反比例函数y= (x>0)的图象上任意一点,过点A作AB∥x轴,交反比例函数y= (x<0)的图象于点B,以AB为边作▱ABCD,点C,D在x轴上.若S▱ABCD=5,则k= .【思路分析】 分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为点E,F,根据S矩形ABFE=S▱ABCD及|k|的几何意义,求得k的值,最后判断k的符号.
反比例函数与一次函数的综合
例6 [2019湖北襄阳]如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2= 的图象在第一、三象限分别交于A(3,4),B(a,-2)两点,直线AB与y轴、x轴分别交于C,D两点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)比较大小:AD BC(填“>”“<”或“=”); (3)直接写出y1
第五节 二次函数的图象与性质
考点 1 二次函数的概念考点 2 二次函数的图象与性质考点 3 二次函数解析式的确定考点 4 二次函数图象的变换考点 5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
命题角度 1 二次函数的图象与性质命题角度 2 二次函数图象与系数a,b,c的关系命题角度 3 二次函数图象的平移命题角度 4 二次函数与一元二次方程、不等式(组) 的关系命题角度 5 用待定系数法求二次函数解析式命题角度 6 二次函数综合题
一般地,形如 y=① (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.特别地,当b=c=0时,y=ax2(a≠0)是二次函数的特殊形式.
如果明确指出函数是二次函数,那么就隐含了二次项系数不为0这一重要条件.
1.二次函数的图象与性质
2.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c之间的关系
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种,在确定二次函数的解析式时,要根据题中不同的已知条件,设出相应的解析式,再利用待定系数法进行求解.
1.平移变换(1)步骤①先把抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;②保持抛物线的形状(开口方向和开口大小)不变,即a不变,平移顶点即可.(2)平移规律
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c与㉘ 交点的横坐标.
*2.二次函数与不等式的关系
例1 (逻辑推理)[2019福建]若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D( ,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法1.代入比较法:若已知二次函数的解析式,可将各点的横坐标代入解析式,求出各点的纵坐标,继而比较大小.2.增减性比较法:利用二次函数图象的对称性,将已知点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性比较大小.3.距离比较法:根据点到对称轴的距离比较大小,具体如下.对于二次函数y=ax2+bx+c:①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1);②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2).
二次函数图象与系数a,b,c的关系
例2 [2020山东菏泽]一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 【思路分析】 根据一次函数和二次函数的图象逐项分析ac,b的符号,若符号一致,则符合题意.
例3 [2020山东滨州]对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论:①abc<0,②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数),⑥当x<-1时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
【思路分析】分析如下:
解有关抛物线与系数a,b,c关系的题的一般步骤1.先根据抛物线开口方向判断a:开口向上,则a>0,开口向下,则a<0.2.由a和对称轴的位置判断b:一般规律是“左同右异”,即对称轴在y轴左侧,a,b同号;对称轴在y轴右侧,a,b异号.3.由抛物线与y轴的交点位置判断c:交于正半轴,则c>0;交于负半轴,则c<0;交于原点,则c=0.4.结合a,b,c 判断ab,ac,bc,abc.5.由抛物线与x 轴交点的个数判断b2-4ac 与0的关系.6.特殊式子的判断:看到a+b+c,令x=1,看纵坐标;看到a-b+c,令x=-1,看纵坐标;看到4a+2b+c,令x=2,看纵坐标;看到4a-2b+c,令x=-2,看纵坐标.7.结合对称轴与直线x=1的位置关系,即- >1或- <1,判断2a+b的符号;结合对称轴与直线x=-1的位置关系,即- >-1或- <-1,判断2a-b的符号.
例4 将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3【思路分析】 方法一:平移前抛物线的顶点坐标为(0,1)→平移后抛物线的顶点坐标为(-1,-1) 平移后抛物线的解析式为y=-5(x+1)2-1.方法二:直接利用“上加下减常数项,左加右减自变量”的平移规律求出平移后抛物线的解析式,即y=-5x2+1 y=-5(x+1)2+1-2.
确定平移后抛物线的解析式的方法1.平移顶点法(1)将抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,得到顶点坐标(h,k);(2)将点(h,k)平移,得到平移后抛物线的顶点;(3)利用顶点式的求法确定平移后抛物线的解析式.2.平移任意两点法先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.3.直接法针对一般式,直接进行“上加下减常数项,左加右减自变量”.如将抛物线y=ax2+bx向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线y=ax2+bx-k;向右平移h(h>0)个单位,得到抛物线y=a(x-h)2+b(x-h).
