专题 17.1 勾股定理（知识讲解1）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 17.1 勾股定理（知识讲解1）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共29页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题 17.1 勾股定理（知识讲解1）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
　 （3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中，所以.
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　 　　图（2）中，所以.
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
　　　　 ，所以.
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
【典型例题】
类型一、用勾股定理理解直角三角形
1．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

【答案】
【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC=尺，
∴可列方程为：，

故答案为：．
【点拨】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
举一反三：
【变式1】 在中，，若，则的长是________．
【答案】17
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
【变式2】若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
【答案】2.4或
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
解：若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型二、两点距离公式
2．在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．0
【答案】C
【分析】根据两点之间的距离公式即可求得的值．
解：根据两点之间的距离公式得

∴当时，最小
故答案为C．
【点拨】此题考查了平面直角坐标系中动点问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为(　　)

A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(0，1) D．(﹣1，0)
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答即可．
解：由题意得，OB＝3，OA＝4，
∴AB＝ ＝5，
则AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝1，
∴点C坐标为(﹣1，0)，
故选D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【变式2】点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．－4 D．5
【答案】D
【分析】利用两点之间的距离公式即可得．
解：点到坐标原点的距离是，
故选：D．
【点拨】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．
类型三、勾股数
3．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．，， C．1，， D．7，24，26
【答案】A
【分析】根据勾股数的定义：有、、三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可．
解：、，是勾股数，符合题意；
、，不是勾股数，不符合题意；
、，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
、，不是勾股数，不符合题意．
故选：．
【点拨】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
解：①42+52≠62，故不是勾股数；
②0.6、0.8、1不都是正整数，故不是勾股数；
③72+42≠252，故不是勾股数；
④82+152＝172，故是勾股数；
⑤92+402＝412，故是勾股数；
其中勾股数有2组，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股数的概念，熟练掌握勾股数的定义是解本题的关键．
【变式2】下列各组数中，勾股数是（　　）
A．32，42，52 B．1，， C．0.6，0.8，1 D．5，12，13
【答案】D
【分析】勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
解：A、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、52+122=132，是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股数，注意：①一组勾股数中的三个数必须是正整数，例如：0.3，0.4，0.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…掌握勾股数的定义是解题的关键．
类型四、勾股树中的面积问题
4．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）


A．3 B．9 C．16 D．25
【答案】B
【分析】根据正方形的性质和勾股定理求解即可．
解：如图，设直角三角形的直角边为a、b、c，
∵四边形ABEF为正方形，
∴AB=EF=c，∠ABC=90°，
∴c=AB==3，
∵，
∴阴影部分的面积为9，
故选：B．

【点拨】本题考查正方形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
举一反三：
【变式1】 小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式中的、、可以看成以、、为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（、、为底）、半圆，其中不满足这个关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】分别求出每一个选项的，，，然后进行判断即可．
解：如图所示，三角形ABC是等边三角形，BD是AC上的高，
∴，
∴，
∴

A、∴，，，
∵，
∴，故A选项不符合题意；
B、，，，
∵，
∴，故B选项不符合题意；
C、∵等腰三角形的面积=底×高，设面积为的三角形AB边上的高为，设面积为的三角形BC边上的高为，设面积为的三角形AC边上的高为，
∴，，，
∵无法确定，，的值，
∴不能得到，故C选项不符合题意；
D、，，，
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
【变式2】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，然后求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解．
解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，
∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，
∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，
即a2﹣b2＝16，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴a2﹣b2＝c2，
∴c2＝16，
∴c＝4（负值已舍去），
∴S△ABC＝bc＝2b＝4，
∴b＝2，
∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，
∴正方形BCFG的面积为20，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得a2﹣b2＝16是解题的关键．
类型五、勾股定理解决网格问题
5．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，的长，再利即可求解．
解：如图：过点A作AD⊥BC于D，

由网格特征和勾股定理可得，，




S△ABC＝BC•AD，
，
∴AD＝，
故选：C
【点拨】本题考查了三角形面积的求法，结合网格的特点求出三角形的面积是解题关键．
举一反三：
【变式1】 在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】通过构建全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果．
解：如图所示：

