2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期中数学试题含答案

  重庆市育才中学校高2025届届2022-2023学年（上）期中考试

数学试题

本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分+附加题10分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；

3.考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.已知命题：，，则为（    ）.

A.，   B.，

C.，   D.，

3.设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分又不必要条件

4.已知，，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

5.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A.   B.

C.     D.

6.若，则的最小值为（    ）

A.2   B.4   C.5   D.6

7.定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ）

A.2   B.6   C.14   D.15

8.已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ）

A.   B.   C.   D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.下列命题为真命题的是（    ）

A.若，则   B.若，，则

C.若，则   D.若，，则

10.下列选项中正确的是（    ）

A.   B.  C.   D.

11.下列各组函数是同一函数的是（    ）

A.和  B.和

C.和   D.和

12.已知函数，且，则下列说法正确的是（    ）

A.函数的单增区间是

B.函数在定义域上有最小值为0，无最大值

C.若方程有三个不等实根，则实数的取值范围是

D.设函数，若方程有四个不等实根，则实数的取值范围是

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.幂函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________.

14.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________.

15.已知函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为__________.

16.已知，，是正实数，且，则最小值为__________.

四、解答题（本题共7小题，共70+10分.17题题10分，18题—22题题12分，附加题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.设，，.

（1）求；

（2）求.

18.已知命题“，都有不等式恒成立”是真命题.

（1）求由实数的所有取值组成的集合；

（2）设，若，求实数的取值范围.

19.为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，重庆市育才中学校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为米.现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价关于的函数关系为.

（1）设公司甲整体报价为元，试求关于的函数解析式；

（2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由.

20.已知函数

（1）当时，求关于的不等式的解集；

（2）当时，求关于的不等式的解集.

21.已知

（1）求函数的解析式；

（2）若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；

（3）求关于的不等式.

22.已知定义域为，对任意都有.当时，，且.

（1）求的值；

（2）判断函数单调性，并证明；

（3）若，都有恒成立，求实数的取值范围.

附加题（选做）：已知，，是正实数，证明：

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（上）期中考试

数学试题-参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1-4CBAD    5-8DBBC

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.）

9.ABD  10.BC  11.AD  12.BCD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.；14.；15.6；16.

16.由题，，

其中

,

当且仅当时取等，

故

,

当且仅当时取等.

四、解答题（共70+10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解：（1）由，得，解得，

所以，

由，得，解得，所以，

所以.

（2）由（1）可知，，

所以，所以.

18.解：（1）因为，都有不等式恒成立，

所以，解得，所以，

（2）因为，所以，下面分类讨论：

①若，即时，显然成立；

②若，即时，由，有，故，

综上，实数的取值范围为.

19.解：（1）因临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，

于是得，，

所以y关于x的函数解析式是.

（2）由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”，则当左右两侧墙的长度为5米时，公司甲的最低报价为15400元，

对于公司乙，函数在上单调递增，在上单调递减，

即乙公司最高报价为15380元，

因，因此，无论取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功.

20.解：

，

（1）当时，不等式等价于，则不等式解集；

（2）当时，不等式等价于

①当时，令一元二次方程的两个根为，，

因为，所以恒有，则不等式解集；

②当时，令一元二次方程的两个根为，，

1）当，即时，不等式解集；

2）当，即时，不等式解集；

3）当，即时，不等式解集.

综上所述：当时，不等式解集；

当时，不等式解集；

当时，不等式解集；

当时，不等式解集.

21.解：（1），令，，

∴，即函数的解析式为：.

（2）当时，，且为上的奇函数.

∴当时，，

∴函数的解析式为：，

（3）由，且在上单调递减

∴，∴

∴且

∴不等式的解集为.

22.解：（1）令，则，∴

令，，则，又由，∴

（2）设

则

又∵，∴

∴，∴

∴是上的单调递减函数.

（3）若，都有恒成立

即

∴，，恒成立

令，，则

∴，，恒成立

由为上的单减函数，∴，，恒成立

即使得成立，即

令，则即可

①当时，在上单调递增，∴，∴

②当时，在上单调递减，∴，∴

③当时，∴，∴，∴

综上所述：实数的取值范围为.

附加题：

证明：由均值不等式可知：

当且仅当时取等，

又可利用均值不等式构造：

当且仅当，即时取等，即，，时取等.

所以.