专题 18.1 平行四边形的性质（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 18.1 平行四边形的性质（知识讲解）

【学习目标】

1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定理；

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

3.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系

3. 灵活运用综合运用平行四边形的性质定理进行证明和计算．

【要点梳理】

要点一、平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

特别说明：

（1）平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；

（2）相对的边为对边，有两对；

（3）相邻的两角为邻角，有四对；

（4）相对的角为对角，有两对；

（5）对角线有两条.

要点二、平行四边形的性质

    1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2．角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补；

3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

要点三、平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

 2.平行四边形的面积：       

1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；

2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图

3.      平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：

【典型例题】

类型一、利用平行四边形的性质求解 

1．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

【答案】

【分析】根据平行四边形的性质可得，，勾股定理求得，，进而求得

解：四边形是平行四边形

AB⊥AC，

在中，

在中，

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积．

【答案】OB的长为3，▱ABCD的面积为48．

【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．

解：∵BD⊥AD，AB=10，AD=8，

∴BD==6．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=BD=3，

∴S▱ABCD=6×8=48．

故OB的长为3，▱ABCD的面积为48．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．

【变式2】如图，四边形是平行四边形．求：

（1）和的度数；

（2）和的长度．

【答案】（1）；（2）25，30

【分析】（1）根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，结合已知条件即可得到相关答案；

（2）根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可得到正确答案．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴ ,

∵

∴

（2）∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∵

∴

【点拨】本题考查平行四边形的性质，牢记相关知识点灵活应用是解题的关键．

类型二、利用平行四边形的性质证明 

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．

证明BE=DF．

【分析】由题意易得AB=CD，AB∥CD，AE=CF，则有∠BAE=∠DCF，进而问题可求证．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵E，F是对角线AC的三等分点，

∴AE=CF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE=DF．

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．

【分析】首先根据平行四边形的性质推出AD＝CB，AD∥BC，得到∠ADE＝∠CBF，从而证明△ADE≌△CBF，得到∠AED＝∠CFB，即可证明结论．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴∠AED＝∠CFB，

∴AE∥CF．

【点拨】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质等，掌握平行四边形的基本性质，准确证明全等三角形并利用其性质是解题关键．

【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．

求证：（1）△ADE≌△FCE；

（2）BE⊥AF．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，

∵E为CD的中点，

∴ED＝EC，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB．

∴∠AFB＝∠FAB．

∴AB＝BF，

∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

∴BE⊥AF．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

类型三、坐标系中的平行四边形 

3．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点，，请在所给网格区域（含边界）上按要求画以，，，为顶点的整点平行四边形．

（1）在图1中画出点，，使点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和的一半；

（2）在图2中画出点，，使点的横、纵坐标之积等于点的横、纵坐标之积的一半．

【分析】（1）利用数形结合的思想以及题目要求作出图形即可．

（2）利用数形结合的思想以及题目要求作出图形即可．

解：（1）如图即为所作；

（2）如图即为所作；

【点拨】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

举一反三：

【变式1】 如图，ABCD是平行四边形，AD＝4，AB＝5，点A的坐标为（－2，0），求点B、C、D的坐标．

【答案】、、

【分析】根据，即可求得点，勾股定理求得即可求得点，再根据平行四边形的性质可得点坐标．

解：ABCD是平行四边形，

∴轴，，

由题意可得，，，

∴，即，

∵，，

∴，

∵，，轴，

∴，

∴、、．

【点拨】此题考查了坐标与图形，涉及了勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中满足关系式．

（1）求的值；

（2）在第三象限是否存在一点，使四边形的面积是三角形面积的倍，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点D是坐标平面内的点，若点D与三点构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．

【答案】（1）；（2）存在，；（3）点D的坐标为

【分析】（1）由两个非负数的和为零，则这两个数都为零这一规律列方程即可求出a、b的值；

（2）存在符合条件的点P，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，先求出△ABC的面积，再用含m的代数式表示四边形ACPO的面积，且根据四边形ACPO的面积是三角形ABC面积的倍列方程，求出m的值，得到点P的坐标；

