专题 18.7 三角形的中位线（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 18.7 三角形的中位线（知识讲解）【学习目标】 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 运用三角形中位线与第三边的位置关系、数量关系解决问题； 理解并掌握三角形中位线定理的拓展结论。【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.特别说明：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、中点三角形定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。要点三、中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 【典型例题】类型一、与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形（2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________【答案】（1）见解析；（2）16【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，从而得到OE=OG，OF=OH，即可求证；（2）根据三角形中位线定理，可得，从而得到 ，再由（1）四边形EFGH是平行四边形，即可求解． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴，∴OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴，∴ ，∵的周长为2（AB+BC）=32，∴ ，∴ ，由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH的周长为 ．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．   【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可． （1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC于点D，∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于点E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E为AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，，∴AD=8．【点拨】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键．类型二、与三角形中位线有关的面积问题2．如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若四边形的面积为，求的面积．   【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）先说明为的中位线，可得、，又，则根据一组对边平行且相等则为平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再说明的面积的面积，进而说明的面积的面积，最后根据图形即可解答．【详解】证明：∵，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形；解：∵四边形是平行四边形，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积，∴的面积．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线以及三角形的面积计算，掌握平行四边形的判定与性质成为解答本题的关键．举一反三：【变式】如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）先根据三角形中位线定理可得，同理可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；（2）连接，先根据三角形中位线定理可得，根据同底等高可得，同理可得，从而可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后利用同样的方法即可求出四边形的面积． 证明：（1）分别是的中点，，同理可得：，，四边形是平行四边形；（2）如图，连接，
 分别是的中点，，（同底等高），同理可得：，，又是的中点，，（等底同高），，同理可得：，即四边形的面积为4．【点拨】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、三角形的中线等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用到三角形中位线定理和三角形的中线是解题关键．类型三、与三角形中位线有关的证明3．如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（    ）．A．先变大，后变小 B．保持不变C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B【分析】连接，根据题意可得为的中位线，可知，由此可知不变．解答：如图，连接AQ，   ∵，分别为、的中点，∴为的中位线，∴，∵为定点，∴的长不变，∴的长不变，故选：【点拨】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 举一反三：【变式】如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：（2）如图2，中，，求线段EF的长．    【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答；（2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答． （1）证明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE=EH，AH=AB=9，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型四、与三角形中位线有关的应用4．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求OEC的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；（2）作OF⊥BC于F，根据矩形的性质得出BF=FC，由三角形中位线定理求出OF的长，由角的平分线的定义与∠ADC=90°求出EC的长，最后根据三角形面积公式进行求解． 解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）过点O作OF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=1，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF是△BDC的中位线，∴，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°，∴在Rt△EDC中，EC=CD=1∴△OEC的面积．【点拨】本题考查矩形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，通过巧作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，点O是内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G ．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，，和互余，求线段OM的长．【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）【分析】（1）根据中位线的性质定理可分别得DG∥BC，，EF∥BC，，从而可判断四边形DEFG的形状； （2）由和互余，可得OB⊥OC，由可得EF的长度，由直角三角形斜边上中线的性质即可求得OM的长．（1）解答：四边形DEFG是平行四边形，理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，，同理：EF∥BC，，∴DG∥EF，DG=EF∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵和互余，∴OB⊥OC，∵，，∴EF=3，∵M点是EF的中点，∴OM为Rt△EOF斜边上的中线，∴．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解决本题的关键．