专题 17.18 勾股定理全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 17.18 勾股定理全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 17.18 勾股定理全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（             ）   

A．4 B．6 C．16 D．55
2．在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
4．已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（       ）

A． B． C． D．
5．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（       ）

A． B．2 C． D．
6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，， 3
7．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　
A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
9．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（　　）

A．12 B．18 C． D．
10．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（   ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，
二、填空题
11．如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．

12．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10， BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．

13．在中，，若，则的长是________．
14．若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
15．若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
16．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．

17．如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．

18．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．

19．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是____㎝．

20．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．

三、解答题
21．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．






22．如图，四边形为一个矩形纸片，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止.以直线为轴翻折，点落到点的位置.设，与原纸片重叠部分的面积为.
（1）当为何值时，直线过点？
（2）当为何值时，直线过的中点？
（3）求出与的函数关系式.








23．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？





24．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．










参考答案
1．C
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵a、b、c都是正方形，

∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选C．


【点拨】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
2．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
【详解】
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
3．B
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
4．D
【解析】
【分析】
由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵AD平分，
∴∠BAD=45°，
∵，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴；
故选D．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
6．B
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【详解】
解：连接AC，如图：

根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
【点拨】考点：勾股定理．
8．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
A、∵32+42=52，
∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，
∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，
∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点拨】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
9．D
【解析】
【分析】
按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10÷2﹣4=1，虚线②为斜边，据勾股定理可得虚线②为，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到，展开后的等腰三角形的底边为2，故得到等腰三角形的周长．
【详解】
根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，
∴等腰三角形的腰为；
∴等腰三角形的周长为：．
故选D．
10．D
【解析】
【详解】
试题分析：A．，不能组成直角三角形，故错误；
B．，不能组成直角三角形，故错误；
C．，不能组成直角三角形，故错误；
D．，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
11．
【解析】
【分析】
证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
12．
【解析】
【分析】
设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
【详解】
解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
13．17
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
14．2.4或
【解析】
【分析】
分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】
若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．或．
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．
【详解】
，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．北偏东50°（或东偏北40°）
【解析】
【分析】
由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
17．=
【解析】
【分析】
连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．
【详解】
解：连接DE，如图

∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
18．12
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．
【详解】
解：如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
设OA=x，OB=y，
由题意得：，解得：，
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=；
故答案为12．
【点拨】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
19．5
【解析】
【详解】
由题意知：盒子底面对角长为=10cm，
盒子的对角线长：=20cm，
细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20=5cm．
20．5
【解析】
【详解】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.
考点：直角三角形斜边上的中线．
21．（1）BD=3；（2）BC边上高的长为6．
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股定理得出BD的长即可；
（2）利用三角形中位线定理得出BD=AE，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5
∴BD==3；
（2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E
∵DB⊥BC，AE⊥BC
∴AE∥DB
∵D为AC边的中点
∴BD=AE
∴AE=6
即BC边上高的长为6．

【点拨】本题考查勾股定理；三角形中位线定理．
22．（1）当x=时，直线AD1过点C（2）当x=时，直线AD1过BC的中点E（3）当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．
试题解析：
（1）

如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，
∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，
∵直线AD1过C，
∴PD1⊥AC，
在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，
在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，
即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，
解得：x=，
∴当x=时，直线AD1过点C；
（2）如图2，

连接PE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，AE==，
∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，
∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，
在Rt△PD1E和Rt△PCE中，
x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，
解得：x=，
∴当x=时，直线AD1过BC的中点E；
（3）如图3，

当0＜x≤2时，y=x，
如图4，

当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3（根据折叠），
∴∠2=∠3，
∴AF=PF，
作PG⊥AB于G，
设PF=AF=a，
由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，
在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，
解得：a=，
所以y==，
综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=．
考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想
23．（1）不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根据题意列方程求解．
试题解析：（1）如图，过C作CH⊥AB于H，
设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC=
∴HB===x，
∵AH+HB=AB
∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．

（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5
根据题意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
24．山高BC=100+100米.
【解析】
【分析】
作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题
【详解】
作于．

，米，
，
，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．