（3）点D与A、B、C三点构成平行四边形，可按照以AC、BC为邻边或以AB、AC为邻边或以AC、BC为邻边分类讨论，分别求出点D的坐标．

解：（1）解：，

又，

且，

；

（2）存在，如图1，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，

则∠BEC＝90°，

由（1）得，A（0，3），B（−4，3），

∴AB∥x轴，

∴∠OCE＝∠BEC＝90°，

∴CE⊥x轴，

∵C（−2，0），

∴E（−2，3），

∴AB＝4，CE＝3，OC＝2，

∴S△ABC＝AB•CE＝×4×3＝6，

∵S四边形ACPO＝S△AOC＋S△POC，且S四边形ACPO＝S△ABC，P（−1，m）在第三象限，

∴×2×3＋×2（−m）＝×6，

解得，m＝−6，

∴P（−1，−6）；

（3）如图2，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，

∵AB∥x轴，CD∥AB，

∴点D在x轴上，且CD＝AB＝4，

∴xD＝−2＋4＝2，

∴D（2，0）；

如图3，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，则点D在x轴上，且CD＝AB＝4，

∴xD＝−2−4＝−6，

∴D（−6，0）；

如图，作CE⊥AB于点E，延长CE到点D，使DE＝CE，连结AD、BD，

由（1）和（2）得，B（−4，3），E（−2，3），CE⊥x轴，

∴AE＝BE，

∴四边形ADBC是平行四边形，

∵DE＝CE＝3，

∴CD＝6，

∴D（−2，6），

综上所述，点D的坐标是（2，0）或（−6，0）或（−2，6）．

【点拨】此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、两个非负数的和为零，则这两个数都为零在求值问题中的应用、平行四边形的有关知识以及在平面直角坐标系中求面积、求点的坐标等知识与方法，此题难度不大，但综合性较强，是很好的练习题．

类型四、平行四边形中面积问题 

4．如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=___________（用含的代数式表示）

【答案】

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．

解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

∴S=BC•EF，S1=，S2=，

∵EF=PE+PF，AD=BC，

∴S1+S2=，

故答案为：．

【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

举一反三：

【变式1】如图，直线过的中心点，交于点，交于点，己知，则S阴影=______．

【答案】1

【分析】证明△MOD≌△NOB，得到S△MOD=S△NOB，利用平行四边形的性质得到S阴影=，由此求出答案．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC，OB=OD，

∴∠MDO=∠NBO，

∵∠MOD=∠NOB，

∴△MOD≌△NOB，

∴S△MOD=S△NOB，

∴S阴影=，

故答案为：1．

【点拨】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定是解题的关键．

【变式2】如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1______S2．（填“>”或“=”或“<”）

【答案】=

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EDO=∠FBO，

∵点O是▱ABCD的对称中心，

∴OB=OD，

在△DEO与△BFO中

，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴S△DEO=S△BFO，

∵S△ABD=S△CDB，

∴S1=S2．

故答案为：=．

【点拨】此题主要考查了中心对称，平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

类型五、平行四边形性质的应用 

5．如图，中，点E在BC上，且，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）

（1）在图1中，画出的平分线；

（2）在图2中，画出的平分线，并说明理由．

【分析】（1）依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到AC平分∠DAE；

（2）依据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可得到EO平分∠AEC．

解：（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE；

（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC，BD交于点O，

∴AO=CO，

又∵AE=CE，OE=OE

∴△AOE≌△COE

∴∠AEO=∠OEC

∴EO平分∠AEC．

【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

举一反三：

【变式1】如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且．

【分析】过点B作BD⊥AN交AM于点D，分别以B，D为圆心，AD，AB为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，CD，四边形ABCD即为所求．

解：解：如图，平行四边形ABCD即为所求．
 

【点拨】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，作出BD⊥AN是解本题的关键．

【变式2】在图1，图2中，点是边上的中点，请仅用无刻度直尺按要求画图，（保留作图痕迹）

（1）在图1中，以为边作三角形，使其面积等于的面积；

（2）在图2中，以，为邻边作四边形，使其面积等于面积的一半．

【分析】（1）连接CE并延长，交BA的延长线于点P，根据可得；

（2）连接平行四边形的对角线，交于点O，可得BO=DO，再连接EO并延长，交BC于点F，根据，可得EO=FO,连接DF，即可得到平行四边形BEDF面积等于面积的一半．

解：（1）连接CE并延长，交BA的延长线于点P，

即为所求的以为边所作的三角形；

（2）连接平行四边形的对角线，交于点O，连接EO并延长，交BC于点F，连接DF，平行四边形BEFD就是以，为邻边所求作的四边形．

【点拨】本题考查尺规作图，涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．