2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合M的范围，直接求交集即可得解.

【详解】由，

所以，

故选：D

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】F(x)的定义域为两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可．

【详解】由题可知，，

故选：A．

3．下列命题中真命题的个数是（    ）

①命题“，”的否定为“，”；

②“”是“”的充要条件；

③集合，表示同一集合．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题．

【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；

②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件 ，错误；

③集合，不是同一集合．错误，

正确的命题只有一个．

故选：B.

4．已知，则的最小值为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】根据均值不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当时，即或时等号成立，

故选：C

5．函数的大致图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的单调性以及零点，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】当时，，因为函数、在上均为增函数，

所以，函数在上为增函数，此时令，可得，

排除BCD选项；

当时，，任取、，且，

，

当时，，，

当时，，，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，A选项中的函数图象合乎要求.

故选：A.

6．已知函数若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对分、和三种情况讨论得解.

【详解】当时，不等式显然不成立；

当时，不等式可以化为，

所以或，所以.

当时，不等式可以化为，

所以.

综上：或.

故选：B

7．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解．

【详解】的定义域是，

，是偶函数，

时，设，

，，，从而，

所以，即，是增函数，

不等式化为，

所以，，解得．

故选：A.

8．已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分类讨论，去掉绝对值分析函数的最大值，根据最大值为4即可得出的取值范围.

【详解】当时，，

当时，在上单调递减，

在上单调递增，

当或时，，满足题意；

当时，在上单调递增，

，不符合题意；

当时，，不符合题意.

综上，实数的取值范围为.

故选：C

二、多选题

9．已知，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解.

【详解】对A，当时，，由不等式性质可得，故正确；

对于B，，可得，由不等式性质可得，故错误；

对于C，由可得，即，又，所以，故C正确；

对于D，因为在上单调递增，所以由可得，

也可由不等式的性质，当为奇数时，可得，故正确.

故选：ACD

10．已知函数是定义在上的增函数，则实数的可能取值为(    )

A． B． C．2 D．

【答案】AD

【分析】逐个选项将a的值代入验证该指数函数的底数是否大于1即可．

【详解】，

要使该指数函数为R上的增函数，则，

当时，，故A正确；

当时，，故B错误；

当时，，故C错误；

当时，，故D正确．

故选：AD．

11．已知实数，满足等式，则，的大小关系可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】结合已知条件可知，，，然后化简整理等式并分类讨论的范围即可求解.

【详解】由等式可知，，，且，

若，则，即，此时；

若，则，即，此时；

若，则.

故选：BC.

12．已知，，且，则(    )

A．

B．的取值可以为10

C．当且仅当，时，取得最小值16

D．当且仅当，时，取得最小值36

【答案】CD

【分析】将两边同时除以xy可得，由此可判断A；，结合基本不等式可判断B；，结合基本不等式可判断C；，结合基本不等式得到关于的不等式，由此即可判断D．

【详解】．

故，故A错误；

，

当且仅当，即x＝y＝10时等号成立，故B错误；

，

当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；

，当且仅当，即，时等号成立，故D正确．

故选：CD．

三、填空题

13．函数（，且）的图象经过的定点坐标为______．

【答案】和

【分析】根据指数函数的性质即可得到函数所过定点.

【详解】当时，解得或，

此时，

故恒过点和和.

故答案为：和.

14．已知是定义域为的奇函数，且当时，则______．

【答案】

【分析】根据奇函数的性质求得参数的值，再由奇函数定义求值．

【详解】函数是奇函数，则，，即时，，

所以．

故答案为：．

15．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】求出二次函数的最小值是，再计算出，由二次函数性质可得的范围．

【详解】，在上的值域是，则，

又，所以，

故答案为：，

16．已知函数，，若对于任意的，和至少有一个成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立．则可求得的取值范围.

【详解】，当时，，

又，或，

在时恒成立，

即在时恒成立，

显然不成立，

则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，

，即，解得，

实数的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．计算或化简下列各式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂的运算法则计算；

（2）根据幂的运算法则计算．

【详解】（1）原式．

（2）原式．

18．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)当时，若命题“，使得成立”是假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用指数函数单调性和一元二次不等式解法分别求解集合和，然后利用集合交运算求解即可；(2)首先求出集合并写出命题的否定，最后利用一元二次恒成立问题即可求解.

【详解】（1）当时，．

因为，

所以．

（2）当时，，

命题“，使得成立”是假命题，

即命题的否定：“，”是真命题．

令，则在恒成立，

因为在上单调递增，

所以在上的最小值为，

故，

从而实数的取值范围是．

19．已知是奇函数．

(1)求实数的值；

(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数性质列式即可求解；

（2）由变量分离得是上的增函数，则原命题等价于对于恒成立，设，则对勾函数，故，即可求解

【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，所以．

此时，经验证，，故．

（2）由（1）可知，所以是上的增函数．

当时，不等式恒成立，

即对于恒成立，即对于恒成立，

设，易知对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，解得，即实数的取值范围是．

20．已知，，，关于的不等式的解集为或．

(1)求，的值；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)，

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；

（2）按照分类，时按方程根的大小分类讨论可得．

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以与是方程的两个实数根，

由根与系数的关系，得解得，．

（2）由（1），知不等式为，即．

①当时，易得不等式的解集为．

②当时，不等式可化为，不等式的解集为

③当时，不等式可化为，

当，即时，不等式的解集为，

当，即时，不等式的解集为，

当，即时，不等式的解集为．

21．LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)

(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】(1)

(2)当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．

【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式；

(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案．

【详解】（1）∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时，．

∴

（2）当时，，当时，取得最大值．

当时，，当且仅当，即时，取得最大值15．

∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．

22．已知函数，．

(1)若的最小值是，求的值．

(2)是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）讨论、，结合换元法、二次函数的性质及最值求参数即可.

（2）根据（1）及已知判断的单调性，进而将问题转化为有两个不同的正根，结合二次函数性质列不等式组求，即可判断存在性.

【详解】（1）当时，，没有最小值，不符合题意．

当时，设，则．

①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意．

②当时，对称轴，因为的最小值是，

所以，

化简得，解得（舍去）或，

所以．

（2）当时，由（1）知：，

当时，的对称轴，

所以当时为增函数，即为增函数．

所以定义域为时，值域为可转化为有两个不同的正根，．

所以有两个大于1且不相等的根．

所以，解得，

所以不存在满足题意的．