专题 16.7 二次根式的加减（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）

【学习目标】

1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；

2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

【要点梳理】

要点一、同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
特别说明：
　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
特别说明：
　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.

要点二、二次根式的加减
1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其

中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

特别说明：

（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.            

（2）二次根式加减运算的步骤：
　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
　　3)合并同类二次根式.
要点三、二次根式的混合运算
　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
特别说明：
　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.

【典型例题】

类型一、同类二次根式 

1．是经过化简的二次根式，且与是同类二次根式，则x为（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式）、同类二次根式的定义（把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式）可得，再解方程即可得．

解：由题意得：，

解得，

故选：B．

【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，熟记定义是解题关键．

举一反三：

【变式1】 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】A

【分析】将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可．

解：A. 和    是同类二次根式，故该选项符合题意；

B. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；   

C. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；

D. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；

故选A

【点拨】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

【变式2】已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　）

A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2

【答案】C

【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．

解：∵最简二次根式与2可以合并成一项，

∴，

解得：a＝1，b＝0，

故选：C．

【点拨】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键.

【变式3】已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．

解：∵＝10，x，y为正整数，

∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：

．

∴，，，共有三组正整数解．

故选：C．

【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

类型二、二次根式的加减运算 

2．计算或化简下列各题

（1）；                 （2）．

【答案】（1）0；（2）．

【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先计算二次根式乘法，绝对值化简，乘方，再去括号，合并同类项即可．

（1）解：，

＝，

＝；

（2）解：，

＝ ，

＝．

【点拨】本题考查二次根式混合计算，最简二次根式，绝对值化简，乘方，掌握二次根式混合运算法则，绝对值化简，乘方是解题关键．

举一反三：

【变式1】计算：

【答案】

【分析】根据二次根式的性质化简计算即可；

解：原式．

【点拨】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，准确计算是解题的关键．

【变式2】计算：

【答案】

【分析】根据乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式的性质计算，即可得到答案．

解：

．

【点拨】本题考查了乘方、绝对值、分式、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式的的性质，从而完成求解．

【变式3】计算：

（1）              （2）

【答案】（1）；（2）4

【分析】（1）先将每项二次根式化到最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并；

（2）化简二次根式，计算0指数幂、负指数幂，最后就得结果．

解：（1）

；

（2）

．

【点拨】本题考查了二次根式的化简及加减法，0指数幂、负指数幂等知识点，属于基础计算题．

类型三、二次根式的混合运算 

3．计算或化简：

（1）；          （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）原式第一项进行分母有理化，第二项化简二次根式，第三项运用零指数幂法则化简后再进行加减运算即可得解；

（2）原式先化简二次根式，再进行除法运算即可．

解：（1）

原式=

=；

（2）

原式=

=

=

【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）2×﹣；             （2）÷﹣×＋．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；

（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可．

解：（1）

；

（2）

．

【点拨】本题主要考查了利用二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．

【变式2】计算：

（1）       （2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先计算零次幂及去绝对值符号，将根式化为最简根式，然后依次进行加减运算即可；

（2）先将根式化为最简根式 ，然后在括号内进行加减计算，接着进行除法运算，最后将根式化为最简即可

解：（1）

，

；

（2）

，

，

，

．

【点拨】题目主要考查二次根式的混合运算，0次幂的运算，去绝对值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

【变式3】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A所表示的数为﹣，设点B所表示的数为m．

（1）求m的值；

（2）求|m﹣1|＋（2﹣）（4﹣m）的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，可得，再由点A表示的数为，点B表示的数为m，即可得到，由此求解即可；

（2）根据（1）求出的结果，代入m的值，根据实数的混合计算法则求解即可．

解：（1）由题意得：，

∵点A表示的数为，点B表示的数为m，

∴，

∴；

（2）∵

∴

．

【点拨】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出．

类型四、分母有理化 

4．分母有理化：＝___．

【答案】

【分析】分母中含有根号，则需分子分母同时乘以分母的有理化因式：的有理化因式是它本身，的有理化因式是．

解：，

故答案为．

【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，注意有理化的过程不改变原式大小是解决本题的关键．

【变式1】化简：=________

【答案】##

【分析】把分子分母都乘以（），然后利用平方差公式计算．

解：

．

故答案为：．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．

【变式2】不等式的解集是__________________．

【答案】##

【分析】利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．

解：，

，

，

．

故答案为：

【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法和二次根式的性质是解题的关键．

【变式3】二次根式＋4的一个有理化因式是________________．

【答案】﹣4

【分析】由平方差公式：（＋4）•（﹣4）＝a﹣16可得答案．

解：∵（＋4）•（﹣4）＝a﹣16，

∴＋4的一个有理化因式为﹣4，

故答案为：﹣4．

【点拨】本题主要考查二次根式的有理化，解题的关键是根据平方差公式进行二次根式的有理化．

类型五、已知字母的值化简求值 

5．化简求值：已知，求的值．

【答案】，2

【分析】根据二次根式的运算法则先对原式进行化简，然后把x和y的值代入计算即可．

解：原式．

当时，原式．

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握该知识点是解题关键．

举一反三：

【变式1】先化简代数式，然后当时，求代数式的值．

【答案】，3

【分析】利用分母有理化及平方差公式先将原式化简，再代入求值即可．

解：

；

把代入可得，

原式

．

【点拨】题目主要考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简是解题关键．

【变式2】已知，求的值．

【答案】

【分析】先将根式进行分母有理化，然后代入原式求值即可．

解：

，

．

【点拨】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，掌握二次根式化简是解题的关键．

【变式3】已知x＝+1，求代数式的值．

【答案】；

【分析】利用二次根式的性质化简，然后根据x值化简绝对值，最后代入求出答案．

解：原式化简为：，

∵x＝+1，

∴，

∴原式＝，

把x＝+1，代入得：

【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键，考查学生的计算能力．

类型六、已知条件化简求值 

6．已知求的值．

【答案】

【分析】根据分式的性质将原式化简，然后代入求值即可．

解：原式=

=

∵，

∴原式＝==．

【点拨】本题考查了分式加法，二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运用整体的思想解题是关键．

