专题 17.9 勾股定理的逆定理（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 17.9 勾股定理的逆定理（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共37页。试卷主要包含了判断三边能否构成直角三角形，网络中判断直角三角形，利用直角三角形的逆定理求解，勾股定理的逆定理的实际运用，勾股定理逆定的拓展运用等内容，欢迎下载使用。

专题 17.9 勾股定理的逆定理（巩固篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1．三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
2．由线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列叙述中，正确的是   
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
类型三、网络中判断直角三角形
7．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的是（ ）


A．AB=2 B．∠BAC=90° C．SΔABC=10 D．点A到直线BC的距离是2
8．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　）

A．30° B．42° C．45° D．50°
9．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在各点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（　　）种．

A．3 B．4 C．5 D．6
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
10．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）

A．10 B．12 C． D．
11．图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）

A．122 B．114 C．110 D．100
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）

A． B．4 C．1 D．2
14．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达B处.若A，B两处的直线距离为2000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
15．下列结沦中，错误的有(　　)
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
16．△ABC中，∠A＞90°，AB＝6，AC＝8，则BC的长度可能是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
17．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定
18．下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形


二、 填空题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
19．已知|a-6|+（2b-16）2+=0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是______．
20．△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一动点，过线段AP上的点M作DE⊥AP，交边AB于点D，交边AC于点E，点N为DE中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值=______．

21． 如图，中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明是直角三角形的有_____（多选、错选不得分）．
①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD•BD．

类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
22．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
23．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直．

24． 已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为_____.
类型三、网络中判断直角三角形
25．如图所示的网格是正方形网格，则__________．

26．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为_____．

27．如图，在 3×3 的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=_____°

类型四、利用直角三角形的逆定理求解
28．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．

29．如图，的周长为36cm，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，的面积为______．

30．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___．

类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
31．在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为_____________．

32．“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为________________平方千米．
33．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入_____元．

类型六、勾股定理逆定的拓展运用
34．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为________．
35．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．

36．在中，的对边分别是，若，又，则最大边上的高为_________．

三、解答题
37．尺规作图：已知，，单位长度线段已知，请画出这个三角形，保留痕迹，不写画法，并求出AC边上的高．




38．生态兴则文明兴，生态衰则文明衰．“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境．如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知∠A＝90°，AB＝AD＝3米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？


39．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．


40． 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数， ，，，那么为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

41．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．


参考答案
1．C
【分析】
化简：，即可得到结论．
【详解】
解：∵，
∴a2+b2=c2．
因为a、b、c，为三角形的三边长，
所以为直角三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A.∵ ，∴b2+c2=a2，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
B. ∵，∴b2+c2=12+=a2，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
C. ∵ ，∴22+=，∴能够成直角三角形，故本选项错误；
D.∵ ，∠A+∠B+∠C=90°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴不是直角三角形，故本选项符合题意，
故选D.
【点拨】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．C
【分析】
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，根据两小边的平方和等于最长边的平方逐一验证即可得到答案．
【详解】
解：A、故A不正确；
B、故B不正确；
C、故C正确；
D、故D不正确．
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
4．C
【分析】
当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．
【详解】
∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB=10，
∴点C在平行于AB的两条直线上，
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），
∴满足条件的C点共，6个．
故选C．
【点拨】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
5．B
【详解】
试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）；
（2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）；
（3）∠BAP=90°；
（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴，

在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=，
OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D，
则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6，
易求出P4（2-，0）P6（2+，0）
综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）．
故选B.
考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质．
6．B
【分析】
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
7．C
【分析】
根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．
【详解】
解：AB=，故选项A正确，不符合题意；
∵AC＝，BC，
∴，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠CAB=90°，故选项B正确，不符合题意；
S△ABC，故选项C错误，符合题意；
点A到直线BC的距离，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．
8．C
【分析】
在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，证明得，从而得，再证明是等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，

∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD=
∴
∴
∴
在中，，
∴
∴是等腰直角三角形，且
∴
∴
故选：C．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明是解答此题的关键．
9．A
【解析】
【详解】
解：如图所示：