二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系
例5 [2020湖北荆门]若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根C.有两个实数根,一个大于1,另一个小于1D.没有实数根【思路分析】 根据题意画出抛物线的大致图象,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的根,结合图象即可得出结论.
例6 [2019山东济宁]如图,抛物线y=ax2+c与直线 y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是 . 【思路分析】 不等式可变形为ax2+c>-mx+n,先画出直线y=mx+n关于y轴的对称图形,即直线y=-mx+n,再寻找抛物线在直线y=-mx+n上方的部分对应的自变量的取值范围,即可得出结论.
利用函数图象确定不等式的解集的方法已知函数y1,y2的图象:(1)求y1>y2的解集,即是求函数y1的图象在函数y2的图象上方部分所对应的自变量的取值范围;(2)求y1
例7 [2019湖南永州中考改编]已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1.求此抛物线的解析式.【思路分析】 方法一(交点式):先求出抛物线与x轴的另一个交点,再利用交点式设出抛物线的解析式,最后将点B的坐标代入,即可得解.方法二(顶点式):根据抛物线的对称轴,设出抛物线的顶点式,再将A,B两点的坐标分别代入,即可得解.【自主解答】
解:方法一(交点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点为A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),把B(0,3)代入,得3=-3a,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3),即y=-x2-2x+3.方法二(顶点式):∵抛物线的对称轴是直线x=-1,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将A(-3,0),B(0,3)分别代入,故抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
巧设二次函数解析式的方法用待定系数法求二次函数的解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出二次函数的解析式,再代入点的坐标进行求解.方法如下:(1)已知二次函数图象上三个点的坐标,可设为一般式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0);(2)已知二次函数图象的顶点坐标(或对称轴、最值),可设为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)已知二次函数图象与x轴交点的(横)坐标,可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).
例8 [2020湖南衡阳]在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).(1)求这个二次函数的表达式;(2)求当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3
解:(1)方法一:将(-1,0),(2,0)分别代入y=x2+px+q,∴这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.
方法二:∵二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0),∴该二次函数的解析式为y=(x+1)(x-2),即y=x2-x-2. (2)∵二次函数y=x2-x-2的图象过点(-1,0),(2,0),∴二次函数y=x2-x-2图象的对称轴为直线x= ,∴当-2≤x≤1时,y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为∴当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差为
(3)令(2-m)x+2-m=x2-x-2,整理,得x2+(m-3)x+m-4=0,解得x1=-1,x2=4-m.∵a<3
第六节 二次函数的应用
考点 利用二次函数解决最值问题
命题角度 1 利用二次函数解决几何图形中的最值问题命题角度 2 利用二次函数解决销售中的最值问题
利用二次函数解决最值问题
利用二次函数知识解决最值问题的一般步骤:(1)理解题意,分析问题中的变量与常量之间的关系;(2)根据实际问题或几何知识列出二次函数解析式;(3)结合二次函数的图象与性质在自变量的取值范围内求出函数的最值;(4)检验结果的合理性,得出结论.
利用二次函数解决几何图形中的最值问题
例1 [2019黑龙江大庆]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑点D与点B,A重合的情况),运动速度为2 cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x s,AE的长为y cm.(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.(2)当x为何值时,△BDE的面积S取最大值?最大值为多少?
【思路分析】 (1)由DE∥BC,得△ADE∽△ABC,得到 ,再列关于x,y的等式,变形后即可得解;(2)由S= BD·AE,得到函数解析式,然后运用二次函数的性质求解.【自主解答】
解:(1)易知BD=2x cm.∵AB=8 cm,∴AD=(8-2x)cm.由DE∥BC,得△ADE∽△ABC,∴y=- x+6(0
例2 [2020山东滨州]某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?
【思路分析】 (1)根据“月销售量=500-10×(售价-50)”计算即可.(2)根据“月利润=(售价-进价)×月销售量”及(1)中的等量关系列方程求解即可.(3)求出月利润与水果售价之间的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可.【自主解答】
解:(1)当售价为55元/千克时,每月销售量为500-10×(55-50)=500-50=450(千克).(2)设每千克水果售价为x元,由题意,得(x-40)[500-10(x-50)]=8 750,即-10x2+1 400x-40 000=8 750,
整理,得x2-140x=-4 875,配方,得(x-70)2=4 900-4 875,解得x1=65,x2=75,∴当月利润为8 750元时,每千克水果售价为65元或75元.(3)设月利润为y元,每千克水果售价为x元,由题意,得y=(x-40)[500-10(x-50)],即y=-10x2+1 400x-40 000(40≤x≤100),配方,得y=-10(x-70)2+9 000,∵-10<0,∴当x=70时,y取最大值,∴当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大.
