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专题 18.2 平行四边形的性质（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.2 平行四边形的性质（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 18.2 平行四边形的性质（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）
A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
4．如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， ，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．32 C．40 D．48
5．如图，在▱ABCD中，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD B．∠1＝∠2 C．AC⊥BD D．∠ABC＝∠ADC
6．如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE交DC延长线于F，连接BF，下列关于面积的结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
8．如图，在中，，为对角线，将沿方向平移，使得与重合，点的对应点为点，过点作交的延长线于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．平分 C． D．
9．如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
11．在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是（ ）.
A．AC B．BC C．CD D．AB
二、填空题
13．在□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，BD=4，将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点B′处，那么DB′的长为_________
14．如图，在□ 中， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ．若 ， ，且 的周长为40，则 的面积为________．
15．如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=___________（用含的代数式表示）
16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和 ___．
17．如图，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交AB于F、E，则____________
18．如图，在中，为对角线，，，垂足分别为点，．若，，，则______．
19．如图，在中，边上有一点，连接，，，，则度数是_____．
20．如图，四边形是平行四边形，点，在对角线上，请添加一个条件，使得≌，那么需要添加的条件是______．（填一个即可）
21．如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，则∠B为____°.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于O点，则图中有__对全等三角形．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是_____．
24．如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（6，0）、（2，4），则点B的坐标为_____．
三、解答题
25．如图，在中，，求和的度数．
26． 如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
27．如图，已知线段，和，请用尺规作图法作平行四边形，使，，（不写作法，保留作图痕迹）．
28．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且满足,现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点D，C，连接AD，BC，CD．
（1）求点C，D的坐标．
（2）求四边形ABCD的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ABCD的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
先证△ABO≌△AFO得到OB的长度，再用勾股定理求AO的长，再证△AOF≌△EOB，从而得到AE=2AO，即可求得AE的长．
解：设AG与BF交点为O，如图所示：
∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,
∴△ABO≌△AFO,
∴BO=FO，∠AOB=∠AOF=90º，
∵BF＝6
∴BO=FO=BF＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
在▱ABCD中，AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO
又∵BO=FO，∠AOB=∠AOF
∴△AOF≌△EOB,
∴AO=EO,
∴AE=2AO=8，
故选C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理及用尺规作图的方法画角平分线．
2．C
【分析】
根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．
【详解】
解：∵∠DCE=128°，
∴∠DCB=180°-∠DCE=180°-128°=52°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠DCB=52°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．
3．A
【分析】
利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】
解： 四边形ABCD为平行四边形。
且。
C点和D的纵坐标相等，都为3．
A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），
．
D点坐标为（2，3），
C点横坐标为，
点坐标为（7，3）．
故选：A．
【点拨】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
4．B
【分析】
先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行四边形的性质即可得．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
则的面积为，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
5．C
【分析】
由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，得出∠1=∠2； AC与BD不一定垂直，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠1=∠2；
∴选项A、B、D不符合题意；
AC与BD不一定垂直，
∴选项C符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】
连接AC，利用平行四边形的性质以及同(等)底同(等)高的两个三角形面积相等判断即可得出结果．
【详解】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD= S△BCD= S△ABC=S平行四边形ABCD，CD∥AB，AD∥BC，
∴S△ABF= S△ABC，S△ABD= S△AED，
故选项A、C、D正确，
∵S△AFD> S△AED，
∴S△AFD> S△ABD，故选项B错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形面积的计算等知识；熟练掌握同(等)底同(等)高的两个三角形面积相等是解决问题的关键．
7．B
【分析】
四边形ABCD是平行四边形，得到，CF为的平分线，可通过角转换证明 ,结合，即可得到BC的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且
∴,，
∴
又∵CF为的平分线
∴
∴
∴
∴
又∵,
∴
故选：B
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，根据知识点解题是重点．
8．D
【分析】
根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，结合平行线的性质以及直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，依次来判断图形的边角关系，进而得出结果．
【详解】
解：A选项：
根据题意，将沿方向平移，使得与重合，
可得：，
∴，
而AE与BF的数量关系得不到，故选项A错误；
B选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴不能得出对角线平分每个内角，根据题干信息也得不出，故选项B错误；
C选项：
∵，
∴，
∵虽然已知，但题干上并未提及平分，
∴的度数无法求出，故选项C错误；
D选项：
∵，
∴，
∵
∴在中，，
∵，
∴，故选项D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了图形的平移、平行四边形的性质，全等三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握并能灵活运用这些性质是解题关键．
9．D
【分析】
根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】
∵在中，
∴，，∵AD//BC，∴，无法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正确，D错误，
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键．
10．D
【分析】
根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】
解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
11．D
【分析】
根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．
【详解】
根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
12．C
【分析】
根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，对角线EF为最小值.