形状不同的直角三角形共有3种情况：直角边之比为1：1，或1：2，或1：3．
故选A．
10．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，

∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，
∴13•CE=10×12，
∴CE=，
∴PE+PB的最小值为，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
11．B
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【详解】
解：连接AC，如图，

在Rt△ABC中，AB=1，BC=1，
根据勾股定理得：，
在△ACD中，CD=2，，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则四边形ABCD的面积．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12．B
【分析】
利用勾股定理的逆定理，得到△ABD和△BCD是直角三角形，然后根据三角形的面积公式，即可求出答案.
【详解】
解：在△ABD中，
∵，，，，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，
∵，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形的面积=；
故选：B.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，判断△ABD和△BCD是直角三角形.
13．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【详解】
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，
∵CD＝1，AD＝3，AC＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S△ABC+S△ACD
＝AB•BC+AC•CD
＝×2×2+×1×2
＝2+，
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出△ACD是直角三角形是解此题的关键．
14．C
【解析】
【分析】
首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.
【详解】
根据题意可得甲的路程：40×30＝1200（m），
乙的路程：40×40＝1600（m）.
∵12002＋16002＝20002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°.
故选C.
【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形.
15．C
【分析】
根据勾股定理以及逆定理即可解答．
【详解】
①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x-y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2-（x-y）2=4xy，正确．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
16．C
【解析】
∵当∠A=90°时，由勾股定理可知：BC=，
∴当∠A>90°时，BC>10，
又∵当BC=14时，AB+AC=BC了，此时不能围成三角形，
∴BC=12.
故选C.
17．A
【解析】
【分析】
先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状.
【详解】
解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时，
由勾股定理可知42+52=41>36=62
可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形.
故应选A
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势.
18．D
【分析】
根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
19．直角三角形
【解析】
分析：根据非负数的性质可得a-6=0，2b-16=0，10-c=0，再解方程可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理可得三角形的形状．
详解：由题意得：a-6=0，2b-16=0，10-c=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
点睛：此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．
【分析】
先求AP▪DE=36，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积公式即可求得AP最短时的长，然后即可求出AN最长时的长.
【详解】
解：∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴AP▪DE=18,即AP▪DE=36,
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°,
∵点N为DE中点,
∴AN=DE,
∴DE最大时，AN最大，
∵DE= ,
∴AP最小时，DE最大，即AP⊥BC时，AP最小,
∵AP=,
∴DE=,
∴AN= .
故答案为.
【点拨】本题考查了勾股定理及直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短的知识点，解题的关键是理解AP最短时DE 最大，即AN最大.
21．①②④．
【解析】
试题解析：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD2=AD•BD，（即 ）
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确；
故答案为①②④．
22．8
【分析】
该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】
（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：

（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；

符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
23．或或．
【分析】
设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．
【详解】
解：设运动时间为
则，
当时，如图1所示，
过点作于点

，

中有，
，

中，，
中，，
，
，
解得：；
当时，如图2所示，

由可知，
又
；
当时，如图3所示，

过点作于点
由知，
中有，
中有，
，
又


当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．
24．或
【分析】
设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值.
【详解】
解：设点B的横坐标为t，
根据题意得，即.
所以3-t=12或3-t=-12．
∴t=-9或t=15.
故答案为或.
【点拨】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
25．45°
【分析】
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
如图，延长AP交格点于D，连接BD，
，
∵PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．2
【分析】
连接AD、CD，由勾股定理得：，，，得出AB＝DE＝BC，，由此可得△ABD为直角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性得出DF＝DG＝2即可的解.
【详解】
连接AD、CD，如图所示：

由勾股定理可得，
，，，
∵BE=BC=5，∴AB=DE＝AB＝BC ，，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线，
∴，
在△ABC和△DEB中，
，∴△ABC≌△DEB(SSS)，∴∠BAC＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，
∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，
∵AB=BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，
∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.
27．45
【分析】
根据图形，先将角进行转化，再根据勾股定理的逆定理，求得∠ACD=90°，由等腰三角形的性质，推出∠2-∠1=45°
【详解】
如图，连接AC,BC