由作图可知，∠1＝∠4，∠2＝∠3，AC＝BC，
设正方形方格的边长为1，则 ；；
∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠CAB＝45°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等图形，正确构建等腰直角三角形是解答本题的关键．
【变式2】如图，网格线的交点称为格点，任取个格点构成等腰三角形，则下列可以作为腰长的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别以各选项的数字画格点等腰三角形，即可判断．
解：如图：

可以构成为腰长的等腰三角形，
而不能画出腰长为和和的格点三角形，
故选A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理与网格问题，解题的关键是掌握如何在网格中画某一长度的线段．
类型六、勾股定理与折叠问题
6．如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．

【答案】
【分析】由翻折的性质可得：，，在中，由勾股定理，可得，从而得到，然后设，，在中，由勾股定理，即可求解．
解：由翻折的性质可得：，，
在中，，
∴，
设，，
在中，，即，
解得，
∴的长为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长．


【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质可得BE=BC=8，DE=CD，则AE=AB-BE=2，即可得到△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，则∠DEA=90°，即可得到，则，由此求解即可．
解：（1）由折叠的性质可知，BE=BC=8，DE=CD，
∴AE=AB-BE=2，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，
由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，
∴∠DEA=90°，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．

【答案】CD＝cm
【分析】由翻折易得DB＝AD，利用直角三角形ACD，勾股定理即可求得CD长．
解：由题意得DB＝AD；
设CD＝xcm，则
AD＝DB＝（8﹣x）cm，
∵∠C＝90°，∴在Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AD2﹣CD2＝AC2，即（8﹣x）2﹣x2＝36，
解得x＝；
即CD＝cm．
【点拨】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知翻折前后对应边相等，勾股定理的应用．
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
7．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________．

【答案】8
【分析】设BC=x，AC=y，根据勾股定理列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．
解：设BC=x，AC=y，
∵直角三角形两个锐角顶点所引的中线
∴
在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得：

∴
∴
∴
故答案为：8
【点拨】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．
举一反三：
【变式1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是底边BC上一点，则AP的最小值是________

【答案】8
【分析】根据等腰三角形三线合一性质及垂线段最短性质，可得当点P是底边BC的中点时，AP的值最小，在利用勾股定理解题即可．
解：等腰△ABC中，AB＝AC＝10，根据垂线段最短得，
当点P是底边BC的中点时，AP的值最小
根据三线合一性质得，



故答案为：8．

【点拨】本题考查等腰三角形、三线合一性质、垂线段最短、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】已知为正数，且，如果以的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为__________．
【答案】
【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积．
解：，
，
解得，
根据勾股定理知，斜边长为：
，
以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为，
故答案为：7．
【点拨】本题综合考查了勾股定理与非负数的性质，解题关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
类型八、用勾股定理求最值问题
8．如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计结头，细线最短长度为______．

【答案】15
【分析】把长方体沿AB边剪开，在根据勾股定理计算即可；
解：如图所示，连接，则即为所求的最短长度；

，，
由勾股定理可得：，
∴；
故答案是15．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，一只蚂蚁从正方体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，正方体棱长为3cm，则蚂蚁所走过的最短路径是______cm．

【答案】
【分析】根据题意构造直角三角形，根据勾股定理计算即可；
解：如图所示，AB即为蚂蚁所走过的最短路径；

∵，cm，cm，
∴在中，（cm），
∴蚂蚁所走过的最短路径是cm．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
【变式2】已知点，，点在轴上，且最短，则这个最短距离是 ___．
【答案】
【分析】由题意可得：点关于轴的对称点为，当点，点，点三点共线时，最短．根据两点距离公式可求最短距离的长度．
解：∵点关于轴的对称点为
∴
∴当点，点，点三点共线时，最短，
如图：分别过，作轴，轴的垂线，可得，
∴结合已知可得，
在中,
∴最短距离为，
即最短距离为．
故答案为：．

【点拨】本题考查了最短路线问题，坐标与图形性质，熟练运用轴对称的性质解决最短路线问题是本题的关键．
类型九、用勾股定理证明两线段的平方关系
9．如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE2=BE2+AC2．

