2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一上学期11月期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一上学期11月期中考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（   ）

A．    B．    C．    D．

2． 已知，，，则a，b，c的大小顺序为（   ）

A．c＞b＞a    B．a＞b＞c    C．b＞a＞c    D．c＞a＞b

3． 已知，且，则a＝（   ）

A．2    B．3    C．4    D．5

4． 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想．在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（   ）

A．              B．                C．               D．

5． 已知，则的值为（   ）

A．2    B．－2    C．    D．±2

6． 函数的定义域为（   ）

A．  B．  C．  D．

7． 将函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在单调递增，则a的最大值为（   ）

A．1    B．2    C．3    D．4

8． 已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”．则函数 “H点”的个数为（   ）

A．1    B．2    C．4    D．6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9． 给出以下四个命题：

A．已知集合，，若A＝B，则x＝1，y＝0   

B．函数y＝x－1与为同一个函数   

C．图象关于点成中心对称

D．命题“，”的否定为“，”

其中正确的命题是（   ）

10．函数满足对定义域内任意两个实数，都有成立，则该函数称为T函数，下列函数为T函数的是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．若实数x，y满足，则（   ）

A．x＋y＜1    B．x＋y≥－2    C．    D．

12．已知定义域为R的奇函数，当x＞0时，下列叙述正确的是（   ）

A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根 

B．当时，有 

C．当0＜x≤a时，的最小值为1，则 

D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则 

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．除函数y＝x，外，再写出一个定义域和值域均为的函数   ▲   ．

14．   ▲   ．

15．已知在区间上是单调增函数，则a的取值范围为

   ▲   ．

16．已知函数的定义域为R，且，都有．若，，则   ▲   ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设，命题p：，，命题q：，．

（1）若命题p是真命题，求a的取值范围；

（2）若命题¬p与命题q都是真命题，求a的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知集合，，．

（1）当m＝－2时，求集合；

（2）已知是的必要不充分条件，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知幂函数为奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）求函数（）的最小值．

20．（本小题满分12分）

某公司生产一种茶杯，每只茶杯的成本为40元，销售每只单价定为60元，该公司为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一只，订购的全部茶杯的单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600只．

（1）设一次订购x只，每只茶杯的实际售价为p元，写出函数的表达式；

（2）当销售商一次订购多少只茶杯时，该公司获得的利润y最大？其最大利润是多少？

21．（本小题满分12分）

设函数，（，）．

（1）若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；

（2）当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

函数的定义域为D＝，且满足以下4个条件：

①对任意，都存在m，，使得x＝m－n且；

②若m，且，都有；

③当且a为常数时，；

④当时，．

（1）证明：函数是奇函数；

（2）证明：函数是周期函数，并求出周期；

（3）判断函数在区间上的单调性，并说明理由．

高一期中考试

数学参考答案

1 ．  【答案】D

2 ． 

【答案】B

3 ．

【答案】D

4 ． 

【答案】B

5 ． 

【答案】D

6 ． 

【答案】C

7 ． 

A ． 1        B ．2        C ．3        D ．4

【答案】C

8 ．

【答案】C

9 ． 

【答案】AC

10．

【答案】ABC

11．

【答案】BC

12．

【答案】ABC

13．

【答案】y＝4－x  (答案不唯一)

14．【答案】19

15．

【答案】 [一3, 一2]

16．

【答案】－1

17．

【答案】

(1) a ≥1 或 a ≤－2

(2) －2＜a＜0

18．【答案】

(1) 由 m＝－2 及x2 _ 2mx + m2 _ 1＜0得： x2 + 4x + 3＜0 ，解得 _3＜x＜_ 1 ， 所以B＝｛x _3＜x＜_ 1} ，又 A＝｛x _2＜x＜3} ，所以 A U B＝｛x _3＜x＜3}．

(2) 由 x _ m ＜2 ，得 m _ 2＜x＜m + 2 ， ∴C＝｛x m _ 2＜x＜m + 2 }．

由 x = A 是 x = C 的必要非充分条件，得集合 C 是集合 A 的真子集，

(m _ 2≥ _ 2

所以 m 的取值范围为[0, 1] ．

19．

【答案】

( 1)∵ f (x ) 是幂函数， ∴ m2 _ 5m + 7＝1 ，解得 m＝3 或 m＝2，

当 m＝3 时， f (x )＝x2 是偶函数，不符合题意，

当 m＝2 时， f (x )＝x 为奇函数，符合题意，

∴m＝2；

(2)最小值为 1

20．

【答案】

( 1)当 0＜x ≤100 时，p＝60；

当 100＜x ≤600 时，p＝60－(x－100) ×0.02＝62－0.02x.

(|60, 0＜x ≤100, x = N*,

(2)设利润为y 元，则

当 0＜x ≤100 时，y＝60x－40x＝20x；

当 100＜x ≤600 时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2 .