利用二次函数的性质求最大利润的一般思路(1)根据“总利润=(售价-进价)×销售量”或“总利润=售价×销售量-总成本”列出二次函数解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;(2)将二次函数解析式化为顶点式,在自变量的取值范围内,利用二次函数的性质求最值,求解时应注意:①若顶点的横坐标在自变量的取值范围内,则一般在顶点处取得最值(注意结合函数图象及题意具体情况具体分析);②若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,则需结合二次函数的图象,利用二次函数的增减性,在自变量的取值范围内求出函数的最值.注意:在售价变化引起销量变化的问题中,要弄清楚自变量x代表的是售价还是上涨(下降)的量.
高分突破·微专项1 平面直角坐标系中三 角形面积的计算
一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形的面积的计算
三边都不在坐标轴上且都不与坐标轴平行的三角形的面积的计算
例 [2020四川达州]如图,点A,B在反比例函数y= (x>0)的图象上,点A,B的纵坐标分别是3和6,连接OA,OB,AB,则△OAB的面积是 .【思路分析】 由题易得A(4,3),B(2,6).方法一:如图(1),根据S△OAB= AC×yB求解即可.方法二:如图(2),过点B作BC∥y轴,交OA于点C,根据S△OAB= BC×xA求解即可.方法三:如图(3),过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,构造矩形OCED,根据S△OAB=S矩形OCED-(S△OAC+S△BOD+S△ABE)求解即可.
高分突破·微专项2 两直线垂直,“k”值积为-1
两直线垂直,“k”值积为-1
以平面直角坐标系为背景,求矩形或直角三角形的存在性问题是河南中考的热点问题,本专项主要介绍利用两直线垂直时“k”值的乘积为-1来处理这方面问题的方法.问题背景 如图(1),在平面直角坐标系中,直线l1:y=k1x+b1(k1,b1为常数,且k1≠0)与直线l2:y=k2x+b2(k2,b2为常数,且k2≠0)垂直,求k1·k2的值.
探究1 当直线l1为第一、三象限的角平分线,直线l2经过原点时,如图(2),求k1·k2的值.分析:易知直线l2为第二、四象限的角平分线,∴k2=-1.又k1=1,∴k1·k2=-1.探究2 将探究1中的直线l1,l2进行平移,平移后直线l1,l2的“k”值之积是否有变化?分析:由平移后的直线和平移前的直线是平行线,可知平移后直线l1,l2的“k”值不变,故直线l1,l2的“k”值之积不变,仍有k1·k2=-1.
探究3 当直线l1经过原点,且非第一、三象限的角平分线,直线l2经过原点时,如图(3),求k1·k2的值.分析:在直线l1上任取一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,在直线l2上任取一点C,过点C作CD⊥x轴于点D.设点A的坐标为(xA,yA),点C的坐标为(xC,yC).易证△AOB∽△OCD,又∵在函数y=kx(k≠0)中,k= ,∴|k1|=| |,∴|k1·k2|=1.又∵k1,k2异号,∴k1·k2=-1.
探究4 将探究3中的直线l1,l2平移,平移后直线l1,l2的“k”值之积是否有变化?分析:由平移后的直线和平移前的直线是平行线,可知平移后直线l1,l2的“k”值不变,故直线l1,l2的“k”值之积不变,仍有k1·k2=-1.重要结论 如果直线l1:y1=k1x+b1(k1,b1为常数,且k1≠0)与直线l2:y2=k2x+b2(k2,b2为常数,且k2≠0)互相垂直,那么k1·k2=-1.
例 [2019信阳二模改编]如图,在平面直角坐标系中,直线y= x+1与抛物线y=- x2+x+4在第一象限内交于点P,与y轴交于点D.点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内一点,是否存在这样的点Q,N,使得以P,D,Q,N四点为顶点的四边形是以DP为边的矩形?如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.【思路分析】
解:存在.分两种情况讨论.①当DQ⊥DP时,如图(1),设直线DQ的解析式为y=k1x+b1.∵DQ⊥DP,∴kDQ·kDP=-1,∴kDQ=- .
