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专题 16.19 二次根式知识点分类训练专题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 16.19 二次根式知识点分类训练专题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了a是任意实数，下列各式中，已知，那么的值是，下列式子一定是二次根式的是，下列各式是最简二次根式的是，下列为最简二次根式的是，与是同类二次根式的是，下列二次根式中，不能与合并的是等内容，欢迎下载使用。
专题 16.19 二次根式知识点分类训练专题（巩固篇）
（专项练习）
一、 单选题
知识点一：二次根式概念
1．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，那么的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
3．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二：最简二次根式的概念
4．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．二次根式，，，，中，是最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三：同类二次根式的概念
7．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2
知识点四：分母有理化
10．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
11．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
12．观察下列运算：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点五：复合二次根式的化简
13．在（n是大于3的整数）这5个数中，分数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（ ）
A． B． C． D．
15．已知为有理数，且满足等式，则的值为( ).
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点六：二次根式含参问题
16．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
17．已知是正整数，则实数a的最大整数值为（ ）
A．1 B．7 C．8 D．9
18．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
知识点七：二次根式的大小比较
19．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
20．在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
21．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
知识点八：二次根式的规律问题
22．按一定规律排列的单项式，，，，…，第（为正整数）个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
23．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…，那么第50个数据应该是（ ）
A． B． C． D．
24．观察下列各式规律：①；②；③；…；若， 则m＋n的值为（ ）
A．108 B．109 C．110 D．111
知识点九：二次根式的运算
25．已知a＝，b＝，则的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2
26．估计的值在（ ）之间．
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
27．下列计算中正确的是（ ）
A． （＋ ）＝3 B．（− ）÷＝−1
C．÷＝2 D． （＋）＝＋2
知识点十：二次根式的化简求值
28．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
30．已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）
A．9+5 B．9+3 C．5+5 D．5+3
二、填空题
知识点一：二次根式概念
31．若，则__________．
32．已知a、b满足，则的值为______．
33．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
知识点二：最简二次根式的概念
34．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个．
35．下列二次根式，，，，，中，最为简二次根式的是______.
36．在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有________个．
知识点三：同类二次根式的概念
37．李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
38．若最简二次根式与是同类根式，则______．
39．在中与是同类二次根式的有___个．已知，则yx＝___．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝___．
知识点四：分母有理化
40．已知，则_____．
41．不等式的解集是___________．
42．观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．
知识点五：复合二次根式的化简
43．完成下列各题，
（1）若，那么的值是_______．
（2）化简：_______．
44．化简_______．
45．代数式的值是______.
知识点六：二次根式含参问题
46．已知是正整数，是整数，则的最小值为______．
47．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．
48．已知是正整数，是整数，则的最小值为________．
知识点七：二次根式的大小比较
49．比较大小：______．
50．比较大小：__，__．（填“”“ ”“ ”
51．比较大小：（1）_____；（2）_____．
知识点八：二次根式的规律问题
52．利用下面表格中的规律计算：已知，，，则______．（用含的代数式表示）
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
0.1
1
10
100
53．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．
54．观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
知识点九：二次根式的运算
55．计算：_____．
56．观察下列各式：
；；；……请利用你发现的规律，计算：其结果为_________．
57．已知m、n分别表示的整数部分和小数部分，求＝________．
知识点十：二次根式的化简求值
58．已知4x2+y2﹣4x﹣6y+10＝0，则（x+y2）﹣（x2﹣5x）的值为 _____．
59．已知，，求的值__________．
60．已知，求______________．
三、解答题
61．计算：
(1)． (2)．
62．计算题
(1) (2)
(3)
63．已知，，求代数式的值．
64．阅读并解答下列问题，例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)已知：小数部分是，小数部分是，请求出m+n的值．
65．观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①；
②；
③；
……
(1)化简：______．
(2)化简：______（n为正整数）．
(3)利用上面所揭示的规律计算：
参考答案
1．C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】
∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点拨】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
2．C
【解析】
【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解．
【详解】
∵
=
=
=1，
∴=．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【详解】
根据二次根式的定义可得中得被开方数a无论为何值都是非负数，
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
4．D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，判断即可．
【详解】
解：A.，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】在根号内不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式，据此逐一判断即可得答案．
【详解】
A.是最简二次根式，故该选项符合题意，
B.根号内含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
C.=，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
D.=，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可．
【详解】
，，都不是最简二次根式，
，是最简二次根式，共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．D
【解析】
【分析】将各选项化简，被开方数是2的二次根式是的同类二次根式，从而得出答案．
【详解】
解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，被开方数不是2，故该选项不符合题意；
C选项，=2，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.