【详解】
解：根据垂线段的性质可知，EF⊥AB时为最小值.
∵四边形CEBF为平行四边形，∴FC∥BE，即FC∥BA.
故CD的长等于对角线EF最小值.
【点拨】本题主要考查了垂线段的性质.
13．2
【分析】
连接B′O．证明△B′OD是等边三角形，即可求得B′D=OD=BD=2．
【详解】
解：如图，连接B′O．
∵∠AOB=∠B′OA=60°，
∴∠B′OD=60°，
∵OB=OB′=OD，
∴△B′OD是等边三角形，
∴B′D=OD=BD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了折叠变换的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的判定和性质；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质是解题的关键．
14．48
【分析】
根据题意可得：，再由平行四边形的面积公式整理可得：，根据两个等式可得：，代入平行四边形面积公式即可得．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长：，
∴，
∵于E，于F，，，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴▱ABCD的面积：，
故答案为：48．
【点拨】题目主要考查平行四边形的性质及运用方程思想进行求解线段长，理解题意，熟练运用平行四边形的性质及其面积公式是解题关键．
15．
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
【详解】
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴S=BC•EF，S1=，S2=，
∵EF=PE+PF，AD=BC，
∴S1+S2=，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．36
【分析】
首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为23，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC＝23﹣5＝18，
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36，
故答案为：36．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的基本性质，解题关键是熟记平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
17．1．
【分析】
由平行四边形ABCD中，∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，易证得△ADF与△CBE是等腰三角形，又由AB=5，BC=3，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=5，AD=BC=3，
∴∠AFD=∠CDF，∠DCE=∠BEC，
∵∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，
∴∠ADF=∠CDF，∠BCE=∠DCE，
∴∠AFD=∠ADF，∠BCE=∠BEC，
∴AF=AD=3，BC=BE=3，
∴EF=AF+BE-AB=3+3-5=1．
故答案为1．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ADF与△CBE是等腰三角形是关键．
18．5
【分析】
由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF＝1，然后利用∠ACB＝45°得到BE＝CE＝4，从而得到EF＝3，然后利用勾股定理求得BF的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF＝1，
∵∠ACB＝45°，BE＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴EF＝EC−CF＝4−1＝3，
∴BF＝，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
19．21°
【分析】
过点作，根据平行四边形和平行线的性质求解即可
【详解】
过点作
四边形是平行四边形
，
故答案为：
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．等
【分析】
根据平行四边形性质推出AD=BC，AD∥BC，得出∠DAF=∠BCE，根据SAS证两三角形全等即可．
【详解】
解：添加的条件是，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵在△ABE和△CDF中
，
∴≌，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．
21．117
【分析】
由平行线的性质可得∠1＝∠B´AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B´AC＝21°，即可求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B´AB＝42°
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠
∴∠BAC＝∠B´AC＝21°
∴∠B＝180°−∠2−∠BAC＝117°
故答案为：117°
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
22．4
【分析】
根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：∵ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
同理：△ADO≌△CBO；
在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理：△ACD≌△CAB；
∴图中的全等三角形共有4对．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、 全等三角形的判定；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键 ．
23．（2，5）．
【分析】
连接AB，BC，运用平行四边形性质，可知AD∥BC，所以点D的纵坐标是5，再跟BC间的距离即可推导出点D的纵坐标．
【详解】
解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；
又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）＝4，故可得点D横坐标为﹣2+4＝2，
即顶点D的坐标（2，5）．
故答案为（2，5）．
【点拨】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求不高.