举一反三：

【变式1】 已知实数x，y满足|x﹣+1|+=0

（1）求x，y的值；             （2）求代数式x2+2x﹣3y的值．

【答案】（1）x=﹣1，y=2；（2）-4

【分析】（1）根据非负数的性质得出关于x，y的方程，再求得x，y的值即可；

（2）把x，y的值代入，即可得出答案．

解：（1）∵|x﹣+1|+=0，

∴x﹣+1=0，y﹣2=0，

解得x=﹣1，y=2；

（2）把x=﹣1，y=2代入x2+2x﹣3y=（﹣1）2+2（﹣1）﹣6=4﹣2+2﹣2﹣6=﹣4．

【点拨】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．

【变式2】已知，求的值．

【答案】16

解：解析：因为二次根式、平方数与绝对值均为非负数，根据几个非负数的和为零，得它们分别为零可求出x，y，z的值，代入代数式求值即可．

答案：解：∵，，，且，

∴解得

∴．

易错：解：根据几个非负数的和为零，则它们分别为零可得，∴．

错因：虽然了解若几个非负数的和为零，则它们分别为零，但整体思想不到位．

满分备考：到目前为止，我们已学习三个非负数：绝对值、平方数与二次根式，它们有独特性质，即若几个非负数的和为零，则它们分别为零，常利用此性质解题．

类型七、比较二次根式的大小 

7．比较大小：______________   (填“>”、“=”或“<”)．

【答案】<

【分析】将两数相减，再判断结果的符号即可．

解：

=

=，

∵，

∴，

即<0，

∴，

故答案为：<．

【点拨】本题考查了二次根式的大小比较以及无理数的估算，掌握作差法是解题的关键．

举一反三：

【变式1】试比较与的大小．

【答案】＜

【分析】将与进行分母有理化，再进行作差运算，得到即可．

解：∵；

，

∴，

∵，

∴，

即＜．

【点拨】本题考查了无理数的比较大小，以及二次根式的分母有理化，解题的关键是将与进行分母有理化，再进行作差运算比较大小．

【变式2】通过估算，比较与的大小．

【答案】．

【分析】根据二次根式的性质得，，然后求解即可．

解：根据二次根式的性质得，

∵

∴，即

故答案为

【点拨】此题考查了二次根式比较大小，涉及了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的大小比较方法．

【变式3】请比较和的大小．

【答案】

【分析】先将两数通分，然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论．

解：，

，

又，

．

【点拨】本题主要考查了实数大小的比较，二次根式的性质．将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关键．

类型八、二次根式的应用 

8．设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：

（海伦公式）．

（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式求这个三角形的面积；

（2）一个三角形边长依次为2、、3，利用海伦公式求这个三角形的面积．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；

（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．

解：（1）P=×（5+6+7）=9，

；

（2）P=×（2++3）=，

P-a=，

P-b=，

P-c=，

所以，S2

，

所以，S=．

【点拨】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用平方差公式计算．

举一反三：

【变式1】 将一组数，，3，，，…，， 按下面的方式进行排列：

按这样的方式进行下去，将所在的位置记为，所在的位置记为，那么

（1）所在的位置应记为       ；

（2）在的位置上的数是       ，所在的位置应记为       ；

（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为             ．

【答案】（1）；（2），（5，4）；（3）（6，2）

【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将30个数按题干方式排列后，依据题意表示即可：

（1）依据在第二行第五列即可得出结论；

（2）每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为；依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定；

（3）由于最大得有理数为，依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定．

解：（1）∵在第二行第五列，

∴所在的位置应记为：，

故答案为：；

（2）由题意得，每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为，

∴（4，1）位置上的数是；

，

，

每行有5个数，

∴所在的位置记为（5，4），

故答案为：，（5，4）；

（3）这组数中最大的有理数是，它所在的位置记为第6行第2列，

∴这组数中最大的有理数所在的位置应记为：（6，2），

故答案为：（6，2）．

【点拨】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定，理解题意，确定被开方数存在的规律是解题的关键．

【变式2】在一个边长为（3+2）cm的正方形的内部挖去一个长为（3+）cm，宽为（4﹣）cm的长方形，求剩余部分的面积．

【答案】

【分析】用大正方形面积减去长方形面积即可求出剩余部分的面积．

解：大正方形的面积：（ ），

长方形的面积：（  ），

剩余部分面积： （)，

答：剩余部分的面积为 （ ）．

【点拨】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．

32．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）           的解法是错误的；

（2）求代数式的值，其中．

【答案】（1）小芳；（2）2025

【分析】（1）a是小于零的数，而算术平方根开出来的数为非负数，小芳开出来a-1是个负数，是不可能存在的．
（2）首先把根号内的式子凑成完全平方，再开算术平方根得到正数，所以得到6-a，再代入a=-2019即可．

解：（1）小芳；
因为小芳开出来的a-1是个小于零的数，这是不可能的．

（2），

∵，

∴，

∴原式，

即代数式的值是2025．

【点拨】本题考查带有二次根式的代数式的计算，注意算术平方根开出来的是正数，掌握这一点是本题解题关键．