【详解】
∵，，，，
∴不能与合并的是，
故选C.
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.
9．C
【解析】
【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
∵最简二次根式与2可以合并成一项，
∴，
解得：a＝1，b＝0，
故选：C．
【点拨】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键.
10．A
【解析】
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【详解】
解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．
11．D
【解析】
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．
12．D
【解析】
【分析】先将分母有理化，因为分母均为2，然后分子相加，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：，
，
，
…..
，
∴，
=+++…++，
=,
=．
故选择D．
【点拨】本题考查二次根式化简，熟练掌握利用平方差公式将分母有理化，二次根式加减法运算法则是解题关键．
13．B
【解析】
【分析】先把和化简，再根据分数的定义进行解答．
【详解】
解：，
当是整数时，与中有一个是无理数，即与不可能同时取到完全平方数，
设，，有，
，
∴，，
∵，不是整数解，
∴不是分数．
是无理数，不是分数，
故分数有三个：，0.2020，．
故选：B．
【点拨】本题考查的是实数的分类，把和进行化简是解答此题的关键．
14．A
【解析】
【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解．
【详解】
解：两侧同时平方，得到
∴
∴,
，
∴xyz＝，
故选择：A．
【点拨】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．
15．B
【解析】
【分析】利用完全平方公式将逐步化简为，代入等式得出，从而得出答案.
【详解】
∵
∴
∴，
，即．
∵，为有理数，
，，即．
【点拨】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
16．D
【解析】
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】
解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
17．B
【解析】
【分析】因为是整数，且，则2（9−a）是完全平方数，据此分析解答．
【详解】
∵是正整数，且，
∴是完全平方数，
∴，即：，
∴实数a的最大整数值为7，
故选B．
【点拨】本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
18．B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：若有意义，则，
解得，
所以，m能取的最小整数值是1．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
19．D
【解析】
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】
A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
20．A
【解析】
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度的取值范围，从而得到答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝，
∴﹣＜AC＜+，
∵（+）2＝8+4＜8+4×2＝16＝42，
∴+＜4，
∵＞，
∴﹣＞0，
∴0＜AC＜4，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形三边关系以及二次根式的比较大小，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
21．B
【解析】
【分析】将，进行分母有理化，再比较即可．
【详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
22．B
【解析】
【分析】根据每一项的系数、字母指数的变化规律得出答案．
【详解】
解：a＝（−1）2×1×a1，
＝（−1）3×2× a2，
＝（−1）4×3× a3，
＝（−1）5×4× a4，
…，
第n（n为正整数）为
故选：B．
【点拨】本题考查算术平方根，数字的变化美，探索和发现每一项的系数、字母指数的变化规律是得出正确答案的关键．
23．C
【解析】
【分析】观察0，，，3，，，，…发现被开方数依次为0，3，6，9，12，15，18，后一项比前一项多3，确定第n项被开方数是3n-3，代入50即可求解.
【详解】
解：第1个数是 ，
第2个数是，
第3个数是，
第4个数是，
第5个数是，
第6个数是，
第7个数是，…
第n个数是,
所以第50个数是，
故选C.
【点拨】本题主要考查数的规律探究，解决本题的关键是要观察归纳总结数的变化规律.