将D(0,1)代入y=- x+b1,得b1=1,故直线DQ的解析式为y=- x+1.令- x+1=0,解得x= ,∴Q( ,0).令 x+1=- x2+x+4,整理,得x2+x-6=0,解得x1=2,x2=-3.∵点P在第一象限,∴点P的横坐标是2.
将x=2代入y= x+1,得y=4,故P(2,4).根据矩形的性质,可将点P先向右平移 个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点N,∴N( ,3).②当QP⊥DP时,如图(2),设直线PQ的解析式为y=- x+b2,将P(2,4)代入,得b2= ,故直线PQ的解析式为y=- x+ .
令- x+ =0,解得x=8,∴Q(8,0).根据矩形的性质,可将点D先向右平移6个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点N,∴N(6,-3).综上所述,满足条件的点N的坐标为( ,3)或(6,-3).
高分突破·微专项3 线段中点坐标公式
线段中点坐标公式在河南中考中的运用非常广泛,本专项主要介绍中点坐标公式的推导过程及运用.问题背景1 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),且点A,B不重合,点C为线段AB的中点,求点C的坐标.
探究1 当AB∥y轴时(不妨设点A在点B的上方),如图(1),求点C的坐标.分析:∵AB∥y轴,∴AB=yA-yB,xC=xA=xB= .∵点C是线段AB的中点,∴BC= AB= (yA-yB),∴yC=yB+BC=yB+ (yA-yB)= ,
探究2 当AB∥x轴时(不妨设点B在点A的左侧),如图(2),求点C的坐标.分析:∵AB∥x轴,∴AB=xA-xB,yC=yA=yB= .∵点C是线段AB的中点,∴BC= AB= (xA-xB),∴xC=xB+BC=xB+ (xA-xB)= ,
探究3 当AB既不与x轴平行,又不与y轴平行时(不妨设点A在点B的上方),如图(3),求点C的坐标.分析:过点A作x轴的平行线,过点B作y轴的平行线,两线交于点D,则D(xB,yA).过点C作BD的平行线,交AD于点E,作AD的平行线,交BD于点F,则CE,CF是△ABD的中位线,xC=xE,yC=yF.由探究1、探究2可知,
重要结论1 在平面直角坐标系中,线段AB的中点的横坐标为A,B两点横坐标之和的一半,纵坐标为A,B两点纵坐标之和的一半,即线段AB的中点的坐标为
问题背景2 在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的位置如图(4)所示,其中点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),点C的坐标为(xC,yC),点D的坐标为(xD,yD),则xA,xB,xC,xD之间的等量关系是什么?yA,yB,yC,yD之间的等量关系又是什么?分析:如图(4),连接AC,BD,AC与BD交于点E.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC与BD互相平分,即点E是线段AC,BD的中点,∴xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD.
重要结论2 在平面直角坐标系中,平行四边形对角顶点的横坐标之和相等,对角顶点的纵坐标之和相等,即在平行四边形ABCD中,xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD.
例 如图,抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,直线l经过点B,C,过点A作AM⊥BC于点M.点P为抛物线上一动点,点Q为直线l上一动点,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标.【思路分析】
解:过点M作MN⊥x轴于点N.对于y=-x2+6x-5,令y=0,得-x2+6x-5=0,解得x1=1,x2=5,∴A(1,0),B(5,0).对于y=-x2+6x-5,令x=0,得y=-5,∴C(0,-5).∵OC=OB=5,∴∠ABM=45°.又AM⊥BC,∴AN=BN=MN= AB= ×(5-1)=2,∴点M的坐标为(3,-2).易求直线l的解析式为y=x-5.
设P(m,-m2+6m-5),Q(n,n-5).分以下三种情况讨论.(1)当AM为平行四边形的对角线时,PQ为另一条对角线,∴xA+xM=xP+xQ,yA+yM=yP+yQ,即1+3=m+n①,-2=-m2+6m-5+n-5②,由①得n=4-m,代入②,得-2=-m2+6m-5+4-m-5,整理,得m2-5m+4=0,解得m1=1(不合题意,舍去),m2=4,故点P的横坐标为4.(2)当AP为平行四边形的对角线时,MQ为另一条对角线,
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