专题9 圆锥曲线第二定义的应用 微点2 圆锥曲线第二定义的应用（二）

专题9  圆锥曲线第二定义的应用  微点2  圆锥曲线第二定义的应用（二）

专题9  圆锥曲线第二定义的应用

微点2  圆锥曲线第二定义的应用（二）

【微点综述】

过圆锥曲线焦点的弦称为焦点弦，关于焦点弦问题，除了运用弦长公式外，常利用过焦点的特点，即用圆锥曲线统一定义求出焦半径，从而得到焦点弦的长，也可使与焦点弦相关的问题获得简解，达到优化解题、提高解题效率的效果.本节在上一微点的基础上，进一步概述圆锥曲线第二定义的应用.

（四）求离心率（或其取值范围）

例1.已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为______.

【答案】

【解析】解法1：，根据题意，，，点D横坐标，纵坐标，假设点D在第一象限，带入椭圆方程，，，.

解法2：，，，，.

【评注】应用以下两个结论，可以快速求出椭圆或双曲线的离心率（或其取值范围）.

（1）椭圆与双曲线焦点弦长公式：（为直线与焦点所在轴的夹角）；

（2）在圆锥曲线中，若，则有（为直线与焦点所在轴的夹角）.

例2.（2021·重庆·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

【答案】A

【分析】根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.

【详解】由双曲线定义知，

则，，∴，

∴的周长为，

∴，，

由，

∴，故，∴，

∴，，∴，

在中，，故.故选A.

【评注】本题的关键点是：由得到.

（五）求最值

例3.过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，椭圆上不同的两点，满足条件：成等差数列，则弦的中垂线在轴上的截距的范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【分析】利用焦半径公式得，设中点，利用点差法可求得，进而求得弦的中垂线方程，求得其在轴上的截距，利用在椭圆“内”，可求得结果.

【详解】∵成等差数列，，

利用焦半径公式得：，，代入可得

设中点，椭圆上不同的两点，

，两式作差可得，，

∴弦的中垂线的方程为：，

当时，，此即的中垂线在轴上的截距，

在椭圆“内”，，得，，故选C.

【评注】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：

①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解.

例4.（2017·新课标Ⅰ理10）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（    ）

A.16                B.14                C.12                D.10

【答案】A

【解析】解法1：如图，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，要使最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线过点，则直线的方程为，联立方程组，则，∴，，

∴，∴的最小值为，故选A.

解法2：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，根据焦点弦长公式可得，

，∴，

∵，∴当时，的最小，最小为16，故选A.

【评注】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线的定义，到定点的距离要想到转化到准线上.另外，直线与抛物线方程联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数思想与方法及基本不等式进行解决.

例5.（2021·云南大理·二模）设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

【答案】D

【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标的特点结合基本不等式求解出的最小值.

【详解】如图所示，∵圆的方程为即为，∴圆心为，即为抛物线的焦点且半径，

∵，∴，

又∵，，∴，

设，∴，∴，∴，

∴，取等号时.

综上可知：.故选D.

【评注】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.（1）已知抛物线上任意一点以及焦点，则有；（2）当过焦点的直线与抛物线相交于，则有.

例6.（2022江苏南京六合月考）已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为______.

【答案】4

【详解】如图，，椭圆的离心率为，由椭圆的第二定义可知，

∴的最小值，就是由P作PN垂直于椭圆的准线于N，为所求，椭圆的右准线方程为，∴的最小值为：.

（六）解决存在型问题

例7.（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（I）（II）是，

【分析】（I）由题意设、，由斜率公式、点到直线的距离公式列方程即可得解；（II）由直线与圆相切可得，设，，由韦达定理及弦长公式可得，由焦半径公式可得、，进而可得的周长，化简即可得解.

【详解】（I）设，，则，

直线的方程为，即，

∴原点到直线的距离为，解得，（负值舍去），

又，∴椭圆的标准方程为.

（II）∵直线与圆相切，∴，即，

设，，联立，得，

∴ ，

，，

∴

，

又，∴，

∵，同理，

∴，

∴的周长是，则的周长为定值.

【评注】本题考查了椭圆方程的确定及直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆中的定值问题及运算求解能力，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题.

例8.设双曲线方程为，过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，直线的方程为，A，B在直线上的射影分别为C，D.