24．B
【解析】
【分析】先找出分母与分子的关系，从而得到一般规律是，然后由列出代数式即可解得．
【详解】
解：∵；；；
．
当时，，即．
∴，
故：
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
25．A
【解析】
【分析】先进行通分计算，然后代入求值即可．
【详解】
解：原式＝
＝
当a＝，b＝时，
原式＝
＝
＝﹣2
故选：A．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键．
26．D
【解析】
【分析】先化简二次根式混合运算，得出，再估值，得出，三边同时加2即可．
【详解】
解：，
=，
=，
=，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式混合运算，估值，掌握二次根式混合运算法则和估值方法是解题关键．
27．B
【解析】
略
28．B
【解析】
【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴= -，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
29．D
【解析】
【分析】先将x3﹣xy2因式分解为，再计算出，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解和二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
30．D
【解析】
【分析】把已知条件变形得到x-2=，两边平方得到x2=4x+1，利用降次的方法得到原式=3x-1，然后把 x 的值代入计算即可．
【详解】
∵x＝+2，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，
∴x2＝4x+1，
∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，
当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，运用整体代入的方法可简化计算．
31．或
【解析】
【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴2x-1=0或2x-1=1，
解得：或1．
故答案为或．
【点拨】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键．
32．
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a，进而求出b，根据有理数的乘方法则计算即可．
【详解】
解：由题意得：3-a≥0，a-3≥0，
解得：a=3，
则b=-5，
∴b3=（-5）3=-125，
故答案为：-125
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
33．．
【解析】
【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．
【详解】
解：由得，
有意义，且，
方程没有实数根，即，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．
34．2
【解析】
【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】
解： =，=，=，=，=，=，=，
∴，是最简二次根式，
故答案为：2.
【点拨】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式.
35．，.
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】
，，含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
根号内含有分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
故答案为，．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
36．
【解析】
【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答．
【详解】
二次根式，中，，是最简二次根式，其余都不是，共有2个最简二次根式.
故答案为2.
【点拨】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
37．①
【解析】
【分析】由立方根的含义可判断①，由二次根式有意义的条件可判断②，由 可判断③，由算术平方根的含义可判断④，由负整数指数幂的含义可判断⑤，由同类二次根式的含义可判断⑥，从而可得答案.
【详解】
解：，运算正确，故①符合题意；
没有意义，不能运算，故②不符合题意；
故③不符合题意；
故④不符合题意；
故⑤不符合题意；
不是同类二次根式，故⑥不符合题意；
故答案为：①
【点拨】本题考查的是立方根的含义，算术平方根的含义，二次根式的化简，负整数指数幂的含义，同类二次根式的含义，掌握以上基础概念及运算是解本题的关键.
38．
【解析】
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义得到a+2=5a-3，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：根据题意得a+2=5a-3，
解得a=．
故答案为．
【点拨】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
39． 2 9 1
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的基本性质化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可；
（2）由于与互为相反数，根据二次根式的性质即可得到的值，然后求出，最后代入所求代数式即可求解；
（3）首先估算的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，，，
∴与是同类二次根式的有、，共2个；
（2）∵，
∴，
∴，
；
（3），
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故答案为：2，9，1．
【点拨】此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值．
40．
【解析】
【分析】利用二次根式有意义的条件可得，即：，所以，则，代入可得，可求出．
【详解】
解：由题意得：，
又∵，
∴，
∴，则，
当时，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查代数式求值，涉及了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
41．
【解析】
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【详解】
解：，
，
，
，
∴．
故答案为．
【点拨】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．
42．
【解析】
【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．
【详解】
解：原式
，
故答案是：2021．
【点拨】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，解题的关键是能够发现式子的规律．
43．
【解析】
【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可；
（2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可．
【详解】
解：（1）原式，
，
，
∵，
∴，
原式，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键．
44．
【解析】
【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
45．．
【解析】
【分析】首先把原式平方，计算出结果，再进一步开方得出答案即可.
【详解】
设，
则x2=
=
=16+2
=18，
∵x>0，
∴x=.
故答案为．
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，根据式子的特点，灵活变形，运用适当的方法解决问题.