24．（8，4）
【解析】
【分析】
首先证明OA＝BC＝6，根据点C坐标即可推出点B坐标；
【详解】
解：∵A（6，0），
∴OA＝6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC＝6，
∵C（2，4），
∴B（8，4），
故答案为（8，4）．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
25．∠ACB=21°，∠CAB=34°
【分析】
根据平行四边形的性质AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，再根据三角形的内角和以及平行线的性质即可得出答案；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=125°，
∴AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠CAD=21°，
∴∠ACB=21°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-125°-21°=34°，
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键
26．（1）有4对全等三角形．分别为，，，；（2）见解析．
【分析】
（1）有4对全等三角形，分别为，，，；利用平行四边形的性质，可证得；；再由OE=OF，可证得；，即可求解；
（2）先证得，可得，再根据平行四边形的性质，可得，即可求证．
【详解】
解：（1）有4对全等三角形，分别为，，，；证明如下：
在 中，
∴ ，
∵O为□ABCD 的对角线AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴；
∵OE=OF， ， ，
∴；
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
在 中，
，
∵ ，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27．见解析
【分析】
作射线，以为顶点作，在射线上分别截取，，分别以为圆心为半径在∠A的内部作弧，两弧交于点，连接则平行四边形即为所作．
【详解】
解：如图，作射线，以为顶点作，在射线上分别截取，，分别以为圆心为半径在∠A的内部作弧，两弧交于点，连接，平行四边形即为所作．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，基本作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．（1），；（2）20；（3）存在，点的坐标为（0，8）或（0，8）
【分析】
（1）根据被开方数和绝对值大于等于0列式求出a和b，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移4个单位，则纵坐标加4，向右平移2个单位，则横坐标加2，求出点C、D的坐标即可；
（2）然后利用平行四边形的面积公式，列式计算；
（3）设点的坐标为，表示出三角形的底和高，根据三角形的面积等于四边形的面积列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵∴，．
∴，
∴，；
∴，
（2）．
（3）在轴上存在点，使三角形的面积等于四边形的面积．
设点的坐标为，则
∴解得
∴当点的坐标为（0，8）或（0，8），三角形的面积等于四边形的面积．
【点评】
本题是四边形综合题目，考查了平移的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质、平行线的性质、一元一次方程等知识；本题综合性强，难度适中．
专题 18.2 平行四边形的性质（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）
A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
4．如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， ，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．32 C．40 D．48
5．如图，在▱ABCD中，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD B．∠1＝∠2 C．AC⊥BD D．∠ABC＝∠ADC
6．如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE交DC延长线于F，连接BF，下列关于面积的结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
8．如图，在中，，为对角线，将沿方向平移，使得与重合，点的对应点为点，过点作交的延长线于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．平分 C． D．
9．如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
11．在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是（ ）.
A．AC B．BC C．CD D．AB
二、填空题
13．在□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，BD=4，将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点B′处，那么DB′的长为_________
14．如图，在□ 中， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ．若 ， ，且 的周长为40，则 的面积为________．
15．如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=___________（用含的代数式表示）
16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和 ___．
17．如图，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交AB于F、E，则____________
18．如图，在中，为对角线，，，垂足分别为点，．若，，，则______．
19．如图，在中，边上有一点，连接，，，，则度数是_____．
20．如图，四边形是平行四边形，点，在对角线上，请添加一个条件，使得≌，那么需要添加的条件是______．（填一个即可）
21．如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，则∠B为____°.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于O点，则图中有__对全等三角形．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是_____．
24．如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（6，0）、（2，4），则点B的坐标为_____．
三、解答题
25．如图，在中，，求和的度数．
26． 如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
27．如图，已知线段，和，请用尺规作图法作平行四边形，使，，（不写作法，保留作图痕迹）．
28．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且满足,现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点D，C，连接AD，BC，CD．
（1）求点C，D的坐标．
（2）求四边形ABCD的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ABCD的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
先证△ABO≌△AFO得到OB的长度，再用勾股定理求AO的长，再证△AOF≌△EOB，从而得到AE=2AO，即可求得AE的长．
解：设AG与BF交点为O，如图所示：
∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,
∴△ABO≌△AFO,