（I）当垂直于x轴，时，求四边形的面积；

（II），的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较与1的大小；

（III）是否存在实数，使得对满足题意的任意，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的值和此时直线和交点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（I）（II）（III）存在，，此时两直线的交点为

【分析】（I））当垂直于x轴，直线方程为，四边形为矩形，将代入双曲线方程，求出坐标，得出，即可求解；

（II）设的方程为，，设两点的纵坐标分别为，将的方程与双曲线方程联立，得到关于的方程，根据韦达定理得出关系，结合，，，将根据线段长公式化简，

再利用点在双曲线上可得，由，即可得出结论.

（III）设，，则，，求出直线和直线的方程，利用两条直线相交在轴上，可得，将关系，代入，得对一切都成立，有，求出交点的横坐标，即可求解.

【详解】（I）右焦点的坐标为.故.

联立解得.故，又，故四边形的面积为.

（II）设的方程为，这里.

将的方程与双曲线方程联立，得到，即.

由知，此时，

由于，故，

即，故，因此.

（III）由（II）得.（有两交点表示）

设，，则，.

的绝对值不小于，故，且.

又因直线斜率不为零，故.直线的方程为.

直线的方程为.

若这两条直线的交点在轴上，则当时，

两方程的应相同，即.

故，即.

现，，代入上式，得对一切都成立，即，.

此时交点的横坐标为

.

综上，存在，，此时两直线的交点为.

【评注】本题考查双曲线与直线的位置关系，联立直线方程和双曲线方程是解题的基础，应用韦达定理设而不求是解题的关键，将所研究的问题转化为两交点的坐标关系，考查计算能力，属于难题.

【总结】

通过上面几个例子， 我们对圆锥曲线的统一定义有了全面、完整、深刻的理解， 也为我们利用圆锥曲线的统一定义解题提供了思考的方法， 同时弥补了教材讲得不透彻的局限.

从以上各题可以看出， 解决这类问题的常规解法， 是按照解析几何问题求解的“三部曲”， 把直线和曲线方程联立， 消元得到关于x或y的一元二次方程， 用韦达定理得到交点坐标的关系式， 最后将目标转化表示， 运算量往往不是一般的大， 若运用焦半径公式的倾斜角形式， 可以简化运算， 直达结论， 起到事半功倍的效果.

【针对训练】

（2022绵阳三模）

1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(    )

A． B． C．2 D．

2．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（    ）

A． B．，

C． D．，

（2022·四川凉山·高二期末）

5．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（    ）

A． B． C．2 D．4

（2021·广州一模理）

6．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（    ）

A．2 B． C． D．4

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的右焦点的直线，与的右支分别交于两点，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．

（2022四川凉山州模拟）

8．已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．

9．已知双曲线的右焦点为是双曲线右支上一点，定点，求的最小值.

10．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.

11．已知双曲线的左、右两个焦点分别为是它左支上一点，到左准线的距离为，双曲线的一条渐近线为，问是否存在点，使成等比数列？若存在，求出的坐标；若不存在说明理由.

（2022·江西九江·一模）

12．在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若，求面积的最小值.

13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，的最小值为1．

（1）求的值；

（2）若点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，（，与点不重合）两点，直线，与抛物线的准线相交于，两点，求以线段为直径的圆所过的定点．

参考答案：

1．A

【分析】设出，，利用双曲线的第二定义，结合直线的斜率为，建立等式，即可求得双曲线的离心率.

【详解】设，则，

过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.

根据双曲线的第二定义可得，，

，

由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，

∴，，

.

故选：A.

2．B

【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.

【详解】设双曲线的右准线为，

过、分别作于，于，于，

如图所示：

因为直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，

∴，，

由双曲线的第二定义得：，

又∵，

∴，

∴

故选：B

【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

3．C

【分析】由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围.

【详解】由双曲线定义可得：

|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，

当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时

由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.

故选:C.

4．A

【分析】利用椭圆的第二定义进行求解.

【详解】因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率，

设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：

，所以，所以

表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，

当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵

坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为.

所以点M坐标为，故B，C，D错误.

故选：A.

5．B

【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的的范围可求得取最大值时，点在椭圆的短轴上.

【详解】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：

则有：

根据椭圆的特点，可知：

可得：当时，取最大值

此时，点在椭圆的短轴上，则有：

故选：B

6．B

【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.

