初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称单元测试课堂检测

这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称单元测试课堂检测，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级上册数学第十三章轴对称单元测试卷附详细解析
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列对称轴条数最多的图形是（　　）
A．角 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
3．（3分）已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
4．（3分）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

A．3 B．1 C．2 D．2
6．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为(　　).

A．74 B．1
C．74 或1或 94 D．74 或1或 114
7．（3分）如图，点P在边长为1的等边△ABC的边AB上，过点P作PE⊥AC于点E．Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．不能确定
8．（3分）等腰三角形中，一个角为40°，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　）
A．100° B．40° C．40°或70° D．70°
9．（3分）已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．3 B．8 C．3或8 D．8或5.5
10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）一个汽车牌照号码在水中的倒影为 ，则该车牌照号码为　 　．
12．（3分）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　 　 ．

13．（3分）如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=　 　°

14．（3分）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，…若∠A=70°，则锐角∠An的度数为　 　.

15．（3分）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为　 　.

三、解答题(共10题；共75分)
16．（4分）某地有两条相交叉的公路， 计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）

17．（6分）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．



18．（6分）作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．

①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1，B1，C1的坐标；
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．



19．（6分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．


20．（7分）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．
求证：∠DBC= 12 ∠A．


21．（8分）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)


22．（9分）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。

（1）（3分）求证：△ACD≌△BCE；
（2）（3分）求∠AEB的度数；
（3）（3分）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。






23．（9分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M，N分别从现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）（3分）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）（3分）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）（3分）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．











24．（9分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．









25．（11分）已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB延长线上的一点，且DE=EC．
（1）（1分）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）（5分）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F
（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）

（3）（5分）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．


答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、角有1条对称轴，对称轴条数不是最多的图形，故此选项错误；
B、等边三角形有3条对称轴，对称轴条数不是最多的图形，故此选项错误；
C、正方形有4条对称轴，对称轴条数不是最多的图形，故此选项错误；
D、圆有无数条对称轴，对称轴条数是最多的图形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，该图形就是轴对称图形，折迹所在的直线就是对称轴，据此可知角有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，从而一一判断得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，
∴m-1=2，n+1+3=0，
∴m=3，n=-4，
∴m+n=3+（﹣4）=﹣1.
故答案为：A.
【分析】如果两个点关于x轴对称，其横坐标一样，纵坐标互为相反数，从而即可列出方程组，求解得出m,n的值，进而即可算出m,n的和.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，

∵AB=22+22=22，
∴①若BA=BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可求得答案．　
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE=12CE=1．
故选B．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出 ∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根 据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm.
∵F是AB的中点，
∴BF=AF= 12AB=1 cm.
①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2，
∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；
②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BE= 12 BF= 12 ，
∴AE=AB-BE=4- 12 = 72 ，
∴t= 72 ÷2= 74 或t=(4+ 12 )÷2= 94 (舍)；
故答案为：C.
【分析】△BEF是直角三角形时，而△BEF中∠ABC=60°，故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况，由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，求出BE的长，则可求出E所运动的距离，注意点E是运动路线是A→B→A，且t(s)(0≤t＜3).
7．【答案】B
【解析】【解答】过点P作PM∥BQ，交AC于点M.
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠ACB=60°
∵PM∥BQ
∴∠MPD=∠Q，∠APM=∠AMP=∠ACB=∠B=60°
∴△APM是等边三角形
∴PA=MP
又∵PA=CQ
∴MP=CQ
在△PMD和△QCD中
∠MPD=∠Q∠MDP=∠CDQMP=CQ
∴△PMD≌△QCD
∴DM=DC=12MC
又∵PE⊥AC
∴EM=AE=12AM
∴DE=EM+DM=12（AM+CM）=12AC=12×1=12.

故答案为：B.
【分析】过点P作PM∥BQ，综合运用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质得出线段的关系，从而得证。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数= 180°−40°2=70° ；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°.
故答案为：C.
【分析】由题意可分两种情况：①当40°的角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°可求解；
②当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则x+2y=19，
∴当x=8时，y=12×19−8=5.5，三边长分别为5.5，5.5，8，满足三边关系；
当y=8时，x=19−2×8=3，三边长分别为3，8，8，满足三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为8或5.5；
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系判断求解即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】如图，

分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.
11．【答案】WL027
【解析】【解答】根据轴对称的性质，可知该车牌照号码为WL027.
故答案为：WL027.
【分析】本题考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴，易知所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解.
12．【答案】3
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中线，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD= 22−12=3，
即DE=BD=3，
故答案为：3．
【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
13．【答案】135
【解析】【解答】解：如图，