∴BO=FO，∠AOB=∠AOF=90º，
∵BF＝6
∴BO=FO=BF＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
在▱ABCD中，AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO
又∵BO=FO，∠AOB=∠AOF
∴△AOF≌△EOB,
∴AO=EO,
∴AE=2AO=8，
故选C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理及用尺规作图的方法画角平分线．
2．C
【分析】
根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．
【详解】
解：∵∠DCE=128°，
∴∠DCB=180°-∠DCE=180°-128°=52°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠DCB=52°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．
3．A
【分析】
利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】
解： 四边形ABCD为平行四边形。
且。
C点和D的纵坐标相等，都为3．
A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），
．
D点坐标为（2，3），
C点横坐标为，
点坐标为（7，3）．
故选：A．
【点拨】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
4．B
【分析】
先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行四边形的性质即可得．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
则的面积为，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
5．C
【分析】
由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，得出∠1=∠2； AC与BD不一定垂直，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠1=∠2；
∴选项A、B、D不符合题意；
AC与BD不一定垂直，
∴选项C符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】
连接AC，利用平行四边形的性质以及同(等)底同(等)高的两个三角形面积相等判断即可得出结果．
【详解】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD= S△BCD= S△ABC=S平行四边形ABCD，CD∥AB，AD∥BC，
∴S△ABF= S△ABC，S△ABD= S△AED，
故选项A、C、D正确，
∵S△AFD> S△AED，
∴S△AFD> S△ABD，故选项B错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形面积的计算等知识；熟练掌握同(等)底同(等)高的两个三角形面积相等是解决问题的关键．
7．B
【分析】
四边形ABCD是平行四边形，得到，CF为的平分线，可通过角转换证明 ,结合，即可得到BC的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且
∴,，
∴
又∵CF为的平分线
∴
∴
∴
∴
又∵,
∴
故选：B
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，根据知识点解题是重点．
8．D
【分析】
根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，结合平行线的性质以及直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，依次来判断图形的边角关系，进而得出结果．
【详解】
解：A选项：
根据题意，将沿方向平移，使得与重合，
可得：，
∴，
而AE与BF的数量关系得不到，故选项A错误；
B选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴不能得出对角线平分每个内角，根据题干信息也得不出，故选项B错误；
C选项：
∵，
∴，
∵虽然已知，但题干上并未提及平分，
∴的度数无法求出，故选项C错误；
D选项：
∵，
∴，
∵
∴在中，，
∵，
∴，故选项D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了图形的平移、平行四边形的性质，全等三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握并能灵活运用这些性质是解题关键．
9．D
【分析】
根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】
∵在中，
∴，，∵AD//BC，∴，无法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正确，D错误，
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键．
10．D
【分析】
根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】
解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
11．D
【分析】
根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．
【详解】
根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
12．C
【分析】
根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，对角线EF为最小值.
【详解】
解：根据垂线段的性质可知，EF⊥AB时为最小值.
∵四边形CEBF为平行四边形，∴FC∥BE，即FC∥BA.
故CD的长等于对角线EF最小值.
【点拨】本题主要考查了垂线段的性质.
13．2
【分析】
连接B′O．证明△B′OD是等边三角形，即可求得B′D=OD=BD=2．
【详解】
解：如图，连接B′O．
∵∠AOB=∠B′OA=60°，
∴∠B′OD=60°，
∵OB=OB′=OD，
∴△B′OD是等边三角形，
∴B′D=OD=BD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了折叠变换的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的判定和性质；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质是解题的关键．
14．48
【分析】
根据题意可得：，再由平行四边形的面积公式整理可得：，根据两个等式可得：，代入平行四边形面积公式即可得．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长：，
∴，
∵于E，于F，，，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴▱ABCD的面积：，
故答案为：48．
【点拨】题目主要考查平行四边形的性质及运用方程思想进行求解线段长，理解题意，熟练运用平行四边形的性质及其面积公式是解题关键．
15．
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
【详解】
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴S=BC•EF，S1=，S2=，
∵EF=PE+PF，AD=BC，
∴S1+S2=，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．36
【分析】
首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为23，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC＝23﹣5＝18，
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36，
