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专题 17.4 勾股定理（基础篇）（专项练习2）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 17.4 勾股定理（基础篇）（专项练习2）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共40页。试卷主要包含了求梯子滑落的高度，求旗杆的高度，求小鸟飞行的距离，求大树折断前的高度，解决水杯中筷子问题，解决航海问题，求河宽，求台阶上地毯的长度等内容，欢迎下载使用。
专题 17.4 勾股定理（基础篇）（专项练习2）
一、 单选题
类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为
A． 米 B．米 C．2米 D．米
类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
3．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2﹣（x+3）2＝82 B．x2﹣（x﹣3）2＝82
C．（x+3）2﹣x2＝82 D．x2﹣（x﹣3）2＝8
类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
5．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
6．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
7．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
8． 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82 C．（x+3）-x2=82 D．（x-3）2-x2=82
类型十八、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
9．如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
类型十九、解决航海问题（勾股定理的应用）
11．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
12．一艘轮船以16海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两船相距（ ）
A．10海里 B．20海里 C．30海里 D．40海里
类型二十、求河宽（勾股定理的应用）
13．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2km B．4km C．10 km D．14 km
14．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（ ）
A．480 m B．380 m
C．580 m D．500 m
类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
15．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
16．地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
类型二十二、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
17．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
18．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
二、 填空题
类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
19．我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．
20．如图，一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC为12m．如果子的顶端A沿墙下滑7m，那么梯子底端B向外移___m．
类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
21．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．
22．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．
类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
23．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.
24．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
25．如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是_______．
26．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，如图，一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是___（其中的丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）．
类型十八、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
27．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为______尺．
28．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，丈尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则芦苇的长度是________尺．
类型十九、解决航海问题（勾股定理的应用）
29．一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为__________海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，）
30．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为___海里．
类型二十、求河宽（勾股定理的应用）
31．如图，为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长50 m，BC长40 m，则A，B两点间的距离是____m．
32．如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需_____天才能把隧道凿通．
类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
33．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．
34．如图是楼梯截面，其中AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，要在其表面铺地毯，地毯长至少需_____米．
类型二十二、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
35．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
36．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。
类型二十三、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用
37．如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是________
38．有一块边长为24米的正方形绿地，如上右图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____.
三、解答题
39．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
40．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
41．如图，有两棵树和米，米，两树之间的距离米，一只鸟从处飞到处，则小鸟至少飞行多少米?
42．由于大风，山坡上的一颗甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度．
43．如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
44．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
45．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
46．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度．
【详解】
解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
，
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
2．A
【分析】
先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.
【详解】
由题意可得：，
在中，
，米，，
，
，
，
，
小巷的宽度为（米）.
故选.
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.
3．A
【分析】
如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可．
【详解】
如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
设旗杆的高度AB长为x，则，，
在中，
，
即．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
4．B
【分析】
设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可．
【详解】
解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
5．B
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
解：如图建立数学模型，则，，则，
两棵树的高度差，
间距，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离，
即．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解是解题的关键．
6．C
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
故选：C．
【点拨】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．D
【分析】
根据勾股定理求解即可，，进而可得即这棵大树在折断前的高度．
【详解】
根据题意，米
米
故选D
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】
设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可．
【详解】
解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9．B
【分析】
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】