根据勾股定理AC=BC=，AB=，因为，所以∠ACB=90°，∠CAB=45°，
因为△ACH≌△FDE，△AOB≌△ABD（SAS），
所以∠CAH=∠2，∠OAB=∠1，
因为∠CAB=∠CAH-∠OAB=45°，
所以∠2-∠1=45°
故答案为45
【点拨】本题的关键是构造等腰直角三角形，将∠1，∠2转化到同一个角中
28．150°
【分析】
如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．
【详解】
解：连接PP′，
∵△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
29．18
【分析】
根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；
【详解】
解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x+4x+5x=36，
解得：x=3，
则AB=3x=9，BC=4x=12，AC=5x=15，
∵AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°，
当t=3时，AP=3cm，BQ=6cm，
则BP=9-3=6cm，
∴．
故答案为：18．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理．能正确判断△BPQ为直角三角形
30．10
【分析】
设与的交点为点，连接，先根据折叠的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，周长最小，此时，然后根据勾股定理的逆定理得出，最后设，从而可得，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，设与的交点为点，连接，

由折叠的性质得：，
，
周长=，
要使周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，此时，
又，
，
是直角三角形，，
，即，
设，则，
在中，，即，
解得，
即当周长最小时，的长为10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
31．
【分析】
首先利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求得，，，根据角平分线定理可知，再根据求得的长．
【详解】
∵，，，
∴，
∴，为直角三角形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
如图作⊥于点，
∵平分，，，，
∴，
在中，
，
即，
可得,
，
故答案为：．

【点拨】本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是熟练运用角平分线定理和三角形面积相等求解．
32．7.5
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】
解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故答案为7.5．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
33．7200
【分析】
仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】
解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，
＝＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
故答案为7200.

【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
34．2
【分析】
根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m，
∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8，
∴m=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答．
35．3或2或．
【分析】
作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：作BF⊥AD于F，

则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，


当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，

仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，


由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
36．
【分析】
勾股定理的灵活掌握及三角形的面积公式是解答的关键．
【详解】
解：由a2+b2＝25，a2﹣b2＝7建立方程组，求得a＝4，b＝3，
∵32+42＝52，根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形，
c为斜边，c上的高为h，由面积公式，
∴h＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定和三角形的面积公式的应用．
37．见解析，
【分析】
先画线段AC=5，再分别以3和4为半径画弧，两弧交于点B，△ABC即为所求．运用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，再运用面积法求出斜边上的高即可．
【详解】
解：△ABC如图所示，BD为△ABC的AC边上的高．

∵，，
∴
∴是直角三角形，
∵
∴．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，利用面积法求直角三角形斜边上的高是常用方法．
38．改造该区域需要花费6600元．
【分析】
连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，从而解决问题．
【详解】
解：如图，连接，

在中，由勾股定理得，
（米，
，，
，
，
（平方米），
（元，
改造该区域需要花费6600元．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
39．
【分析】
连接AC．根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，根据等边对等角得出∠ACB＝∠B＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝2AE＝2．在△ACD中，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，那么∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．
【详解】
如图，连接AC．
∵AE⊥BC，点E是BC的中点．
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴AC＝2AE＝2．
∴在△ACD中，AD2＝8，AC2+CD2＝4+4＝8，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．

【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，作出辅助线求出AC=2是解题的关键．
40．对，理由见解析；一组勾股数为3,4,5（答案不唯一）
【分析】
首先证明都是正整数，然后验证较小两边的平方和等于最长边的平方，即可证明，m再任取一个大于1的整数，即可求出一组勾股数．
【详解】
对，理由如下：
∵表示大于1的整数， ，，，
∴都是正整数，且c是最大的数，
∵

，
而，
∴，
∴为勾股数，
取，则
故一组勾股数为：（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数的定义，解题关键是掌握勾股定理逆定理．
41．（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】
（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】
解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴．
【点拨】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．