46．6
【解析】
【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，据此即可求得m的值．
【详解】
解：，
的正整数值最小为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了二次根式的意义，正确理解是完全平方数是关键．
47．4
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案．
【详解】
解：当5m+8=7时，m=-，不合题意，
当=2，即5m+8=28时，m=4，
∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式．
48．2
【解析】
【分析】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可．
【详解】
解：∵98=72×2，
又∵n是正整数，是整数，
∴符合n的最小值是2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
49．＞
【解析】
【分析】先求，，得到，变形即可得到：．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：＞．
【点拨】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形．
50．
【解析】
【分析】第一空比较分子大小即可，第二空分子有理化得到，，从而可得结论．
【详解】
解：∵
∴
∵，，且
∴
∴
故答案为：；
【点拨】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较，灵活掌握比较大小的方法是解答本题的关键．
51． > >
【解析】
【分析】（1）利用分子有理化比较大小即可；
（2）利用作差法结合配方法即可比较大小；
【详解】
解：（1）∵，
，
而>，
∴<，
∴>,
（2）∵，
∴
故答案为：（1）>；（2）>
【点拨】本题主要考查了比较大小方法的应用，本题比较大小方法有：分子有理化和作差法，结合题目特征，灵活选用恰当的方法比较大小是解题的关键．
52．
【解析】
【分析】根据已知条件将a+b化为，利用二次根式的乘法法则的逆运算以及求一个数的算术平方根，即可得到答案．
【详解】
解：∵，，，
∴
=
=
=0.1k+10k
=10.1k，
故答案为：．
【点拨】此题考查多项式的求值计算，二次根式的乘法法则的逆运算，求一个数的算术平方根，将a+b化为是解题的关键．
53．
【解析】
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
第n个等腰直角三角形的面积
则第2021个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
54．
【解析】
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．
【详解】
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填：．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
55．
【解析】
【分析】将原式根据同底数幂的乘法的逆用和积的乘方的逆用变形，再结合平方差公式即可求解．
【详解】
原式
．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，同底数幂的乘法的逆用、积的乘方的逆用以及平方差公式．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
56．
【解析】
【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．
【详解】
=
故答案为：
【点拨】本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．
57．6
【解析】
【分析】先判断在哪两个连续整数之间，再判断的整数部分和小数部分得到m、n的值代入所求代数式即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查了代数式的求值问题，根据夹逼法求得的整数部分和小数部分得到m、n的值是解题的关键．
58．-
【解析】
【分析】先利用配方法得到（2x﹣1）2+（y﹣3）2＝0，则利用非负数的性质可解得x＝，y＝3，再化简原式，先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并得到原式＝，然后把x和y的值代入计算即可．
【详解】
解：∵4x2+y2﹣4x﹣6y+10＝0，
∴（2x﹣1）2+（y﹣3）2＝0，
∴2x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝，y＝3，
原式＝
=
当x＝，y＝3，
原式＝
故答案为-．
【点拨】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值，解题的关键是求出x＝，y＝3．
59．
【解析】
【分析】利用根式的基本性质将原式化简，再通分，最后代入数值计算即可解答．
【详解】
解：，，
=
=
=
∴把，代入，有：
原式==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化的内容，熟记公式是解答本题的关键．
60．4
【解析】
【分析】由题意，先求出和的值，然后相加，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴；
；
∴；
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
61．(1)0
(2)6
【解析】
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
(1)
解：
＝5﹣3﹣2
＝0；
(2)
解：
＝18﹣12
＝6．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
62．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)首先把各二次根式都化为最简二次根式，再进行加减运算即可求得结果；
(2)首先把除法运算转化为乘法运算，再根据乘法的分配律进行运算即可；
(3)根据零指数幂的运算、二次根式的化简、去绝对值符号，即可求得．
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键，注意最后要化成最简二次根式．
63．8
【解析】
【分析】先算出的值，再代入中计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴
∵，
∴原式．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
64．(1)4，-4；
(2)1
【解析】
【分析】（1）因为（即），所以可得的整数部分；用减去得到的整数部分，可得的小数部分；
（2）由与的小数部分相同，可得的值，根据不等式的性质求出的整数部分，用减去的整数部分，可得的值，将、的值代入即可．
(1)
∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
(2)
∵小数部分是，由（1）得的小数部分是，
∴与的小数部分相同，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分是4，
∵的小数部分是，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了二次根式性质的应用、不等式的性质、整数、小数等知识点，解答本题的关键是理解题干并熟练运用以上知识点．
65．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】（1）分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案；
（2）分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案；
（3）将式子中的所有分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案．
(1)
故答案为：
(2)
=
故答案为：
(3)
=
=
=
【点拨】本题主要考查了二次根式的有理化运算，正确找出分母有理化因式是解答本题的关键．
专题 16.19 二次根式知识点分类训练专题（巩固篇）
（专项练习）
一、 单选题
知识点一：二次根式概念
1．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，那么的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
3．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二：最简二次根式的概念
4．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．二次根式，，，，中，是最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三：同类二次根式的概念
7．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2
知识点四：分母有理化
10．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
11．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
12．观察下列运算：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点五：复合二次根式的化简
13．在（n是大于3的整数）这5个数中，分数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（ ）
A． B． C． D．
15．已知为有理数，且满足等式，则的值为( ).