解：如图：
玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，
∵CD＝6，AD＝8，
∴BD＝cm，
露出杯口外的长度为＝12−10＝2cm，
故选：B．
【点拨】本题所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．
10．A
【分析】
设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，
解得x=1.5．
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
11．C
【分析】
依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
【详解】
解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km，
∵802＋602＝1002，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°
∵∠NOA＝30°，
∴∠SOB＝60°
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键．
12．C
【分析】
先根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答．
【详解】
解：如图，
设离开港口1.5小时后，两船分别到达 ， 两点，则， （海里）， （海里），
在 中，（海里），
即离开港口1.5小时后，两船相距 （海里）．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意画出图形．
13．B
【分析】
直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
14．A
【解析】
【分析】
根据题意发现：他的入水点和实际到达的点和应到的点三个点组成了一个直角三角形．根据勾股定理进行计算．
【详解】
在直角三角形ABC中，由已知得BC=200m，AB=520m，
根据勾股定理，得
AC=（m）
故选A.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，正确理解题意中涉及的数据，熟练运用勾股定理计算是解答本题的关键．
15．A
【分析】
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
16．C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=，
∴长方形地毯的长为：10×10＝100≈141.4cm，
故选：C．
【点拨】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17．C
【分析】
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
18．D
【解析】
试题分析：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D．
考点：勾股定理的应用．
19．14.5
【分析】
设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】
解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4）²+10²=x²，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
20．7．
【分析】
先根据勾股定理求出CB的长，在根据勾股定理求出CD的长，进而求解．
【详解】
∵∠ACB＝90°，AB＝13m，AC＝12m，
∴BC＝＝5m，
∵AE＝7m，
∴CE＝12﹣7＝5m，
∴CD＝＝12m，
∴BD＝CD﹣BC＝7m，
∴梯子底端B向外移7m，
故答案为：7．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
21．
【分析】
设AB=x米，则有AC=（x+a）米，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：
，
解得：
∴，
故答案为．
【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．x2−（x−3）2＝82
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
23．
【分析】
由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．
【详解】
解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，
设BD＝x，则AD＝15－x，
∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，
即，
解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），
答：树高为7.5米．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
24．10
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
25．16米
【分析】
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：由题意得BC=8m，AC=6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10（米）．
所以大树的高度是10+6=16（米）．
故答案为：16米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
26．4.55尺.
【分析】
竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】
解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺
由勾股定理得
解得
故答案为：4.55尺.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题.
27．14.5
【分析】
设OA-OB=x尺，表示出OE的长，在Rt△OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），
OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，
即2x=29，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索的长度是14.5尺．
故答案为：14.5．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
28．13
【分析】
设水池里水的深度是尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设水池里水的深度是尺，则，，
由题意得：，
∴，
解得：，
∴，
则芦苇的长度是13尺，
故答案为：13．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
29．10.4
【分析】
过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，由锐角三角函数的定义求出SC的长即可．
【详解】
解：过S作SC⊥AB于C．
∵∠SBC=60°，∠A=30°，
∴∠BSA=∠SBC-∠A=30°，
即∠BSA=∠A=30°．
∴SB=AB=12（海里），
Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，
∴SC=SB•sin60°=12×=6≈10.4（海里）．
故答案为：10.4．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出SC的长是解题的关键．
30．60
【分析】
由题意易得，海里，海里，则有，海里，进而可得海里，然后根据勾股定理可求解PC的长．
【详解】
解：由题意得：，海里，海里，
∵，
∴，
∴海里，
∴海里，
∴海里，
∴在Rt△PAC中，海里；
故答案为．
【点拨】本题主要考查勾股定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
31．30
【分析】
在Rt△ABC中运用勾股定理，即可得出AB的长度．
【详解】
解：由题意得，AC=50m，BC=40m，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=（m）．
故答案为：30．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
32．10
【分析】
先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间．
【详解】
解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，
则由勾股定理，得，
∴所需的时间为：（天）；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出BC的长度．
33．180
【分析】
将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．
【详解】
解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
∵AB=36，BC==27cm，
∴AC2=AB2+BC2=362+272，
∴AC=45cm，
∴应裁剪油纸的最短=45×4=180(cm)．
故答案为：180．
【点拨】本题主要考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是本题的解题关键
34．7．
【分析】
根据图形可知，由三角形三边长可知，满足勾股数，△ABC是直角三角形，需要铺的地毯的长度即为AC+BC的长度，数值代入计算即可．
【详解】
根据题意结合图形可知，△ABC三边长满足勾股数，是直角三角形，所以要铺的地毯的长度即为AC+BC，
∴4+3＝7（米）．
答：地毯长至少需7米．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了勾股数判定直角三角形，图形的折叠和展开图与水平距离和竖直距离之间的关系，理解立体图展开成平面图形的关系是解题的关键．
35．80 12
【分析】
作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】
解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
36．
【分析】
先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案
【详解】
解：在Rt中，，，，
∴
小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分)
∴小明、小亮同时到达C时，
小明、小亮同时到达D时，
∴a的取值范围是：
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键
37．1700m
【分析】
先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP＋BP＝A′B，
在Rt△A′DB中，
由勾股定理求得A′B＝＝＝1700m，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是1700m．
故答案为：1700m．
【点拨】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
38．6
【详解】
试题分析：先根据勾股定理求出斜边AB的长，比较即可得到结果．
，
米，
答：标牌的▇处应填6.