【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：

所以.∵，

当时，，当时，，

∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.

∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，

故选：B.

解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，

故选：B.

7．

【分析】由题意易知，设，由双曲线定义可知，，在和中由勾股定理，分别可得，，两式联立化简整理可得，由此即可求出结果.

【详解】如图，连接，．

因为，所以，

设，

因为，所以．

由双曲线定义可得，即，

由双曲线定义可得，即，

在中，由勾股定理可得，即①，

在中，由勾股定理可得，即②，

由②得，代入①整理得，所以C的离心率为．

故答案为：.

8．8

【分析】设出两条直线，分别和抛物线联立，根据抛物线的弦长公式得到，再由韦达定理得到，利用均值不等式得到最值.

【详解】设，

设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到

由抛物线的弦长公式得到

代入两根之和得到，已知，

故答案为8.

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

9．.

【分析】运用双曲线的第二定义，结合图像即可得到最小值.

【详解】

由题意得，则，

所以，

过点作垂直于双曲线的右准线，垂足为，

设，则，即，

所以

显然，当三点共线时，取得最小值，

为.

10．.

【分析】分类讨论直线的斜率存在与否，当斜率存在时，联立直线和椭圆方程，根据弦长公式可求，进而根据基本等式即可求解面积的最小值，当无斜率时，可求面积为4，进而可求最小值.

【详解】当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立，

设,则，

由弦长公式可得；

因为,故，进而可得

所以四边形的面积为

,

因为，即，

，当且仅当时，等号成立，

当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为

∴四边形面积的最小值为.

11．存在，.

【分析】假设存在点满足题中条件，根据渐近线方程求出离心率，根据等比数列的性质得到，再求出准线方程，利用焦半径公式求出，再代入双曲线方程求出，即可得解.

【详解】解：假设存在点满足题中条件.

∵双曲线的一条渐近线为，，即.

因为成等比数列，所以，所以①，

∵双曲线的两准线方程为，

，.

∵点在双曲线的左支上，，，

代入①得，，代入，

解得，

存在点使成等比数列，点的坐标是.

12．(1)；

(2)4.

【分析】（1）由题可得，即求；

（2）分类讨论，利用条件可得，然后利用韦达定理、弦长公式及面积公式可表示，即求；

(1)

当垂直于x轴时，最小，

其最小值为，∴，

∴抛物线C的标准方程为.

(2)

解法一：取，

则点M在直线上，且点O为线段的中点.

∴.

当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，

，

当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为.

则点O到直线的距离，

联立方程，消去y整理得，

则，，

∴，

综上可得，面积的最小值为4.

解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，

由，得点P的坐标为，

则点P到直线的距离为2，

又，所以的面积为，

当不垂直于x轴时，设其斜率为，

则直线的方程为，

设P，A，B的坐标分别为，，，

则，，

由，得，

，

即，故点P在直线上，且此直线平行于直线.

则点P到直线的距离，

联立方程，消去y整理得，

则，，

∴，

综上可得，面积的最小值为4.

解法三：取，

则点M在直线上，且点O为线段的中点.

∴，

设直线的方程为，则点O到直线的距离.

联立方程，消去x整理得，

则，，

∴，

综上可得，面积的最小值为4.

13．（1）2；（2）以为直径的圆所过定点的坐标为和．

【分析】（1）本小题根据抛物线的定义直接求即可；

（2）本小题先求点的坐标与直线的方程，联立方程表示直线的斜率，从而表示点的坐标，同理表示出点的坐标，接着表示以为直径的圆的方程，最后根据对称性求所过定点即可.

【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，

则，可得，则，

故的值为2．

（2）由（1）知抛物线的标准方程为，代入可求得，

故点的坐标为．

设点，的坐标分别为，，直线的方程为，

联立方程消去后整理，得，

则，，

所以直线的斜率为，

则直线的方程为，代入，

有，可得点的坐标为，同理点的坐标为．

由

可得中点的坐标为．

所以

，

以为直径的圆的方程为．

由对称性知，以为直径的圆若过定点，必在轴上，故当时，

，

解得或

故以为直径的圆所过定点的坐标为和．

【点睛】本题考查抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题，圆所过定点问题，是偏难题.