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点六：二次根式含参问题
16．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
17．已知是正整数，则实数a的最大整数值为（ ）
A．1 B．7 C．8 D．9
18．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
知识点七：二次根式的大小比较
19．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
20．在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
21．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
知识点八：二次根式的规律问题
22．按一定规律排列的单项式，，，，…，第（为正整数）个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
23．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…，那么第50个数据应该是（ ）
A． B． C． D．
24．观察下列各式规律：①；②；③；…；若， 则m＋n的值为（ ）
A．108 B．109 C．110 D．111
知识点九：二次根式的运算
25．已知a＝，b＝，则的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2
26．估计的值在（ ）之间．
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
27．下列计算中正确的是（ ）
A． （＋ ）＝3 B．（− ）÷＝−1
C．÷＝2 D． （＋）＝＋2
知识点十：二次根式的化简求值
28．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
30．已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）
A．9+5 B．9+3 C．5+5 D．5+3
二、填空题
知识点一：二次根式概念
31．若，则__________．
32．已知a、b满足，则的值为______．
33．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
知识点二：最简二次根式的概念
34．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个．
35．下列二次根式，，，，，中，最为简二次根式的是______.
36．在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有________个．
知识点三：同类二次根式的概念
37．李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
38．若最简二次根式与是同类根式，则______．
39．在中与是同类二次根式的有___个．已知，则yx＝___．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝___．
知识点四：分母有理化
40．已知，则_____．
41．不等式的解集是___________．
42．观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．
知识点五：复合二次根式的化简
43．完成下列各题，
（1）若，那么的值是_______．
（2）化简：_______．
44．化简_______．
45．代数式的值是______.
知识点六：二次根式含参问题
46．已知是正整数，是整数，则的最小值为______．
47．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．
48．已知是正整数，是整数，则的最小值为________．
知识点七：二次根式的大小比较
49．比较大小：______．
50．比较大小：__，__．（填“”“ ”“ ”
51．比较大小：（1）_____；（2）_____．
知识点八：二次根式的规律问题
52．利用下面表格中的规律计算：已知，，，则______．（用含的代数式表示）
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
0.1
1
10
100
53．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．
54．观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
知识点九：二次根式的运算
55．计算：_____．
56．观察下列各式：
；；；……请利用你发现的规律，计算：其结果为_________．
57．已知m、n分别表示的整数部分和小数部分，求＝________．
知识点十：二次根式的化简求值
58．已知4x2+y2﹣4x﹣6y+10＝0，则（x+y2）﹣（x2﹣5x）的值为 _____．
59．已知，，求的值__________．
60．已知，求______________．
三、解答题
61．计算：
(1)． (2)．
62．计算题
(1) (2)
(3)
63．已知，，求代数式的值．
64．阅读并解答下列问题，例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)已知：小数部分是，小数部分是，请求出m+n的值．
65．观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①；
②；
③；
……
(1)化简：______．
(2)化简：______（n为正整数）．
(3)利用上面所揭示的规律计算：
参考答案
1．C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】
∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点拨】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
2．C
【解析】
【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解．
【详解】
∵
=
=
=1，
∴=．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【详解】
根据二次根式的定义可得中得被开方数a无论为何值都是非负数，
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
4．D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，判断即可．
【详解】
解：A.，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】在根号内不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式，据此逐一判断即可得答案．
【详解】
A.是最简二次根式，故该选项符合题意，
B.根号内含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
C.=，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
D.=，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可．
【详解】
，，都不是最简二次根式，
，是最简二次根式，共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．D
【解析】
【分析】将各选项化简，被开方数是2的二次根式是的同类二次根式，从而得出答案．
【详解】
解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，被开方数不是2，故该选项不符合题意；
C选项，=2，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.