由图和题意可得AF=BC，∠AFE=∠ABC=∠AGD=90°，EF=AB，
∴∆AFE≌∆ABC（SAS），
∴∠1=∠CAB，
而∠3+∠CAB=90°，
∴∠3+∠1=90°，
又∵∠AGD=90°，AG=DG，
∴∠2=∠DAG=90°÷2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.
【分析】由题意易求得∠3+∠1=90°，∠2所在的三角形是一个等腰直角三角形，所以可得∠2=45°，于是∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.
14．【答案】70°2n−1
【解析】【解答】在△ ABA1 中，AB=A1B，∠A=70°
可得：∠ BAA1 =∠ BA1A =70°
在△ B1A1A2 中，A1B1=A1A2
可得：∠ A1B1A2 =∠ A1A2B1
根据外角和定理可得：∠ BA1A =∠ A1B1A2 +∠ A1A2B1
∴∠ A1B1A2 =∠ A1A2B1 = 70°2
同理可得：∠ A2A3B2 = 70°22
∠ A3A4B3 = 70°23
…….
以此类推：∠An= 70°2n−1
故答案为： 70°2n−1 .
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.
15．【答案】70°
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.

∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
16．【答案】解：如图所示：
，
点P的位置就是饭馆的位置．
【解析】【分析】连接MN作出∠AOB的角平分线OD，与MN的交点P就是饭馆位置．
17．【答案】证明：∵ON∥BC，
∴∠NOB=∠OBD
∵BO平分∠ABD，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠MOB=∠OBM，
∴BM=OM
∵ON∥BC，
∴∠NOC=∠OCD
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，
∴ON=CN
∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，
∴CN=BM+MN，
∴MN=CN﹣BM．

【解析】【分析】只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
18．【答案】解：①如图所示，△A1B1C1即为所求；A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；
②如图所示，点P即为所求；

③S△ABC=S△ABD+S△BCD= 12 ×3×2+ 12 ×3×2=6
①如图所示见解析，A1的坐标（2，﹣3），B1的坐标（3，﹣1），C1的坐标（﹣2，1）；②如图所示见解析；③6．
【解析】【分析】①分别找到A、B、C三点的对称点，连线即可。
②作点A关于y轴的对称点A',连接A'B,与y轴的交点即为点P。
③AC与y轴相交于点D，BD将△ABC分割成两个三角形，分别求其面积即可得△ABC的面积。
19．【答案】解：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中， DM=DN∠MDE=∠EDN=60°DN=DN ，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2
【解析】【分析】由题意可作辅助线，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等边三角形和等腰三角形的性质易证得△CDE≌△BDM和△DMN≌△DEN，于是可得MN=NE=CE+CN=BM+CN，则可将三角形ANM的周长转化为AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC求解。
20．【答案】 证明：作AE⊥BC于点E，如图：

∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
又∵AE⊥BC，
∴∠CAE=12∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DBC=∠CAE=12∠BAC.
【解析】【分析】作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形性质：等角对等边得AB=AC，再由三角形三线合一有的性质得∠CAE=12∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定义和同角的余角相等即可得证.
21．【答案】解：如图所示：

【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出正确的答案.
22．【答案】（1） ∵△ACD和△DCE为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴在三角形ACD和三角形BCE中，
AC=BC，DC=CE，∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
（2） 根据（1）可得，△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC
∵∠ADC+∠CDE=180°，∠CDE=60°
∴∠ADC=120°
∴∠BEC=120°
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°
（3）略
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到∠ACD=∠BCE，根据三角形全等的判定定理计算得到三角形全等即可。
（2）根据（1）的结论即可得到∠ADC=∠BEC，根据邻补角即可得到∠AEB的度数。
（3）根据等腰直角三角形的性质，由三角形的内角和为180°即可进行求解，根据线段之间的数量关系得到三条线段之间的数量关系。

23．【答案】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，解得：x=12
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，
解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN
（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，

假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵{AC=AB∠C=∠B∠AMC=∠ANB ，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒
【解析】【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，根据N的运动路程=M的运动路程+12，列出方程求解即可。
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，要得到等边三角形△AMN，由于∠A等于60°，只需AM=AN，然后用含t的代数式表示出AM，AN的长，所以根据AM=AN建立方程求解即可。
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，根据CM=NB列出方程，可解出未知数的值即可。
24．【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．
25．【答案】（1）=
（2）解：∵EF∥BC，
∴△AEF是等边三角形，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
∠EBD=∠CEFBE=CF∠BED=∠FCE ，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=AE；
（3）解：如图3，作EF∥AC交BD于F，

则△BEF为等边三角形，
∴∠EFB=∠EBF=60°，
∴∠EFD=∠EBC=120°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
在△DEF和△CEB中，
∠EFD=∠EBC∠D=∠ECBED=EC ，
∴△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
∴DF+FB=AB+BE，
∴BD=AE．
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E是AB边上中点，
∴AE=BE，∠BCE= 12 ∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案为：=；
【分析】（1）根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）作EF∥AC交BD于F，证明△DEF≌△CEB，根据全等三角形的性质证明即可．