专题 17.17 勾股定理全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 17.17 勾股定理全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；

【要点梳理】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段.

要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

　　 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 

1、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；  （2）若CD=，求AD的长．

【答案】（1）见解析；  （2）2+

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证．

（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．　

解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形．

∴AD=BD．

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°．

∴∠CAD=∠CBE．

在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF（ASA）．

∴BF=AC．

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE．

∴BF=2AE．

（2）∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=．

在Rt△CDF中，．

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2．

∴AD=AF+DF=2+．

举一反三：

【变式】某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．

（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）

（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？

【答案】(1)     （2）2米

【分析】

（1）运用勾股定理解题即可；

（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．

解：（1）在Rt△ABC中，；

（2）∵，

∴，

∴，

在Rt△ABC中，，

∴

∴，

∴，∴．

综上所述，长度增加了2米．

【点拨】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．

2、如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形．

（1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的面积．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）作AB的垂直平分线与BC交于一点，连接这点与点A构成的三角形即可；

（2）利用勾股定理求出BD，再根据三角形面积计算即可.

（1）作线段AB的垂直平分线，作图如下，三角形DAB即为所求；

（2）设，则

∵

∴为直角三角形

∴为直角三角形

∴

∴

∴．

【点拨】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的基本作图，勾股定理及其逆定理是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．

（1）判断的形状，并说明理由；  （2）求AB边上的高．

【答案】（1）ABC为直角三角形，理由见解析；（2）2

【分析】

（1）根据题意，可以分别求得BC、AC、AB的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状；

（2）根据等积法，可以求得AB边上的高．

解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，

，BC＝，AB＝＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）设AB边上的高为h，

由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，

∴＝，

即＝h，

解得，h＝2，

即AB边上的高为2．

【点拨】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 

3、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【答案】CD长为3cm

【分析】

在中，由勾股定理得，由折叠对称可知，cm，，，设，则，在中，由勾股定理得，计算求解即可．

解：∵cm，cm

∴在中，

由折叠对称可知，cm，

∴cm

设，则

∴在中，由勾股定理得

即

解得

∴CD的长为3cm．

【点拨】本题考查了轴对称，勾股定理等知识．解题的关键在于找出线段的数量关系．

举一反三：

【变式】如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．

【答案】BC的长为3++．

【分析】

由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．

解：∵∠1=67.5°，∠2=75°，

∴∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，

由折叠可知，BE=KE、KF=FC，

如图，过点K作KM⊥BC于点M，

设KM=x，则EM=x，KF=2x，

，，

∴x+x=+1，

解得：x=1，

∴EK=，KF=2，

∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，

∴BC的长为3++．

【点拨】本题主要考查翻折变换和勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

4、如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．

(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；

(2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．

【分析】

（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间；

（2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果．

(1) 解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，

∴BD= (km)，

在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，

∴AC=(km)，

轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，

故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．

(2)  C岛在A港的北偏西40°方向；

理由如下：

∵752+1002=1252，

∴AC2+AB2=BC2，

∴∠BAC=90°，

∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，

∴C岛在A港的北偏西40°方向．

【点拨】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形．

5、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，CD＝2，AD=．

(1)求∠BCD的度数；(2)连接BD，求BD的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】

（1）连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，根据∠BCD＝∠ACB+∠ACD即可求出；

（2）过D作DH⊥BC交BC延长线与H，然后根据勾股定理即可得到DH和ＣH的长，再根据勾股定理，即可得到BD的长．

(1) 解：如图，连接AC，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，

∴，∠ACB＝45°，

∵CD＝，AD＝，

∵，

∴AD2＝AC2+CD2，

∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，

则∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°；

(3)  解：如图，过D作DH⊥BC交BC延长线与H，

∴∠H=90°，

∵∠BCD＝135°，

∴∠DCH=180°－∠BCD＝45°，

∴∠HDC=180°－∠H－∠DCH＝45°，

∴∠HDC=∠DCH，

∴HC=HD，

∴，

∴HC=HD=2，

∴BH=BC+CH=1+2=3，

∴．

【点拨】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加合适的辅助线．

类型三、勾股定理的实际应用

6、如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

【答案】最短路程是150cm．

【分析】

展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．

展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，

由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，

答：最短路程是150cm．

【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．

举一反三：

【变式1】如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的周长和面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．

【分析】

（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．

（1）证明：，

，

在和中，，

，

；

（2），，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

则的周长为，

的面积为．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．

【变式1】图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】49cm

【分析】

过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果．

解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，

∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，

∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∵AC=40cm，

∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，

∴CD=cm，

∴在Rt△BCD中，BC=cm，

∴支架BC的长为49cm．

【点拨】本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形．