(|20x, 0＜x ≤100,

当 0＜x ≤100 时，y＝20x 是单调增函数，当 x＝100 时，y 最大，此时y＝20×100＝2 000； 当 100＜x ≤600 时，

y＝22x－0.02x2 ＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当 x＝550 时，y 最大，此时y＝6 050.显然 6 050＞2 000.

所以当一次订购 550 只时，利润最大，最大利润为 6 050 元．

21．

【答案】

(1) 函数 f (x )=ax2 - 3x + 6 有且只有一个零点，

所以 ax2 - 3x + 6＝0有且仅有一个根，

当 a＝0 时， -3x + 6＝0 ，即 x＝2 ，满足题设；

当 a ≠0 时， △＝9 - 24a＝0 ，即 a＝ ，此时 x＝4 ，满足题设；

当 a＝0 时，零点为 2

当 a＝ 时，零点为 4

(2) 因为对任意的x1  = [2,3] ，总存在x2  = (1,4] ，使得 f (x1)＝g (x2 ) 成立， 所以 y＝f (x ) 的值域是 y＝g(x ) 的值域的子集，

由 (1) 得 f (x )＝x2 - 3x + 6 在[2, 3] 上单调递增，

所以 y＝f (x ) 的值域为[4, 6] ．

当 m＞0 时， g (x ) 在(1, 4]上单调递增，故g(1)＜g(x ) ≤g (4 ) ，即7 - 2m＜g(x ) ≤m + 7 ，

所以由数轴法可得〈   解得〈1 ，故 m＞ ；

当 m＝0 时， g (x )＝7 ，不满足题意；

当 m＜0 时， g (x ) 在(1, 4]上单调递减，故g(4) ≤g(x )＜g (1) ，即 m + 7≤g(x )＜7 - 2m ，

(m+7≤4                     (|m≤3

所以由数轴法可得〈l7 2m＞6 ，解得〈|lm＜  ，故 m≤ - 3 ；

综上：m 的取值范围为 m＞ 或 m≤ - 3 ，即 m = (-w, -3] U ( , +w ) .

22．

【答案】

(1) 对任意实数 x 仁 D ，在定义域中存在 m ， n 仁 D ，使得 x＝m－n 且 f (m )＝/f (n ) ；， 则 f (x )＝f (m 一 n ) 一 n )一 一 f (n 一 m )＝一 f (一x )，

即 f (一x )＝一 f (x )

∴ f (x ) 为奇函数．

(2) ∵ f (a )＝1 ， ∴ f (一a )＝-f (a )＝-1，

∴ f (一2a)＝f (一a 一 a ) (a一a)) ＝ 1一1一)1＝0 ，

当 f (x )＝/0 时， f (x + 2a)＝f (x 一 (一2a))＝ f一f一 ＝一f1(x ) ，

∴ f (x + 4a)＝f (x + 2a)+ 2a ＝- f (x 2a) ＝- 一 f11(

当 f (x0 )＝0 时， f (x0 + a )＝f (x0 一 (一a ))f一(ax)0)一 1一1 ＝一 1 ，

f (x0 + 3a)＝f (x0 + a 一 (一2a ))f一(22)＝1 ，

f (x0 + 4a)＝f (x0 + 3a 一 (一a ))f一(a一) 1一1＝0 ，

也满足 f (x + 4a)＝f (x )

∴ y＝f (x ) 为周期函数，4a 是它的一个周期；

(3) f (x ) 在区间(0, 4a) 上是单调减函数．

先证f (x) 在区间(0, 2a] 上是单调减函数．

设0＜x1＜x2≤2a ,则0＜x2 一 x1＜2a ，则 f (x1)＞0 ， f (x2) ≥0 ，

(当 x2＝2a 时， f (x2)＝一 f (一2a)＝0 )

∵ f (x2 - x1)＞0

∴ f (x1)＞f (x2 )

∴ f (x ) 在区间(0, 2a] 上是单调减函数；

再证f (x) 在区间[2a, 4a) 是单调减函数．

(Ⅰ) 当2a＝x1＜x2＜4a 时， 0＜x2 - 2a＜2a ， f (x2 - 2a)＞0 ，由 (2) 可知： ∴f (x2 )＝f (x2  - 2a)+ 2a ＝-  f (x21- 2a)＜0 ，而 f (x1)＝f (2a)＝0 ，     ∴ f (x1)＞f (x2 )

(Ⅱ) 当2a＜x1＜x2＜4a   时， 0＜x1 - 2a＜x2 - 2a＜2a ， f (x1 - 2a)＞f (x2 - 2a)＞0

于是f (x1)＝f (x1 - 2a)+ 2a ＝-  f (x11- 2a) ， f (x2 )＝f (x2  - 2a)+ 2a ＝-  f (x21- 2a) ， ∴ f (x1) - f (x2 )＝- f (x11- 2a) + -)fa))＞0 ，

即 f (x1)＞f (x2 ) 成立．

∴ f (x ) 在区间[2a, 4a) 上是单调减函数，

综上： 由 ( Ⅰ ) ( Ⅱ ) 得： f (x ) 在区间(0, 4a) 上是单调减函数．