考点：本题考查的是勾股定理的应用
点评：解答本题的关键是要注意所求的不是AB的长，而是少走的距离．
39．（1）12米；（2）7米
【分析】
（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；
（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．
【详解】
解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．
【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
40．
【分析】
根据电线杆与地面垂直得，由题意得，，利用勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：由题意可得：，
∴（m）．
答：地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为4.9m．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
41．小鸟至少飞行米．
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
连接，
作于，
则 (米)
米．
(米)
即小鸟至少飞行米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
42．19米
【分析】
如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，则根据题意可以得到CD=12米，根据勾股定理即可求出BD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到AC+AB的长.
【详解】
解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D
由题意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米
在Rt△BCD中米
∴米
在Rt△ACD中米
∴米
∴甲树原来的高度是19米.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
43．筷子GE的长度是10cm．
【分析】
根据题意可得DE=GE，EF=GE-2，在Rt△DFE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
44．超速了；理由见解析
【分析】
利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【详解】
解：由勾股定理得，BC＝米，
v＝40÷2＝20米/秒，
∵20×3.6＝72，
∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，
∴这辆小汽车超速了．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，难点在于速度的单位换算．
45．（1）受影响，理由见解析；（2）15小时
【分析】
（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.
【详解】
解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，
∴AC＝AB＝×240＝120，
∵AC＝120＜150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响．
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得，，CE＝90
∴EF＝2CE＝2×90＝180
180÷12＝15（小时）
∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．
【点拨】本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键．
46．（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析
【分析】
（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；
（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．
【详解】
解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），
∵DA=8km，CB=6km，
∴x2+82=（14-x）2+62，
解得：x=6，
∴AE=6km．
答：E站应建在距A站6千米处；
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即DE⊥EC．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．
专题 17.4 勾股定理（基础篇）（专项练习2）
一、 单选题
类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为
A． 米 B．米 C．2米 D．米
类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
3．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2﹣（x+3）2＝82 B．x2﹣（x﹣3）2＝82
C．（x+3）2﹣x2＝82 D．x2﹣（x﹣3）2＝8
类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
5．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
6．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
7．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
8． 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82 C．（x+3）-x2=82 D．（x-3）2-x2=82
类型十八、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
9．如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
类型十九、解决航海问题（勾股定理的应用）
11．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
12．一艘轮船以16海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两船相距（ ）
A．10海里 B．20海里 C．30海里 D．40海里
类型二十、求河宽（勾股定理的应用）
13．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2km B．4km C．10 km D．14 km
14．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（ ）
A．480 m B．380 m
C．580 m D．500 m
类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
15．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
16．地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
类型二十二、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
17．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
18．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
二、 填空题
类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
19．我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．
20．如图，一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC为12m．如果子的顶端A沿墙下滑7m，那么梯子底端B向外移___m．
类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
21．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．
22．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．
类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
23．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.
24．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
25．如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是_______．
26．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，如图，一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是___（其中的丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）．
类型十八、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
27．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为______尺．
28．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，丈尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则芦苇的长度是________尺．
类型十九、解决航海问题（勾股定理的应用）
29．一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为__________海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，）
30．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为___海里．
类型二十、求河宽（勾股定理的应用）
31．如图，为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长50 m，BC长40 m，则A，B两点间的距离是____m．
32．如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需_____天才能把隧道凿通．
类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
33．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．
34．如图是楼梯截面，其中AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，要在其表面铺地毯，地毯长至少需_____米．
类型二十二、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
35．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
36．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。
类型二十三、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用
37．如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是________
38．有一块边长为24米的正方形绿地，如上右图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____.