【详解】
∵，，，，
∴不能与合并的是，
故选C.
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.
9．C
【解析】
【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
∵最简二次根式与2可以合并成一项，
∴，
解得：a＝1，b＝0，
故选：C．
【点拨】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键.
10．A
【解析】
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【详解】
解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．
11．D
【解析】
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．
12．D
【解析】
【分析】先将分母有理化，因为分母均为2，然后分子相加，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：，
，
，
…..
，
∴，
=+++…++，
=,
=．
故选择D．
【点拨】本题考查二次根式化简，熟练掌握利用平方差公式将分母有理化，二次根式加减法运算法则是解题关键．
13．B
【解析】
【分析】先把和化简，再根据分数的定义进行解答．
【详解】
解：，
当是整数时，与中有一个是无理数，即与不可能同时取到完全平方数，
设，，有，
，
∴，，
∵，不是整数解，
∴不是分数．
是无理数，不是分数，
故分数有三个：，0.2020，．
故选：B．
【点拨】本题考查的是实数的分类，把和进行化简是解答此题的关键．
14．A
【解析】
【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解．
【详解】
解：两侧同时平方，得到
∴
∴,
，
∴xyz＝，
故选择：A．
【点拨】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．
15．B
【解析】
【分析】利用完全平方公式将逐步化简为，代入等式得出，从而得出答案.
【详解】
∵
∴
∴，
，即．
∵，为有理数，
，，即．
【点拨】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
16．D
【解析】
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】
解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
17．B
【解析】
【分析】因为是整数，且，则2（9−a）是完全平方数，据此分析解答．
【详解】
∵是正整数，且，
∴是完全平方数，
∴，即：，
∴实数a的最大整数值为7，
故选B．
【点拨】本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
18．B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：若有意义，则，
解得，
所以，m能取的最小整数值是1．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
19．D
【解析】
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】
A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
20．A
【解析】
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度的取值范围，从而得到答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝，
∴﹣＜AC＜+，
∵（+）2＝8+4＜8+4×2＝16＝42，
∴+＜4，
∵＞，
∴﹣＞0，
∴0＜AC＜4，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形三边关系以及二次根式的比较大小，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
21．B
【解析】
【分析】将，进行分母有理化，再比较即可．
【详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
22．B
【解析】
【分析】根据每一项的系数、字母指数的变化规律得出答案．
【详解】
解：a＝（−1）2×1×a1，
＝（−1）3×2× a2，
＝（−1）4×3× a3，
＝（−1）5×4× a4，
…，
第n（n为正整数）为
故选：B．
【点拨】本题考查算术平方根，数字的变化美，探索和发现每一项的系数、字母指数的变化规律是得出正确答案的关键．
23．C
【解析】
【分析】观察0，，，3，，，，…发现被开方数依次为0，3，6，9，12，15，18，后一项比前一项多3，确定第n项被开方数是3n-3，代入50即可求解.
【详解】
解：第1个数是 ，
第2个数是，
第3个数是，
第4个数是，
第5个数是，
第6个数是，
第7个数是，…
第n个数是,
所以第50个数是，
故选C.
【点拨】本题主要考查数的规律探究，解决本题的关键是要观察归纳总结数的变化规律.