【分析】连接AD，根据中点的定义得到BD=CD，利用勾股定理得到，即可证明．
证明：连接AD，
∵D是BC中点，DE⊥BC，
∴BD=CD，
∵∠C=90°，
∴
=
=．

【点拨】本题考查了勾股定理，，解此题的关键是能正确作出辅助线，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
举一反三：
【变式1】如图在中，，点E，F分别在上，求证：．


【分析】由勾股定理可得，，，，则有，，即可得到结论
解：
，均为直角三角形
在中，
在中，
在中，
在中，



【点拨】本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证．
【变式2】如图，在四边形中，，，．求证：．

【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ACD中，根据勾股定理列出等式，根据边之间的关系即可解答．
解：证明：在△ABC中，∠ABC=90°，
∴．
在△ACD中，CD⊥AD，
∴，
∴．
又AD2=2AB2－CD2，
∴，
即，
∴．
【点拨】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理找到边之间的关系是解题的关键．
类型十、勾股定理的证明
10．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．

【答案】能，见解析
【分析】直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出等式并整理，即可证明．
解：能，理由如下：
∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
∴ (a+b)(a+b)＝2×ab+c2，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明．明确“直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和”是解题的关键．
举一反三：
【变式1】等腰直角△ABC按如图所示放置，AC＝BC，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
（1）求证：EC＝BD；
（2）设△AEC三边长分别为EC＝a，AE＝b，AC＝c，试通过两种方法计算直角梯形AEDB的面积证明勾股定理．

【分析】（1）通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）利用等面积法证得勾股定理．
证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°．
∵AE⊥m
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCD．
在△AEC与△BCD中，
，
∴△CAE≌△BCD（AAS）．
∴EC=BD；
（2）由①知：BD=CE=a，CD=AE=b，
∴S梯形AEDB=（a+b）（a+b）=a2+ab+b2．
又∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC=ab+ab+c2=ab+c2．
∴a2+ab+b2=ab+c2．
整理，得a2+b2=c2．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．
【变式2】如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．

【分析】根据4个全等的直角三角形可得边长对应相等，面积相等，利用线段差可求小正方形边长，然后利用两种求大正方形面积方法列出等式即可
证明：∵由4个全等的直角三角形
∴△ABF≌△DAE≌△CDH≌△BCG，
∴AF=DE=CH=BG=b，BF=AE=DH=CG=a，
∴=，
∴EF=AF-AE=b-a，
，，
．

【点拨】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键．
类型十一、以弦图为背景的计算题
12．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．

【答案】
【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
【点拨】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．

【答案】（1），见解析；（2）EF为或
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明；
（2）分a＞b和a＜b两种情况求解．
解：（1）（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），
证明如下：
∵如图①，∵△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH，
∴AB=BC=CD=DA=c，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BAE+∠HAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
同理可证，四边形EFGH是正方形，且边长为（b﹣a），

∵
∴，
∴
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
分两种情况：
①a＞b时，
∴a+b＝12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5，
∴
解得：a=，
∴EF=；
②a＜b时，同①得：，
解得：a=，
∴EF=；
综上所述，EF为或．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键．
【变式2】（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图①所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为26，每个直角三角形的面积为4，求中间小正方形的边长；


（2）现有一张长为，宽为的纸片，如图②所示，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图②中画出分剖线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）


【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）设直角三角形的两条边分别为a、b(a＞b)，根据题意得到，求出，则中间小正方形的边长即可求解；
（2）由长为6.5cm、宽为2cm可知长方形的面积为13cm2，得到正方形的边长为，故将长方形分割出四个全等的直角边长为2cm、3cm的直角三角形，剩余部分分割出两个长为1cm，宽为0.5cm的长方形.
解：(1) 设直角三角形的两条边分别为a、b(a＞b)，
根据题意得到，
∴，
∴，
∴；
答：中间小正方形的边长为；
(2)如图所示：

【点拨】此题考查勾股定理的实际应用，正方形与直角三角形的数量关系，分割图形的思考方法，正确理解勾股定理及其背景是解题的关键.