三、解答题
39．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
40．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
41．如图，有两棵树和米，米，两树之间的距离米，一只鸟从处飞到处，则小鸟至少飞行多少米?
42．由于大风，山坡上的一颗甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度．
43．如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
44．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
45．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
46．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度．
【详解】
解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
，
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
2．A
【分析】
先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.
【详解】
由题意可得：，
在中，
，米，，
，
，
，
，
小巷的宽度为（米）.
故选.
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.
3．A
【分析】
如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可．
【详解】
如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
设旗杆的高度AB长为x，则，，
在中，
，
即．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
4．B
【分析】
设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可．
【详解】
解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
5．B
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
解：如图建立数学模型，则，，则，
两棵树的高度差，
间距，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离，
即．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解是解题的关键．
6．C
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
故选：C．
【点拨】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．D
【分析】
根据勾股定理求解即可，，进而可得即这棵大树在折断前的高度．
【详解】
根据题意，米
米
故选D
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】
设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可．
【详解】
解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9．B
【分析】
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】
解：如图：
玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，
∵CD＝6，AD＝8，
∴BD＝cm，
露出杯口外的长度为＝12−10＝2cm，
故选：B．
【点拨】本题所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．
10．A
【分析】
设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，
解得x=1.5．
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
11．C
【分析】
依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
【详解】
解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km，
∵802＋602＝1002，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°
∵∠NOA＝30°，
∴∠SOB＝60°
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键．
12．C
【分析】
先根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答．
【详解】
解：如图，
设离开港口1.5小时后，两船分别到达 ， 两点，则， （海里）， （海里），
在 中，（海里），
即离开港口1.5小时后，两船相距 （海里）．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意画出图形．
13．B
【分析】
直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
14．A
【解析】
【分析】
根据题意发现：他的入水点和实际到达的点和应到的点三个点组成了一个直角三角形．根据勾股定理进行计算．
【详解】
在直角三角形ABC中，由已知得BC=200m，AB=520m，
根据勾股定理，得
AC=（m）
故选A.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，正确理解题意中涉及的数据，熟练运用勾股定理计算是解答本题的关键．
15．A
【分析】
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
16．C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=，
∴长方形地毯的长为：10×10＝100≈141.4cm，
故选：C．
【点拨】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17．C
【分析】
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
18．D
【解析】
试题分析：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D．
考点：勾股定理的应用．
19．14.5
【分析】
设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】
解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4）²+10²=x²，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
20．7．
【分析】
先根据勾股定理求出CB的长，在根据勾股定理求出CD的长，进而求解．
【详解】
∵∠ACB＝90°，AB＝13m，AC＝12m，
∴BC＝＝5m，
∵AE＝7m，
∴CE＝12﹣7＝5m，
∴CD＝＝12m，
∴BD＝CD﹣BC＝7m，
∴梯子底端B向外移7m，
故答案为：7．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
21．
【分析】
设AB=x米，则有AC=（x+a）米，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：
，
解得：
∴，
故答案为．
【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．x2−（x−3）2＝82
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
23．
【分析】
由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．
【详解】
解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，
设BD＝x，则AD＝15－x，
∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，
即，
解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），
答：树高为7.5米．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
24．10
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
25．16米
【分析】
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：由题意得BC=8m，AC=6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10（米）．
所以大树的高度是10+6=16（米）．
故答案为：16米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
26．4.55尺.
【分析】
竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】
解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺
由勾股定理得
解得
故答案为：4.55尺.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题.