24．B
【解析】
【分析】先找出分母与分子的关系，从而得到一般规律是，然后由列出代数式即可解得．
【详解】
解：∵；；；
．
当时，，即．
∴，
故：
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
25．A
【解析】
【分析】先进行通分计算，然后代入求值即可．
【详解】
解：原式＝
＝
当a＝，b＝时，
原式＝
＝
＝﹣2
故选：A．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键．
26．D
【解析】
【分析】先化简二次根式混合运算，得出，再估值，得出，三边同时加2即可．
【详解】
解：，
=，
=，
=，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式混合运算，估值，掌握二次根式混合运算法则和估值方法是解题关键．
27．B
【解析】
略
28．B
【解析】
【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴= -，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
29．D
【解析】
【分析】先将x3﹣xy2因式分解为，再计算出，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解和二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
30．D
【解析】
【分析】把已知条件变形得到x-2=，两边平方得到x2=4x+1，利用降次的方法得到原式=3x-1，然后把 x 的值代入计算即可．
【详解】
∵x＝+2，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，
∴x2＝4x+1，
∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，
当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，运用整体代入的方法可简化计算．
31．或
【解析】
【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴2x-1=0或2x-1=1，
解得：或1．
故答案为或．
【点拨】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键．
32．
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a，进而求出b，根据有理数的乘方法则计算即可．
【详解】
解：由题意得：3-a≥0，a-3≥0，
解得：a=3，
则b=-5，
∴b3=（-5）3=-125，
故答案为：-125
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
33．．
【解析】
【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．
【详解】
解：由得，
有意义，且，
方程没有实数根，即，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．
34．2
【解析】
【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】
解： =，=，=，=，=，=，=，
∴，是最简二次根式，
故答案为：2.
【点拨】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式.
35．，.
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】
，，含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
根号内含有分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
故答案为，．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
36．
【解析】
【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答．
【详解】
二次根式，中，，是最简二次根式，其余都不是，共有2个最简二次根式.
故答案为2.
【点拨】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
37．①
【解析】
【分析】由立方根的含义可判断①，由二次根式有意义的条件可判断②，由 可判断③，由算术平方根的含义可判断④，由负整数指数幂的含义可判断⑤，由同类二次根式的含义可判断⑥，从而可得答案.
【详解】
解：，运算正确，故①符合题意；
没有意义，不能运算，故②不符合题意；
故③不符合题意；
故④不符合题意；
故⑤不符合题意；
不是同类二次根式，故⑥不符合题意；
故答案为：①
【点拨】本题考查的是立方根的含义，算术平方根的含义，二次根式的化简，负整数指数幂的含义，同类二次根式的含义，掌握以上基础概念及运算是解本题的关键.
38．
【解析】
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义得到a+2=5a-3，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：根据题意得a+2=5a-3，
解得a=．
故答案为．
【点拨】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
39． 2 9 1
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的基本性质化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可；
（2）由于与互为相反数，根据二次根式的性质即可得到的值，然后求出，最后代入所求代数式即可求解；
（3）首先估算的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，，，
∴与是同类二次根式的有、，共2个；
（2）∵，
∴，
∴，
；
（3），
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故答案为：2，9，1．
【点拨】此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值．
40．
【解析】
【分析】利用二次根式有意义的条件可得，即：，所以，则，代入可得，可求出．
【详解】
解：由题意得：，
又∵，
∴，
∴，则，
当时，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查代数式求值，涉及了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
41．
【解析】
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【详解】
解：，
，
，
，
∴．
故答案为．
【点拨】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．
42．
【解析】
【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．
【详解】
解：原式
，
故答案是：2021．
【点拨】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，解题的关键是能够发现式子的规律．
43．
【解析】
【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可；
（2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可．
【详解】
解：（1）原式，
，
，
∵，
∴，
原式，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键．
44．
【解析】
【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
45．．
【解析】
【分析】首先把原式平方，计算出结果，再进一步开方得出答案即可.
【详解】
设，
则x2=
=
=16+2
=18，
∵x>0，
∴x=.
故答案为．
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，根据式子的特点，灵活变形，运用适当的方法解决问题.