故答案为：36．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的基本性质，解题关键是熟记平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
17．1．
【分析】
由平行四边形ABCD中，∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，易证得△ADF与△CBE是等腰三角形，又由AB=5，BC=3，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=5，AD=BC=3，
∴∠AFD=∠CDF，∠DCE=∠BEC，
∵∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，
∴∠ADF=∠CDF，∠BCE=∠DCE，
∴∠AFD=∠ADF，∠BCE=∠BEC，
∴AF=AD=3，BC=BE=3，
∴EF=AF+BE-AB=3+3-5=1．
故答案为1．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ADF与△CBE是等腰三角形是关键．
18．5
【分析】
由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF＝1，然后利用∠ACB＝45°得到BE＝CE＝4，从而得到EF＝3，然后利用勾股定理求得BF的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF＝1，
∵∠ACB＝45°，BE＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴EF＝EC−CF＝4−1＝3，
∴BF＝，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
19．21°
【分析】
过点作，根据平行四边形和平行线的性质求解即可
【详解】
过点作
四边形是平行四边形
，
故答案为：
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．等
【分析】
根据平行四边形性质推出AD=BC，AD∥BC，得出∠DAF=∠BCE，根据SAS证两三角形全等即可．
【详解】
解：添加的条件是，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵在△ABE和△CDF中
，
∴≌，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．
21．117
【分析】
由平行线的性质可得∠1＝∠B´AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B´AC＝21°，即可求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B´AB＝42°
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠
∴∠BAC＝∠B´AC＝21°
∴∠B＝180°−∠2−∠BAC＝117°
故答案为：117°
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
22．4
【分析】
根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：∵ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
同理：△ADO≌△CBO；
在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理：△ACD≌△CAB；
∴图中的全等三角形共有4对．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、 全等三角形的判定；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键 ．
23．（2，5）．
【分析】
连接AB，BC，运用平行四边形性质，可知AD∥BC，所以点D的纵坐标是5，再跟BC间的距离即可推导出点D的纵坐标．
【详解】
解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；
又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）＝4，故可得点D横坐标为﹣2+4＝2，
即顶点D的坐标（2，5）．
故答案为（2，5）．
【点拨】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求不高.
24．（8，4）
【解析】
【分析】
首先证明OA＝BC＝6，根据点C坐标即可推出点B坐标；
【详解】
解：∵A（6，0），
∴OA＝6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC＝6，
∵C（2，4），
∴B（8，4），
故答案为（8，4）．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
25．∠ACB=21°，∠CAB=34°
【分析】
根据平行四边形的性质AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，再根据三角形的内角和以及平行线的性质即可得出答案；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=125°，
∴AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠CAD=21°，
∴∠ACB=21°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-125°-21°=34°，
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键
26．（1）有4对全等三角形．分别为，，，；（2）见解析．
【分析】
（1）有4对全等三角形，分别为，，，；利用平行四边形的性质，可证得；；再由OE=OF，可证得；，即可求解；
（2）先证得，可得，再根据平行四边形的性质，可得，即可求证．
【详解】
解：（1）有4对全等三角形，分别为，，，；证明如下：
在 中，
∴ ，
∵O为□ABCD 的对角线AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴；
∵OE=OF， ， ，
∴；
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
在 中，
，
∵ ，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27．见解析
【分析】
作射线，以为顶点作，在射线上分别截取，，分别以为圆心为半径在∠A的内部作弧，两弧交于点，连接则平行四边形即为所作．
【详解】
解：如图，作射线，以为顶点作，在射线上分别截取，，分别以为圆心为半径在∠A的内部作弧，两弧交于点，连接，平行四边形即为所作．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，基本作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．（1），；（2）20；（3）存在，点的坐标为（0，8）或（0，8）
【分析】
（1）根据被开方数和绝对值大于等于0列式求出a和b，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移4个单位，则纵坐标加4，向右平移2个单位，则横坐标加2，求出点C、D的坐标即可；
（2）然后利用平行四边形的面积公式，列式计算；
（3）设点的坐标为，表示出三角形的底和高，根据三角形的面积等于四边形的面积列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵∴，．
∴，
∴，；
∴，
（2）．
（3）在轴上存在点，使三角形的面积等于四边形的面积．
设点的坐标为，则
∴解得
∴当点的坐标为（0，8）或（0，8），三角形的面积等于四边形的面积．
【点评】
本题是四边形综合题目，考查了平移的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质、平行线的性质、一元一次方程等知识；本题综合性强，难度适中．
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