27．14.5
【分析】
设OA-OB=x尺，表示出OE的长，在Rt△OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），
OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，
即2x=29，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索的长度是14.5尺．
故答案为：14.5．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
28．13
【分析】
设水池里水的深度是尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设水池里水的深度是尺，则，，
由题意得：，
∴，
解得：，
∴，
则芦苇的长度是13尺，
故答案为：13．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
29．10.4
【分析】
过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，由锐角三角函数的定义求出SC的长即可．
【详解】
解：过S作SC⊥AB于C．
∵∠SBC=60°，∠A=30°，
∴∠BSA=∠SBC-∠A=30°，
即∠BSA=∠A=30°．
∴SB=AB=12（海里），
Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，
∴SC=SB•sin60°=12×=6≈10.4（海里）．
故答案为：10.4．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出SC的长是解题的关键．
30．60
【分析】
由题意易得，海里，海里，则有，海里，进而可得海里，然后根据勾股定理可求解PC的长．
【详解】
解：由题意得：，海里，海里，
∵，
∴，
∴海里，
∴海里，
∴海里，
∴在Rt△PAC中，海里；
故答案为．
【点拨】本题主要考查勾股定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
31．30
【分析】
在Rt△ABC中运用勾股定理，即可得出AB的长度．
【详解】
解：由题意得，AC=50m，BC=40m，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=（m）．
故答案为：30．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
32．10
【分析】
先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间．
【详解】
解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，
则由勾股定理，得，
∴所需的时间为：（天）；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出BC的长度．
33．180
【分析】
将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．
【详解】
解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
∵AB=36，BC==27cm，
∴AC2=AB2+BC2=362+272，
∴AC=45cm，
∴应裁剪油纸的最短=45×4=180(cm)．
故答案为：180．
【点拨】本题主要考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是本题的解题关键
34．7．
【分析】
根据图形可知，由三角形三边长可知，满足勾股数，△ABC是直角三角形，需要铺的地毯的长度即为AC+BC的长度，数值代入计算即可．
【详解】
根据题意结合图形可知，△ABC三边长满足勾股数，是直角三角形，所以要铺的地毯的长度即为AC+BC，
∴4+3＝7（米）．
答：地毯长至少需7米．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了勾股数判定直角三角形，图形的折叠和展开图与水平距离和竖直距离之间的关系，理解立体图展开成平面图形的关系是解题的关键．
35．80 12
【分析】
作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】
解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
36．
【分析】
先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案
【详解】
解：在Rt中，，，，
∴
小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分)
∴小明、小亮同时到达C时，
小明、小亮同时到达D时，
∴a的取值范围是：
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键
37．1700m
【分析】
先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP＋BP＝A′B，
在Rt△A′DB中，
由勾股定理求得A′B＝＝＝1700m，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是1700m．
故答案为：1700m．
【点拨】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
38．6
【详解】
试题分析：先根据勾股定理求出斜边AB的长，比较即可得到结果．
，
米，
答：标牌的▇处应填6.
考点：本题考查的是勾股定理的应用
点评：解答本题的关键是要注意所求的不是AB的长，而是少走的距离．
39．（1）12米；（2）7米
【分析】
（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；
（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．
【详解】
解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．
【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
40．
【分析】
根据电线杆与地面垂直得，由题意得，，利用勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：由题意可得：，
∴（m）．
答：地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为4.9m．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
41．小鸟至少飞行米．
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
连接，
作于，
则 (米)
米．
(米)
即小鸟至少飞行米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
42．19米
【分析】
如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，则根据题意可以得到CD=12米，根据勾股定理即可求出BD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到AC+AB的长.
【详解】
解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D
由题意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米
在Rt△BCD中米
∴米
在Rt△ACD中米
∴米
∴甲树原来的高度是19米.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
43．筷子GE的长度是10cm．
【分析】
根据题意可得DE=GE，EF=GE-2，在Rt△DFE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
44．超速了；理由见解析
【分析】
利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【详解】
解：由勾股定理得，BC＝米，
v＝40÷2＝20米/秒，
∵20×3.6＝72，
∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，
∴这辆小汽车超速了．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，难点在于速度的单位换算．
45．（1）受影响，理由见解析；（2）15小时
【分析】
（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.
【详解】
解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，
∴AC＝AB＝×240＝120，
∵AC＝120＜150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响．
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得，，CE＝90
∴EF＝2CE＝2×90＝180
180÷12＝15（小时）
∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．
【点拨】本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键．
46．（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析
【分析】
（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；
（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．
【详解】
解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），
∵DA=8km，CB=6km，
∴x2+82=（14-x）2+62，
解得：x=6，
∴AE=6km．
答：E站应建在距A站6千米处；
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即DE⊥EC．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．
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