46．6
【解析】
【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，据此即可求得m的值．
【详解】
解：，
的正整数值最小为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了二次根式的意义，正确理解是完全平方数是关键．
47．4
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案．
【详解】
解：当5m+8=7时，m=-，不合题意，
当=2，即5m+8=28时，m=4，
∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式．
48．2
【解析】
【分析】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可．
【详解】
解：∵98=72×2，
又∵n是正整数，是整数，
∴符合n的最小值是2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
49．＞
【解析】
【分析】先求，，得到，变形即可得到：．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：＞．
【点拨】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形．
50．
【解析】
【分析】第一空比较分子大小即可，第二空分子有理化得到，，从而可得结论．
【详解】
解：∵
∴
∵，，且
∴
∴
故答案为：；
【点拨】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较，灵活掌握比较大小的方法是解答本题的关键．
51． > >
【解析】
【分析】（1）利用分子有理化比较大小即可；
（2）利用作差法结合配方法即可比较大小；
【详解】
解：（1）∵，
，
而>，
∴<，
∴>,
（2）∵，
∴
故答案为：（1）>；（2）>
【点拨】本题主要考查了比较大小方法的应用，本题比较大小方法有：分子有理化和作差法，结合题目特征，灵活选用恰当的方法比较大小是解题的关键．
52．
【解析】
【分析】根据已知条件将a+b化为，利用二次根式的乘法法则的逆运算以及求一个数的算术平方根，即可得到答案．
【详解】
解：∵，，，
∴
=
=
=0.1k+10k
=10.1k，
故答案为：．
【点拨】此题考查多项式的求值计算，二次根式的乘法法则的逆运算，求一个数的算术平方根，将a+b化为是解题的关键．
53．
【解析】
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
第n个等腰直角三角形的面积
则第2021个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
54．
【解析】
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．
【详解】
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填：．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
55．
【解析】
【分析】将原式根据同底数幂的乘法的逆用和积的乘方的逆用变形，再结合平方差公式即可求解．
【详解】
原式
．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，同底数幂的乘法的逆用、积的乘方的逆用以及平方差公式．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
56．
【解析】
【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．
【详解】
=
故答案为：
【点拨】本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．
57．6
【解析】
【分析】先判断在哪两个连续整数之间，再判断的整数部分和小数部分得到m、n的值代入所求代数式即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查了代数式的求值问题，根据夹逼法求得的整数部分和小数部分得到m、n的值是解题的关键．
58．-
【解析】
【分析】先利用配方法得到（2x﹣1）2+（y﹣3）2＝0，则利用非负数的性质可解得x＝，y＝3，再化简原式，先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并得到原式＝，然后把x和y的值代入计算即可．
【详解】
解：∵4x2+y2﹣4x﹣6y+10＝0，
∴（2x﹣1）2+（y﹣3）2＝0，
∴2x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝，y＝3，
原式＝
=
当x＝，y＝3，
原式＝
故答案为-．
【点拨】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值，解题的关键是求出x＝，y＝3．
59．
【解析】
【分析】利用根式的基本性质将原式化简，再通分，最后代入数值计算即可解答．
【详解】
解：，，
=
=
=
∴把，代入，有：
原式==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化的内容，熟记公式是解答本题的关键．
60．4
【解析】
【分析】由题意，先求出和的值，然后相加，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴；
；
∴；
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
61．(1)0
(2)6
【解析】
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
(1)
解：
＝5﹣3﹣2
＝0；
(2)
解：
＝18﹣12
＝6．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
62．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)首先把各二次根式都化为最简二次根式，再进行加减运算即可求得结果；
(2)首先把除法运算转化为乘法运算，再根据乘法的分配律进行运算即可；
(3)根据零指数幂的运算、二次根式的化简、去绝对值符号，即可求得．
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键，注意最后要化成最简二次根式．
63．8
【解析】
【分析】先算出的值，再代入中计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴
∵，
∴原式．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
64．(1)4，-4；
(2)1
【解析】
【分析】（1）因为（即），所以可得的整数部分；用减去得到的整数部分，可得的小数部分；
（2）由与的小数部分相同，可得的值，根据不等式的性质求出的整数部分，用减去的整数部分，可得的值，将、的值代入即可．
(1)
∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
(2)
∵小数部分是，由（1）得的小数部分是，
∴与的小数部分相同，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分是4，
∵的小数部分是，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了二次根式性质的应用、不等式的性质、整数、小数等知识点，解答本题的关键是理解题干并熟练运用以上知识点．
65．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】（1）分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案；
（2）分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案；
（3）将式子中的所有分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案．
(1)
故答案为：
(2)
=
故答案为：
(3)
=
=
=
【点拨】本题主要考查了二次根式的有理化运算，正确找出分母有理化因式是解答本题的关键．
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