专题 16.4 二次根式的乘除（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） - 副本

专题 16.4 二次根式的乘除（知识讲解）

【学习目标】

1、  掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2、  了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

【要点梳理】

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
  (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
  (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，≥0，…..≥0）.
  (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

2.积的算术平方根:
　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
  (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，      ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；  (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：
　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
   （1）被开方数不含有分母；

   （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

       满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘法 

1．计算题

（1）﹣25 +3× +              （2）2×（3﹣）﹣5 + 2

【答案】（1）-10；（2）1．

【分析】

（1）先计算开方，再乘法， 后计算加减；            

（2）先去括号，后合并同类项计算即可．

解：（1）原式=﹣25+3×6+（﹣3）

=﹣25+18﹣3

=﹣10；

（2）原式=6﹣2﹣5+2

=6﹣5

=1．

【点拨】本题考查了二次根式的化简，立方根的计算，单项式乘以多项式，合并同类二次根式，熟练掌握运算顺序是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 计算：（+﹣1）（﹣+1）

【答案】2．

【分析】先整理式子，然后运用平方差公式解答即可．

解：原式＝[+(﹣1)][ ﹣(﹣1)]

＝()2﹣(﹣1)2

＝3﹣(2﹣2+1)

＝3﹣2+2﹣1

＝2．

【点拨】本题主要考查平方差公式，涉及二次根式的乘法，属于基础题，熟练掌握平方差公式是解题关键．

【变式2】计算：

【答案】

【分析】根据二次根式的乘法运算法则求解即可．

解：原式=
=

【点拨】此题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则．

【变式3】计算下列各式的值，

（1）+；                （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用求算术平方根、立方根、去绝对值符号直接计算可得；

（2）利用二次根式的乘法展开后，再合并同类项．

解：（1）+，

，

；

（2），

，

．

【点拨】本题考查了求算术平方根、立方根、去绝对值符号、二次根式的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则．

类型二、二次根式的除法 

2．计算：

【答案】

【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．

解：

＝

＝

＝

＝．

【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式．

举一反三：

【变式1】 小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．

【答案】错误；理由见解析.

【分析】

根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．

解：错误，原因是被开方数应该为非负数．

====2.

故答案为错误.

【点拨】本题考查了二次根式的乘除法.

【变式2】计算：

（1）；           （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据绝对值的意义和零指数幂的意义计算；

（2）利用多项式除以单项式法则，二次根式的除法法则和完全平方公式计算．

解：（1）原式＝2+-1-1

＝3-2；

（2）原式＝+-(2-2+1)

＝3+-3+2

＝3．

【点拨】本题考查了绝对值的意义，零指数幂的意义，多项式除以单项式法则，二次根式的除法法则和完全平方公式．解题的关键是牢记并正确运用各个法则．

【变式3】化简：.

【答案】

【分析】对分子运用完全平方公式进行变形，然后约分即可.

解：

【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，学会运用公式对原式进行适当变形是解题的关键.

类型三、二次根式乘除混合运算 

3．计算：

（1）；        （2）．

【答案】（1）15；（2）．

【分析】

（1）根据二次根式的乘除运算性质计算即可；（2）根据二次根式的性质化简即可；

解：（1）原式=．

（2）原式= ．

【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）；      （2）；

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；

（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；

（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式

．

【点拨】本题重点考察的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．

【变式2】计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行即可．

解：

根据题意知：x与y同号

∴

【点拨】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式．

类型四、最简二次根式的判断 

4．判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．

；     ；     ；    ；

；          ．

【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式．

【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可．

解：，不是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

，不是最简二次根式；

是最简二次根式．

【点拨】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

举一反三：

【变式】 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．

（1）     （2）     （3）    （4）    （5）．

【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．

（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；

（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；

（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

类型五、化为最简二次根式 

5．将化简成最简二次根式为_________．

【答案】

【分析】根据二次根式的化简方法求解即可．

解：．

故答案为：．

【点拨】此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法．

举一反三：

【变式1】 化简：化成最简二次根式为______．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质化简即可得答案．

解：∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

【变式2】化简：（1）=_________，（2）=___________．

【答案】       

【分析】

（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行化简运算即可；

（2）将二次根式化为最简二次根式，再进行化简运算即可；

解：（1）原式=

（2）原式=

故答案为:,

【点拨】本题考查最简二次根式和二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

【变式3】已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值.

【答案】，，.

【分析】

由A、B、C是可以合并的最简二次根式可得A、B、C的被开方数相等，由此可得关于a、b的方程，解出a、b的值后，即可求出的值.

解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，

∴ .

∴，则，，且.

∴，则.

故.

【点拨】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义以及合并同类二次根式的法则，正确理解题意，得出关于a、b的方程是求解的关键.

类型六、已知最简单二次根式求参数 

6．已知和是相等的最简二次根式．

求，的值；

求的值．

【答案】 的值是，的值是；（2）．

【分析】

（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；
（2）根据算术平方根的概念解答即可．

解：∵和是相等的最简二次根式，

∴．

解得，，

∴的值是，的值是；

（2）．

【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.

举一反三：

【变式1】 如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值．

【答案】x＝8，y＝6.

【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．

解：由题意，得

3a﹣11＝19﹣2a，

解得　　　a＝6. 　　

所以　　　＋＝0.

因为　　≥0，≥0，

所以　　24－3x＝0，y－6＝0.

解得　    x＝8，y＝6.

【点拨】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键.

【变式2】若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为______.

【答案】3

【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得.

解：∵a是正整数，是最简二次根式，

∴=，

∵a为1时，=3，a为2时，=2，均不是最简二次根式，

a为3时，=，此时是最简二次根式，

∴a最小为3，

故答案为：3.

【点拨】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键.